The Alternating Knot 8₂

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_5,12,6,13 X_3,11,4,10 X_11,3,12,2 X_7,14,8,15 X_9,16,10,1 X_13,6,14,7 X_15,8,16,9

Gauss Code: {-1, 4, -3, 1, -2, 7, -5, 8, -6, 3, -4, 2, -7, 5, -8, 6}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 12 14 16 2 6 8

Minimum Braid Representative:

Length is 8, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 3 2 / 4--5 1

Alexander Polynomial: - t^-3 + 3t^-2 - 3t^-1 + 3 - 3t + 3t² - t³

Conway Polynomial: 1 - 3z⁴ - z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {K11n6, ...}

Determinant and Signature: {17, -4}

Jones Polynomial: q^-8 - 2q^-7 + 2q^-6 - 3q^-5 + 3q^-4 - 2q^-3 + 2q^-2 - q^-1 + 1

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-24 - q^-18 - q^-16 - q^-12 + q^-10 + q^-6 + q^-4 + q^-2 + 1

HOMFLY-PT Polynomial: 3a² + 4a²z² + a²z⁴ - 3a⁴ - 7a⁴z² - 5a⁴z⁴ - a⁴z⁶ + a⁶ + 3a⁶z² + a⁶z⁴

Kauffman Polynomial: - 3a² + 7a²z² - 5a²z⁴ + a²z⁶ + a³z + 3a³z³ - 4a³z⁵ + a³z⁷ - 3a⁴ + 12a⁴z² - 12a⁴z⁴ + 3a⁴z⁶ + a⁵z - a⁵z³ - 2a⁵z⁵ + a⁵z⁷ - a⁶ + 3a⁶z² - 5a⁶z⁴ + 2a⁶z⁶ - a⁷z - 2a⁷z³ + 2a⁷z⁵ - a⁸z² + 2a⁸z⁴ - a⁹z + 2a⁹z³ + a¹⁰z²

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {0, 1}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-4 is the signature of 8₂. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2

j = 1 1

j = -1

j = -3 2 1

j = -5 1 1

j = -7 2 1

j = -9 1 1

j = -11 1 2

j = -13 1 1

j = -15 1

j = -17 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-22 - 2q^-21 + 3q^-19 - 4q^-18 + 2q^-17 + 3q^-16 - 6q^-15 + 3q^-14 + 4q^-13 - 7q^-12 + 2q^-11 + 5q^-10 - 7q^-9 + q^-8 + 5q^-7 - 5q^-6 + 5q^-4 - 3q^-3 - q^-2 + 3q^-1 - 1 - q + q²

3 q^-42 - 2q^-41 + q^-39 + 2q^-38 - 2q^-37 - 2q^-36 + 2q^-35 + q^-34 - 2q^-32 + q^-31 - q^-30 + 2q^-29 - q^-27 - 2q^-26 + 2q^-25 + q^-24 - q^-22 - q^-21 + q^-20 + q^-19 + q^-18 - 4q^-17 + 3q^-15 + 2q^-14 - 6q^-13 + 4q^-11 + 3q^-10 - 6q^-9 - 2q^-8 + 4q^-7 + 5q^-6 - 5q^-5 - 3q^-4 + 2q^-3 + 5q^-2 - 2q^-1 - 3 + 3q² - q⁴ - q⁵ + q⁶

4 q^-68 - 2q^-67 + q^-65 + 4q^-63 - 6q^-62 + q^-59 + 10q^-58 - 10q^-57 - 2q^-56 - 3q^-55 + 3q^-54 + 17q^-53 - 11q^-52 - 7q^-51 - 8q^-50 + 5q^-49 + 25q^-48 - 10q^-47 - 10q^-46 - 14q^-45 + 3q^-44 + 31q^-43 - 7q^-42 - 9q^-41 - 18q^-40 + q^-39 + 32q^-38 - 8q^-37 - 6q^-36 - 15q^-35 - q^-34 + 29q^-33 - 10q^-32 - 4q^-31 - 11q^-30 - 2q^-29 + 25q^-28 - 11q^-27 - 2q^-26 - 7q^-25 - 3q^-24 + 20q^-23 - 11q^-22 + q^-21 - 3q^-20 - 4q^-19 + 14q^-18 - 12q^-17 + 3q^-16 + q^-15 - 3q^-14 + 10q^-13 - 12q^-12 + 2q^-11 + 3q^-10 + 9q^-8 - 12q^-7 - q^-6 + 2q^-5 + 2q^-4 + 9q^-3 - 8q^-2 - 3q^-1 - 1 + q + 8q² - 3q³ - 2q⁴ - 2q⁵ - q⁶ + 4q⁷ - q¹⁰ - q¹¹ + q¹²

