The Alternating Knot 10₈₂

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₆₂₇ X_7,16,8,17 X₃₉₄₈ X_15,3,16,2 X_5,15,6,14 X_9,5,10,4 X_11,18,12,19 X_13,20,14,1 X_17,10,18,11 X_19,12,20,13

Gauss Code: {-1, 4, -3, 6, -5, 1, -2, 3, -6, 9, -7, 10, -8, 5, -4, 2, -9, 7, -10, 8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 6 8 14 16 4 18 20 2 10 12

Minimum Braid Representative:

Length is 10, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Chiral 1 4 3 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: - t^-4 + 4t^-3 - 8t^-2 + 12t^-1 - 13 + 12t - 8t² + 4t³ - t⁴

Conway Polynomial: 1 - 4z⁴ - 4z⁶ - z⁸

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {63, -2}

Jones Polynomial: q^-7 - 3q^-6 + 5q^-5 - 8q^-4 + 10q^-3 - 10q^-2 + 10q^-1 - 7 + 5q - 3q² + q³

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-20 - q^-18 + q^-16 - 2q^-14 - q^-12 + q^-10 - q^-8 + 4q^-6 - q^-4 + 2q^-2 - q² + q⁴ - q⁶ + q⁸

HOMFLY-PT Polynomial: 1 + 4z² + 4z⁴ + z⁶ - 8a²z² - 12a²z⁴ - 6a²z⁶ - a²z⁸ + 4a⁴z² + 4a⁴z⁴ + a⁴z⁶

Kauffman Polynomial: a^-2z² - 3a^-2z⁴ + a^-2z⁶ - a^-1z + 7a^-1z³ - 10a^-1z⁵ + 3a^-1z⁷ + 1 - 6z² + 14z⁴ - 14z⁶ + 4z⁸ - 2az + 10az³ - 8az⁵ - 2az⁷ + 2az⁹ - 13a²z² + 32a²z⁴ - 27a²z⁶ + 8a²z⁸ + 5a³z³ - 4a³z⁵ - a³z⁷ + 2a³z⁹ - 5a⁴z² + 10a⁴z⁴ - 8a⁴z⁶ + 4a⁴z⁸ + 2a⁵z - 2a⁵z³ - 3a⁵z⁵ + 4a⁵z⁷ - 4a⁶z⁴ + 4a⁶z⁶ + a⁷z - 4a⁷z³ + 3a⁷z⁵ - a⁸z² + a⁸z⁴

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {0, 0}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 10₈₂. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4

j = 7 1

j = 5 2

j = 3 3 1

j = 1 4 2

j = -1 6 3

j = -3 5 5

j = -5 5 5

j = -7 3 5

j = -9 2 5

j = -11 1 3

j = -13 2

j = -15 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-20 - 3q^-19 + q^-18 + 7q^-17 - 12q^-16 + 4q^-15 + 17q^-14 - 31q^-13 + 11q^-12 + 36q^-11 - 58q^-10 + 13q^-9 + 60q^-8 - 75q^-7 + 5q^-6 + 74q^-5 - 70q^-4 - 9q^-3 + 71q^-2 - 49q^-1 - 20 + 54q - 23q² - 23q³ + 30q⁴ - 4q⁵ - 14q⁶ + 9q⁷ + q⁸ - 3q⁹ + q¹⁰

3 q^-39 - 3q^-38 + q^-37 + 3q^-36 + 3q^-35 - 8q^-34 - 5q^-33 + 10q^-32 + 6q^-31 - 8q^-30 - 6q^-29 + 10q^-28 - 7q^-27 - 11q^-26 + 25q^-25 + 28q^-24 - 56q^-23 - 54q^-22 + 80q^-21 + 103q^-20 - 103q^-19 - 153q^-18 + 105q^-17 + 203q^-16 - 90q^-15 - 247q^-14 + 71q^-13 + 263q^-12 - 31q^-11 - 276q^-10 + 2q^-9 + 259q^-8 + 45q^-7 - 250q^-6 - 72q^-5 + 211q^-4 + 119q^-3 - 183q^-2 - 140q^-1 + 130 + 166q - 83q² - 165q³ + 30q⁴ + 149q⁵ + 13q⁶ - 119q⁷ - 39q⁸ + 81q⁹ + 46q¹⁰ - 44q¹¹ - 41q¹² + 19q¹³ + 28q¹⁴ - 6q¹⁵ - 14q¹⁶ + q¹⁷ + 5q¹⁸ + q¹⁹ - 3q²⁰ + q²¹