5 q^-100 - 2q^-99 + q^-97 + 2q^-95 - 4q^-93 - 2q^-92 + 3q^-91 + 2q^-90 + 5q^-89 - q^-88 - 8q^-87 - 6q^-86 + 3q^-85 + 10q^-84 + 8q^-83 - 3q^-82 - 14q^-81 - 13q^-80 + 5q^-79 + 22q^-78 + 14q^-77 - 9q^-76 - 24q^-75 - 19q^-74 + 7q^-73 + 36q^-72 + 23q^-71 - 13q^-70 - 36q^-69 - 29q^-68 + 9q^-67 + 45q^-66 + 33q^-65 - 10q^-64 - 43q^-63 - 39q^-62 + 5q^-61 + 46q^-60 + 39q^-59 - 4q^-58 - 42q^-57 - 40q^-56 + q^-55 + 41q^-54 + 39q^-53 - 2q^-52 - 37q^-51 - 36q^-50 + q^-49 + 34q^-48 + 35q^-47 - 33q^-45 - 32q^-44 + 27q^-42 + 33q^-41 + 4q^-40 - 29q^-39 - 29q^-38 - 3q^-37 + 20q^-36 + 29q^-35 + 9q^-34 - 22q^-33 - 25q^-32 - 6q^-31 + 12q^-30 + 22q^-29 + 12q^-28 - 14q^-27 - 18q^-26 - 7q^-25 + 5q^-24 + 14q^-23 + 11q^-22 - 8q^-21 - 8q^-20 - 5q^-19 + 7q^-17 + 6q^-16 - 5q^-15 - 3q^-14 + q^-12 + 3q^-11 + 3q^-10 - 7q^-9 - 3q^-8 + 2q^-7 + 4q^-6 + 5q^-5 + 2q^-4 - 7q^-3 - 6q^-2 - q^-1 + 3 + 7q + 5q² - 4q³ - 5q⁴ - 4q⁵ - q⁶ + 4q⁷ + 6q⁸ - 2q¹⁰ - 2q¹¹ - 3q¹² + 3q¹⁴ + q¹⁵ - q¹⁸ - q¹⁹ + q²⁰

6 q^-138 - 2q^-137 + q^-135 + 2q^-133 - 2q^-132 + 2q^-131 - 6q^-130 + q^-129 + 4q^-128 + 5q^-126 - 4q^-125 + q^-124 - 14q^-123 + 4q^-122 + 8q^-121 + 2q^-120 + 9q^-119 - 7q^-118 - 3q^-117 - 22q^-116 + 10q^-115 + 13q^-114 + 4q^-113 + 11q^-112 - 13q^-111 - 9q^-110 - 26q^-109 + 22q^-108 + 22q^-107 + 3q^-106 + 7q^-105 - 27q^-104 - 18q^-103 - 23q^-102 + 40q^-101 + 37q^-100 + 3q^-99 - 4q^-98 - 45q^-97 - 32q^-96 - 23q^-95 + 59q^-94 + 56q^-93 + 13q^-92 - 8q^-91 - 61q^-90 - 50q^-89 - 33q^-88 + 68q^-87 + 70q^-86 + 25q^-85 - q^-84 - 64q^-83 - 60q^-82 - 45q^-81 + 64q^-80 + 70q^-79 + 29q^-78 + 7q^-77 - 57q^-76 - 56q^-75 - 49q^-74 + 56q^-73 + 62q^-72 + 25q^-71 + 11q^-70 - 49q^-69 - 47q^-68 - 49q^-67 + 48q^-66 + 55q^-65 + 23q^-64 + 15q^-63 - 42q^-62 - 40q^-61 - 54q^-60 + 38q^-59 + 51q^-58 + 25q^-57 + 23q^-56 - 34q^-55 - 35q^-54 - 60q^-53 + 22q^-52 + 45q^-51 + 29q^-50 + 33q^-49 - 23q^-48 - 30q^-47 - 65q^-46 + 6q^-45 + 35q^-44 + 30q^-43 + 40q^-42 - 10q^-41 - 20q^-40 - 65q^-39 - 8q^-38 + 21q^-37 + 25q^-36 + 42q^-35 + 3q^-34 - 5q^-33 - 57q^-32 - 16q^-31 + 6q^-30 + 13q^-29 + 35q^-28 + 10q^-27 + 11q^-26 - 42q^-25 - 14q^-24 - 3q^-23 + 21q^-21 + 8q^-20 + 20q^-19 - 26q^-18 - 6q^-17 - 2q^-16 - 5q^-15 + 8q^-14 + q^-13 + 18q^-12 - 19q^-11 + 3q^-9 - q^-8 + 4q^-7 - 2q^-6 + 12q^-5 - 19q^-4 - 2q^-3 + 3q^-2 + 3q^-1 + 6 + 2q + 11q² - 16q³ - 6q⁴ - 3q⁵ + q⁶ + 4q⁷ + 5q⁸ + 13q⁹ - 8q¹⁰ - 4q¹¹ - 5q¹² - 3q¹³ - q¹⁴ + 2q¹⁵ + 10q¹⁶ - q¹⁷ - 2q¹⁹ - 2q²⁰ - 3q²¹ - q²² + 4q²³ + q²⁵ - q²⁸ - q²⁹ + q³⁰