4 q^-64 - 3q^-63 + q^-62 + 3q^-61 - q^-60 + 7q^-59 - 17q^-58 - q^-57 + 8q^-56 + 3q^-55 + 40q^-54 - 44q^-53 - 21q^-52 - 13q^-51 - 3q^-50 + 132q^-49 - 33q^-48 - 41q^-47 - 113q^-46 - 99q^-45 + 265q^-44 + 102q^-43 + 58q^-42 - 273q^-41 - 420q^-40 + 270q^-39 + 353q^-38 + 457q^-37 - 289q^-36 - 942q^-35 - 62q^-34 + 466q^-33 + 1095q^-32 + 61q^-31 - 1346q^-30 - 631q^-29 + 218q^-28 + 1593q^-27 + 629q^-26 - 1369q^-25 - 1049q^-24 - 245q^-23 + 1697q^-22 + 1053q^-21 - 1119q^-20 - 1125q^-19 - 624q^-18 + 1505q^-17 + 1194q^-16 - 796q^-15 - 969q^-14 - 859q^-13 + 1170q^-12 + 1169q^-11 - 426q^-10 - 699q^-9 - 1021q^-8 + 702q^-7 + 1021q^-6 + 8q^-5 - 287q^-4 - 1066q^-3 + 132q^-2 + 671q^-1 + 347 + 230q - 838q² - 315q³ + 142q⁴ + 361q⁵ + 613q⁶ - 362q⁷ - 387q⁸ - 282q⁹ + 75q¹⁰ + 610q¹¹ + 54q¹² - 142q¹³ - 346q¹⁴ - 183q¹⁵ + 317q¹⁶ + 156q¹⁷ + 76q¹⁸ - 160q¹⁹ - 192q²⁰ + 70q²¹ + 63q²² + 92q²³ - 20q²⁴ - 80q²⁵ + 2q²⁶ + 31q²⁸ + 6q²⁹ - 17q³⁰ + q³¹ - 3q³² + 5q³³ + q³⁴ - 3q³⁵ + q³⁶

5 q^-95 - 3q^-94 + q^-93 + 3q^-92 - q^-91 + 3q^-90 - 2q^-89 - 13q^-88 - 3q^-87 + 16q^-86 + 12q^-85 + 17q^-84 - 6q^-83 - 53q^-82 - 43q^-81 + 16q^-80 + 73q^-79 + 93q^-78 + 30q^-77 - 120q^-76 - 198q^-75 - 88q^-74 + 155q^-73 + 332q^-72 + 237q^-71 - 145q^-70 - 546q^-69 - 520q^-68 + 90q^-67 + 802q^-66 + 944q^-65 + 178q^-64 - 1061q^-63 - 1640q^-62 - 696q^-61 + 1232q^-60 + 2498q^-59 + 1653q^-58 - 1115q^-57 - 3508q^-56 - 3037q^-55 + 532q^-54 + 4407q^-53 + 4837q^-52 + 622q^-51 - 4992q^-50 - 6754q^-49 - 2356q^-48 + 4982q^-47 + 8603q^-46 + 4437q^-45 - 4402q^-44 - 9951q^-43 - 6585q^-42 + 3252q^-41 + 10718q^-40 + 8497q^-39 - 1855q^-38 - 10864q^-37 - 9888q^-36 + 438q^-35 + 10478q^-34 + 10747q^-33 + 827q^-32 - 9890q^-31 - 11082q^-30 - 1726q^-29 + 9088q^-28 + 11079q^-27 + 2456q^-26 - 8367q^-25 - 10877q^-24 - 2918q^-23 + 7526q^-22 + 10556q^-21 + 3459q^-20 - 6722q^-19 - 10143q^-18 - 3920q^-17 + 5625q^-16 + 9608q^-15 + 4544q^-14 - 4455q^-13 - 8830q^-12 - 5011q^-11 + 2920q^-10 + 7770q^-9 + 5459q^-8 - 1414q^-7 - 6364q^-6 - 5449q^-5 - 199q^-4 + 4654q^-3 + 5150q^-2 + 1451q^-1 - 2819 - 4246q - 2321q² + 999q³ + 3042q⁴ + 2563q⁵ + 444q⁶ - 1566q⁷ - 2220q⁸ - 1382q⁹ + 186q¹⁰ + 1436q¹¹ + 1665q¹² + 859q¹³ - 459q¹⁴ - 1401q¹⁵ - 1376q¹⁶ - 423q¹⁷ + 795q¹⁸ + 1393q¹⁹ + 962q²⁰ - 135q²¹ - 1021q²² - 1102q²³ - 383q²⁴ + 536q²⁵ + 929q²⁶ + 598q²⁷ - 108q²⁸ - 595q²⁹ - 571q³⁰ - 154q³¹ + 287q³² + 417q³³ + 215q³⁴ - 83q³⁵ - 220q³⁶ - 179q³⁷ - 27q³⁸ + 106q³⁹ + 108q⁴⁰ + 31q⁴¹ - 32q⁴² - 41q⁴³ - 31q⁴⁴ + 4q⁴⁵ + 26q⁴⁶ + 8q⁴⁷ - 5q⁴⁸ - 2q⁴⁹ - 3q⁵⁰ - 3q⁵¹ + 5q⁵² + q⁵³ - 3q⁵⁴ + q⁵⁵

6 q^-132 - 3q^-131 + q^-130 + 3q^-129 - q^-128 + 3q^-127 - 6q^-126 + 2q^-125 - 15q^-124 + 5q^-123 + 25q^-122 + 16q^-120 - 23q^-119 - 15q^-118 - 72q^-117 + 2q^-116 + 87q^-115 + 43q^-114 + 87q^-113 - 24q^-112 - 60q^-111 - 261q^-110 - 84q^-109 + 153q^-108 + 156q^-107 + 311q^-106 + 96q^-105 - 98q^-104 - 661q^-103 - 364q^-102 + 163q^-101 + 386q^-100 + 820q^-99 + 463q^-98 - 185q^-97 - 1533q^-96 - 1161q^-95 + 20q^-94 + 1069q^-93 + 2312q^-92 + 1755q^-91 - 260q^-90 - 3710q^-89 - 3953q^-88 - 1540q^-87 + 2139q^-86 + 6378q^-85 + 6599q^-84 + 1861q^-83 - 7032q^-82 - 11256q^-81 - 8631q^-80 + 130q^-79 + 12565q^-78 + 18345q^-77 + 11918q^-76 - 6427q^-75 - 21824q^-74 - 25040q^-73 - 12191q^-72 + 13927q^-71 + 34266q^-70 + 33388q^-69 + 6394q^-68 - 26624q^-67 - 45851q^-66 - 37044q^-65 + 1708q^-64 + 43188q^-63 + 58619q^-62 + 31733q^-61 - 16982q^-60 - 58169q^-59 - 64074q^-58 - 22204q^-57 + 37124q^-56 + 73753q^-55 + 57328q^-54 + 3232q^-53 - 55378q^-52 - 79670q^-51 - 44801q^-50 + 21515q^-49 + 74062q^-48 + 71209q^-47 + 21451q^-46 - 44089q^-45 - 81421q^-44 - 56589q^-43 + 7641q^-42 + 66752q^-41 + 73370q^-40 + 31002q^-39 - 33819q^-38 - 76726q^-37 - 59542q^-36 - 459q^-35 + 59376q^-34 + 70996q^-33 + 35246q^-32 - 26411q^-31 - 71364q^-30 - 60252q^-29 - 6878q^-28 + 52193q^-27 + 68311q^-26 + 39891q^-25 - 17582q^-24 - 64549q^-23 - 61493q^-22 - 16261q^-21 + 41071q^-20 + 63647q^-19 + 46271q^-18 - 3779q^-17 - 52249q^-16 - 60533q^-15 - 28472q^-14 + 23344q^-13 + 52582q^-12 + 50279q^-11 + 13503q^-10 - 32205q^-9 - 52042q^-8 - 37824q^-7 + 1665q^-6 + 32754q^-5 + 45373q^-4 + 27043q^-3 - 8032q^-2 - 33436q^-1 - 36555 - 15292q + 8648q² + 28942q³ + 28258q⁴ + 10285q⁵ - 10353q⁶ - 22543q⁷ - 18535q⁸ - 8616q⁹ + 8088q¹⁰ + 16169q¹¹ + 13899q¹² + 5123q¹³ - 4599q¹⁴ - 8683q¹⁵ - 10970q¹⁶ - 4553q¹⁷ + 1266q¹⁸ + 5394q¹⁹ + 6288q²⁰ + 4694q²¹ + 2559q²² - 3084q²³ - 4200q²⁴ - 4788q²⁵ - 2954q²⁶ - 323q²⁷ + 2875q²⁸ + 5316q²⁹ + 3033q³⁰ + 1294q³¹ - 2004q³² - 3673q³³ - 3927q³⁴ - 1595q³⁵ + 1802q³⁶ + 2606q³⁷ + 3160q³⁸ + 1390q³⁹ - 528q⁴⁰ - 2430q⁴¹ - 2351q⁴² - 801q⁴³ + 150q⁴⁴ + 1487q⁴⁵ + 1486q⁴⁶ + 952q⁴⁷ - 356q⁴⁸ - 907q⁴⁹ - 726q⁵⁰ - 592q⁵¹ + 110q⁵² + 435q⁵³ + 588q⁵⁴ + 165q⁵⁵ - 83q⁵⁶ - 138q⁵⁷ - 269q⁵⁸ - 108q⁵⁹ + 13q⁶⁰ + 149q⁶¹ + 57q⁶² + 18q⁶³ + 16q⁶⁴ - 50q⁶⁵ - 31q⁶⁶ - 15q⁶⁷ + 29q⁶⁸ + 3q⁶⁹ - 3q⁷⁰ + 10q⁷¹ - 6q⁷² - 3q⁷³ - 3q⁷⁴ + 5q⁷⁵ + q⁷⁶ - 3q⁷⁷ + q⁷⁸