7 q^-182 - 2q^-181 + q^-179 + 2q^-177 - 2q^-176 - 3q^-173 + 2q^-172 + 2q^-171 + 5q^-169 - 4q^-168 - 4q^-167 - q^-166 - 6q^-165 + 6q^-164 + 5q^-163 + 2q^-162 + 8q^-161 - 6q^-160 - 8q^-159 - 4q^-158 - 10q^-157 + 8q^-156 + 10q^-155 + 3q^-154 + 11q^-153 - 7q^-152 - 7q^-151 - q^-150 - 15q^-149 + 4q^-148 + 5q^-147 + 11q^-145 - 2q^-144 + 6q^-143 + 9q^-142 - 11q^-141 - 7q^-140 - 16q^-139 - 19q^-138 + 6q^-137 + 12q^-136 + 30q^-135 + 36q^-134 + 4q^-133 - 16q^-132 - 49q^-131 - 54q^-130 - 14q^-129 + 17q^-128 + 59q^-127 + 73q^-126 + 35q^-125 - 12q^-124 - 70q^-123 - 92q^-122 - 50q^-121 + 2q^-120 + 70q^-119 + 103q^-118 + 67q^-117 + 13q^-116 - 66q^-115 - 109q^-114 - 80q^-113 - 25q^-112 + 59q^-111 + 108q^-110 + 84q^-109 + 33q^-108 - 49q^-107 - 103q^-106 - 84q^-105 - 37q^-104 + 45q^-103 + 97q^-102 + 76q^-101 + 36q^-100 - 41q^-99 - 90q^-98 - 68q^-97 - 32q^-96 + 38q^-95 + 85q^-94 + 62q^-93 + 30q^-92 - 40q^-91 - 80q^-90 - 52q^-89 - 28q^-88 + 33q^-87 + 73q^-86 + 50q^-85 + 30q^-84 - 31q^-83 - 67q^-82 - 43q^-81 - 33q^-80 + 21q^-79 + 57q^-78 + 41q^-77 + 38q^-76 - 11q^-75 - 49q^-74 - 36q^-73 - 42q^-72 + q^-71 + 36q^-70 + 30q^-69 + 49q^-68 + 13q^-67 - 27q^-66 - 25q^-65 - 52q^-64 - 22q^-63 + 12q^-62 + 16q^-61 + 55q^-60 + 37q^-59 + q^-58 - 9q^-57 - 57q^-56 - 44q^-55 - 12q^-54 - 5q^-53 + 52q^-52 + 54q^-51 + 28q^-50 + 14q^-49 - 49q^-48 - 54q^-47 - 35q^-46 - 30q^-45 + 36q^-44 + 54q^-43 + 44q^-42 + 40q^-41 - 25q^-40 - 46q^-39 - 44q^-38 - 52q^-37 + 11q^-36 + 36q^-35 + 41q^-34 + 55q^-33 + 3q^-32 - 22q^-31 - 32q^-30 - 58q^-29 - 11q^-28 + 10q^-27 + 20q^-26 + 50q^-25 + 17q^-24 + 2q^-23 - 7q^-22 - 43q^-21 - 17q^-20 - 7q^-19 - q^-18 + 30q^-17 + 12q^-16 + 8q^-15 + 12q^-14 - 23q^-13 - 8q^-12 - 6q^-11 - 9q^-10 + 16q^-9 + q^-8 + 2q^-7 + 10q^-6 - 14q^-5 - q^-4 + q^-3 - 5q^-2 + 14q^-1 + 2 - 2q + 4q² - 16q³ - 4q⁴ - 4q⁶ + 13q⁷ + 8q⁸ + 5q⁹ + 6q¹⁰ - 13q¹¹ - 8q¹² - 4q¹³ - 9q¹⁴ + 5q¹⁵ + 6q¹⁶ + 8q¹⁷ + 11q¹⁸ - 4q¹⁹ - 4q²⁰ - 3q²¹ - 8q²² - 3q²³ - q²⁴ + 3q²⁵ + 9q²⁶ + q²⁷ + q²⁹ - 3q³⁰ - 2q³¹ - 3q³² - q³³ + 3q³⁴ + q³⁵ + q³⁷ - q⁴⁰ - q⁴¹ + q⁴²

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 2]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 12, 6, 13], X[3, 11, 4, 10], X[11, 3, 12, 2], > X[7, 14, 8, 15], X[9, 16, 10, 1], X[13, 6, 14, 7], X[15, 8, 16, 9]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 2]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 7, -5, 8, -6, 3, -4, 2, -7, 5, -8, 6]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 2]]

Out[4]=
DTCode[4, 10, 12, 14, 16, 2, 6, 8]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 2]]

Out[5]=
BR[3, {-1, -1, -1, -1, -1, 2, -1, 2}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{3, 8}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 2]]

Out[7]=
3

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 2]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 2]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 3, 2, {4, 5}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 2]][t]

Out[10]=
-3 3 3 2 3 3 - t + -- - - - 3 t + 3 t - t 2 t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 2]][z]

Out[11]=
4 6 1 - 3 z - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 2], Knot[11, NonAlternating, 6]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 2]], KnotSignature[Knot[8, 2]]}

Out[13]=
{17, -4}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 2]][q]

Out[14]=
-8 2 2 3 3 2 2 1 1 + q - -- + -- - -- + -- - -- + -- - - 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 2]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 2]][q]

Out[16]=
-24 -18 -16 -12 -10 -6 -4 -2 1 + q - q - q - q + q + q + q + q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 2]][a, z]

Out[17]=
2 4 6 2 2 4 2 6 2 2 4 4 4 6 4 4 6 3 a - 3 a + a + 4 a z - 7 a z + 3 a z + a z - 5 a z + a z - a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 2]][a, z]

Out[18]=
2 4 6 3 5 7 9 2 2 4 2 6 2 -3 a - 3 a - a + a z + a z - a z - a z + 7 a z + 12 a z + 3 a z - 8 2 10 2 3 3 5 3 7 3 9 3 2 4 4 4 > a z + a z + 3 a z - a z - 2 a z + 2 a z - 5 a z - 12 a z - 6 4 8 4 3 5 5 5 7 5 2 6 4 6 > 5 a z + 2 a z - 4 a z - 2 a z + 2 a z + a z + 3 a z + 6 6 3 7 5 7 > 2 a z + a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 2]], Vassiliev[3][Knot[8, 2]]}

Out[19]=
{0, 1}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 2]][q, t]

Out[20]=
-5 2 1 1 1 1 1 2 1 q + -- + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + 3 17 6 15 5 13 5 13 4 11 4 11 3 9 3 q q t q t q t q t q t q t q t 1 2 1 1 t 2 > ----- + ----- + ---- + ---- + -- + q t 9 2 7 2 7 5 3 q t q t q t q t q

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 2], 2][q]

Out[21]=
-22 2 3 4 2 3 6 3 4 7 2 5 -1 + q - --- + --- - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + --- + --- - 21 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 q q q q q q q q q q q 7 -8 5 5 5 3 -2 3 2 > -- + q + -- - -- + -- - -- - q + - - q + q 9 7 6 4 3 q q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₂

8₁
8₃

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-22 - 2q^-21 + 3q^-19 - 4q^-18 + 2q^-17 + 3q^-16 - 6q^-15 + 3q^-14 + 4q^-13 - 7q^-12 + 2q^-11 + 5q^-10 - 7q^-9 + q^-8 + 5q^-7 - 5q^-6 + 5q^-4 - 3q^-3 - q^-2 + 3q^-1 - 1 - q + q²
3	q^-42 - 2q^-41 + q^-39 + 2q^-38 - 2q^-37 - 2q^-36 + 2q^-35 + q^-34 - 2q^-32 + q^-31 - q^-30 + 2q^-29 - q^-27 - 2q^-26 + 2q^-25 + q^-24 - q^-22 - q^-21 + q^-20 + q^-19 + q^-18 - 4q^-17 + 3q^-15 + 2q^-14 - 6q^-13 + 4q^-11 + 3q^-10 - 6q^-9 - 2q^-8 + 4q^-7 + 5q^-6 - 5q^-5 - 3q^-4 + 2q^-3 + 5q^-2 - 2q^-1 - 3 + 3q² - q⁴ - q⁵ + q⁶
4	q^-68 - 2q^-67 + q^-65 + 4q^-63 - 6q^-62 + q^-59 + 10q^-58 - 10q^-57 - 2q^-56 - 3q^-55 + 3q^-54 + 17q^-53 - 11q^-52 - 7q^-51 - 8q^-50 + 5q^-49 + 25q^-48 - 10q^-47 - 10q^-46 - 14q^-45 + 3q^-44 + 31q^-43 - 7q^-42 - 9q^-41 - 18q^-40 + q^-39 + 32q^-38 - 8q^-37 - 6q^-36 - 15q^-35 - q^-34 + 29q^-33 - 10q^-32 - 4q^-31 - 11q^-30 - 2q^-29 + 25q^-28 - 11q^-27 - 2q^-26 - 7q^-25 - 3q^-24 + 20q^-23 - 11q^-22 + q^-21 - 3q^-20 - 4q^-19 + 14q^-18 - 12q^-17 + 3q^-16 + q^-15 - 3q^-14 + 10q^-13 - 12q^-12 + 2q^-11 + 3q^-10 + 9q^-8 - 12q^-7 - q^-6 + 2q^-5 + 2q^-4 + 9q^-3 - 8q^-2 - 3q^-1 - 1 + q + 8q² - 3q³ - 2q⁴ - 2q⁵ - q⁶ + 4q⁷ - q¹⁰ - q¹¹ + q¹²
5	q^-100 - 2q^-99 + q^-97 + 2q^-95 - 4q^-93 - 2q^-92 + 3q^-91 + 2q^-90 + 5q^-89 - q^-88 - 8q^-87 - 6q^-86 + 3q^-85 + 10q^-84 + 8q^-83 - 3q^-82 - 14q^-81 - 13q^-80 + 5q^-79 + 22q^-78 + 14q^-77 - 9q^-76 - 24q^-75 - 19q^-74 + 7q^-73 + 36q^-72 + 23q^-71 - 13q^-70 - 36q^-69 - 29q^-68 + 9q^-67 + 45q^-66 + 33q^-65 - 10q^-64 - 43q^-63 - 39q^-62 + 5q^-61 + 46q^-60 + 39q^-59 - 4q^-58 - 42q^-57 - 40q^-56 + q^-55 + 41q^-54 + 39q^-53 - 2q^-52 - 37q^-51 - 36q^-50 + q^-49 + 34q^-48 + 35q^-47 - 33q^-45 - 32q^-44 + 27q^-42 + 33q^-41 + 4q^-40 - 29q^-39 - 29q^-38 - 3q^-37 + 20q^-36 + 29q^-35 + 9q^-34 - 22q^-33 - 25q^-32 - 6q^-31 + 12q^-30 + 22q^-29 + 12q^-28 - 14q^-27 - 18q^-26 - 7q^-25 + 5q^-24 + 14q^-23 + 11q^-22 - 8q^-21 - 8q^-20 - 5q^-19 + 7q^-17 + 6q^-16 - 5q^-15 - 3q^-14 + q^-12 + 3q^-11 + 3q^-10 - 7q^-9 - 3q^-8 + 2q^-7 + 4q^-6 + 5q^-5 + 2q^-4 - 7q^-3 - 6q^-2 - q^-1 + 3 + 7q + 5q² - 4q³ - 5q⁴ - 4q⁵ - q⁶ + 4q⁷ + 6q⁸ - 2q¹⁰ - 2q¹¹ - 3q¹² + 3q¹⁴ + q¹⁵ - q¹⁸ - q¹⁹ + q²⁰
6	q^-138 - 2q^-137 + q^-135 + 2q^-133 - 2q^-132 + 2q^-131 - 6q^-130 + q^-129 + 4q^-128 + 5q^-126 - 4q^-125 + q^-124 - 14q^-123 + 4q^-122 + 8q^-121 + 2q^-120 + 9q^-119 - 7q^-118 - 3q^-117 - 22q^-116 + 10q^-115 + 13q^-114 + 4q^-113 + 11q^-112 - 13q^-111 - 9q^-110 - 26q^-109 + 22q^-108 + 22q^-107 + 3q^-106 + 7q^-105 - 27q^-104 - 18q^-103 - 23q^-102 + 40q^-101 + 37q^-100 + 3q^-99 - 4q^-98 - 45q^-97 - 32q^-96 - 23q^-95 + 59q^-94 + 56q^-93 + 13q^-92 - 8q^-91 - 61q^-90 - 50q^-89 - 33q^-88 + 68q^-87 + 70q^-86 + 25q^-85 - q^-84 - 64q^-83 - 60q^-82 - 45q^-81 + 64q^-80 + 70q^-79 + 29q^-78 + 7q^-77 - 57q^-76 - 56q^-75 - 49q^-74 + 56q^-73 + 62q^-72 + 25q^-71 + 11q^-70 - 49q^-69 - 47q^-68 - 49q^-67 + 48q^-66 + 55q^-65 + 23q^-64 + 15q^-63 - 42q^-62 - 40q^-61 - 54q^-60 + 38q^-59 + 51q^-58 + 25q^-57 + 23q^-56 - 34q^-55 - 35q^-54 - 60q^-53 + 22q^-52 + 45q^-51 + 29q^-50 + 33q^-49 - 23q^-48 - 30q^-47 - 65q^-46 + 6q^-45 + 35q^-44 + 30q^-43 + 40q^-42 - 10q^-41 - 20q^-40 - 65q^-39 - 8q^-38 + 21q^-37 + 25q^-36 + 42q^-35 + 3q^-34 - 5q^-33 - 57q^-32 - 16q^-31 + 6q^-30 + 13q^-29 + 35q^-28 + 10q^-27 + 11q^-26 - 42q^-25 - 14q^-24 - 3q^-23 + 21q^-21 + 8q^-20 + 20q^-19 - 26q^-18 - 6q^-17 - 2q^-16 - 5q^-15 + 8q^-14 + q^-13 + 18q^-12 - 19q^-11 + 3q^-9 - q^-8 + 4q^-7 - 2q^-6 + 12q^-5 - 19q^-4 - 2q^-3 + 3q^-2 + 3q^-1 + 6 + 2q + 11q² - 16q³ - 6q⁴ - 3q⁵ + q⁶ + 4q⁷ + 5q⁸ + 13q⁹ - 8q¹⁰ - 4q¹¹ - 5q¹² - 3q¹³ - q¹⁴ + 2q¹⁵ + 10q¹⁶ - q¹⁷ - 2q¹⁹ - 2q²⁰ - 3q²¹ - q²² + 4q²³ + q²⁵ - q²⁸ - q²⁹ + q³⁰
7	q^-182 - 2q^-181 + q^-179 + 2q^-177 - 2q^-176 - 3q^-173 + 2q^-172 + 2q^-171 + 5q^-169 - 4q^-168 - 4q^-167 - q^-166 - 6q^-165 + 6q^-164 + 5q^-163 + 2q^-162 + 8q^-161 - 6q^-160 - 8q^-159 - 4q^-158 - 10q^-157 + 8q^-156 + 10q^-155 + 3q^-154 + 11q^-153 - 7q^-152 - 7q^-151 - q^-150 - 15q^-149 + 4q^-148 + 5q^-147 + 11q^-145 - 2q^-144 + 6q^-143 + 9q^-142 - 11q^-141 - 7q^-140 - 16q^-139 - 19q^-138 + 6q^-137 + 12q^-136 + 30q^-135 + 36q^-134 + 4q^-133 - 16q^-132 - 49q^-131 - 54q^-130 - 14q^-129 + 17q^-128 + 59q^-127 + 73q^-126 + 35q^-125 - 12q^-124 - 70q^-123 - 92q^-122 - 50q^-121 + 2q^-120 + 70q^-119 + 103q^-118 + 67q^-117 + 13q^-116 - 66q^-115 - 109q^-114 - 80q^-113 - 25q^-112 + 59q^-111 + 108q^-110 + 84q^-109 + 33q^-108 - 49q^-107 - 103q^-106 - 84q^-105 - 37q^-104 + 45q^-103 + 97q^-102 + 76q^-101 + 36q^-100 - 41q^-99 - 90q^-98 - 68q^-97 - 32q^-96 + 38q^-95 + 85q^-94 + 62q^-93 + 30q^-92 - 40q^-91 - 80q^-90 - 52q^-89 - 28q^-88 + 33q^-87 + 73q^-86 + 50q^-85 + 30q^-84 - 31q^-83 - 67q^-82 - 43q^-81 - 33q^-80 + 21q^-79 + 57q^-78 + 41q^-77 + 38q^-76 - 11q^-75 - 49q^-74 - 36q^-73 - 42q^-72 + q^-71 + 36q^-70 + 30q^-69 + 49q^-68 + 13q^-67 - 27q^-66 - 25q^-65 - 52q^-64 - 22q^-63 + 12q^-62 + 16q^-61 + 55q^-60 + 37q^-59 + q^-58 - 9q^-57 - 57q^-56 - 44q^-55 - 12q^-54 - 5q^-53 + 52q^-52 + 54q^-51 + 28q^-50 + 14q^-49 - 49q^-48 - 54q^-47 - 35q^-46 - 30q^-45 + 36q^-44 + 54q^-43 + 44q^-42 + 40q^-41 - 25q^-40 - 46q^-39 - 44q^-38 - 52q^-37 + 11q^-36 + 36q^-35 + 41q^-34 + 55q^-33 + 3q^-32 - 22q^-31 - 32q^-30 - 58q^-29 - 11q^-28 + 10q^-27 + 20q^-26 + 50q^-25 + 17q^-24 + 2q^-23 - 7q^-22 - 43q^-21 - 17q^-20 - 7q^-19 - q^-18 + 30q^-17 + 12q^-16 + 8q^-15 + 12q^-14 - 23q^-13 - 8q^-12 - 6q^-11 - 9q^-10 + 16q^-9 + q^-8 + 2q^-7 + 10q^-6 - 14q^-5 - q^-4 + q^-3 - 5q^-2 + 14q^-1 + 2 - 2q + 4q² - 16q³ - 4q⁴ - 4q⁶ + 13q⁷ + 8q⁸ + 5q⁹ + 6q¹⁰ - 13q¹¹ - 8q¹² - 4q¹³ - 9q¹⁴ + 5q¹⁵ + 6q¹⁶ + 8q¹⁷ + 11q¹⁸ - 4q¹⁹ - 4q²⁰ - 3q²¹ - 8q²² - 3q²³ - q²⁴ + 3q²⁵ + 9q²⁶ + q²⁷ + q²⁹ - 3q³⁰ - 2q³¹ - 3q³² - q³³ + 3q³⁴ + q³⁵ + q³⁷ - q⁴⁰ - q⁴¹ + q⁴²

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 2]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 12, 6, 13], X[3, 11, 4, 10], X[11, 3, 12, 2], > X[7, 14, 8, 15], X[9, 16, 10, 1], X[13, 6, 14, 7], X[15, 8, 16, 9]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 2]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 7, -5, 8, -6, 3, -4, 2, -7, 5, -8, 6]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 2]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 12, 14, 16, 2, 6, 8]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 2]]
Out[5]=	BR[3, {-1, -1, -1, -1, -1, 2, -1, 2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 8}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 2]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 2]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 2]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 3, 2, {4, 5}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 2]][t]
Out[10]=	-3 3 3 2 3 3 - t + -- - - - 3 t + 3 t - t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 2]][z]
Out[11]=	4 6 1 - 3 z - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 2], Knot[11, NonAlternating, 6]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 2]], KnotSignature[Knot[8, 2]]}
Out[13]=	{17, -4}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 2]][q]
Out[14]=	-8 2 2 3 3 2 2 1 1 + q - -- + -- - -- + -- - -- + -- - - 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 2]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 2]][q]
Out[16]=	-24 -18 -16 -12 -10 -6 -4 -2 1 + q - q - q - q + q + q + q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 2]][a, z]
Out[17]=	2 4 6 2 2 4 2 6 2 2 4 4 4 6 4 4 6 3 a - 3 a + a + 4 a z - 7 a z + 3 a z + a z - 5 a z + a z - a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 2]][a, z]
Out[18]=	2 4 6 3 5 7 9 2 2 4 2 6 2 -3 a - 3 a - a + a z + a z - a z - a z + 7 a z + 12 a z + 3 a z - 8 2 10 2 3 3 5 3 7 3 9 3 2 4 4 4 > a z + a z + 3 a z - a z - 2 a z + 2 a z - 5 a z - 12 a z - 6 4 8 4 3 5 5 5 7 5 2 6 4 6 > 5 a z + 2 a z - 4 a z - 2 a z + 2 a z + a z + 3 a z + 6 6 3 7 5 7 > 2 a z + a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 2]], Vassiliev[3][Knot[8, 2]]}
Out[19]=	{0, 1}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 2]][q, t]
Out[20]=	-5 2 1 1 1 1 1 2 1 q + -- + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + 3 17 6 15 5 13 5 13 4 11 4 11 3 9 3 q q t q t q t q t q t q t q t 1 2 1 1 t 2 > ----- + ----- + ---- + ---- + -- + q t 9 2 7 2 7 5 3 q t q t q t q t q
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 2], 2][q]
Out[21]=	-22 2 3 4 2 3 6 3 4 7 2 5 -1 + q - --- + --- - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + --- + --- - 21 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 q q q q q q q q q q q 7 -8 5 5 5 3 -2 3 2 > -- + q + -- - -- + -- - -- - q + - - q + q 9 7 6 4 3 q q q q q q

The Alternating Knot 82

The Alternating Knot 8₂