7 q^-175 - 3q^-174 + q^-173 + 3q^-172 - q^-171 + 3q^-170 - 6q^-169 - 2q^-168 - 7q^-166 + 14q^-165 + 13q^-164 - q^-163 + 10q^-162 - 24q^-161 - 29q^-160 - 18q^-159 - 33q^-158 + 60q^-157 + 71q^-156 + 39q^-155 + 58q^-154 - 51q^-153 - 99q^-152 - 131q^-151 - 182q^-150 + 57q^-149 + 184q^-148 + 186q^-147 + 286q^-146 + 53q^-145 - 96q^-144 - 273q^-143 - 551q^-142 - 204q^-141 + 70q^-140 + 249q^-139 + 583q^-138 + 329q^-137 + 196q^-136 - 9q^-135 - 579q^-134 - 307q^-133 - 185q^-132 - 192q^-131 + 110q^-130 - 433q^-129 - 347q^-128 + 229q^-127 + 595q^-126 + 1916q^-125 + 2197q^-124 + 1140q^-123 - 748q^-122 - 4481q^-121 - 6478q^-120 - 5172q^-119 - 883q^-118 + 7051q^-117 + 13180q^-116 + 13906q^-115 + 7487q^-114 - 7330q^-113 - 22099q^-112 - 28819q^-111 - 21905q^-110 + 1405q^-109 + 29851q^-108 + 49468q^-107 + 47526q^-106 + 16175q^-105 - 31339q^-104 - 73050q^-103 - 84989q^-102 - 49942q^-101 + 19427q^-100 + 92925q^-99 + 131276q^-98 + 102195q^-97 + 12623q^-96 - 100329q^-95 - 179246q^-94 - 170403q^-93 - 68242q^-92 + 86908q^-91 + 218615q^-90 + 246292q^-89 + 145329q^-88 - 47240q^-87 - 238645q^-86 - 318697q^-85 - 236211q^-84 - 17228q^-83 + 232986q^-82 + 375102q^-81 + 327782q^-80 + 99580q^-79 - 200167q^-78 - 407073q^-77 - 407913q^-76 - 187803q^-75 + 146770q^-74 + 411992q^-73 + 466223q^-72 + 268990q^-71 - 82426q^-70 - 393445q^-69 - 499139q^-68 - 333930q^-67 + 18722q^-66 + 360309q^-65 + 508816q^-64 + 377573q^-63 + 35128q^-62 - 321524q^-61 - 501391q^-60 - 401454q^-59 - 75241q^-58 + 285538q^-57 + 485514q^-56 + 410025q^-55 + 101019q^-54 - 256389q^-53 - 467104q^-52 - 410023q^-51 - 116843q^-50 + 234645q^-49 + 451159q^-48 + 407318q^-47 + 127069q^-46 - 218015q^-45 - 438133q^-44 - 405703q^-43 - 137432q^-42 + 202430q^-41 + 427414q^-40 + 407191q^-39 + 151132q^-38 - 183943q^-37 - 415711q^-36 - 411425q^-35 - 170943q^-34 + 158918q^-33 + 400284q^-32 + 416587q^-31 + 196753q^-30 - 124735q^-29 - 377010q^-28 - 419971q^-27 - 228062q^-26 + 80554q^-25 + 343536q^-24 + 417350q^-23 + 261167q^-22 - 26454q^-21 - 296738q^-20 - 404840q^-19 - 292507q^-18 - 34453q^-17 + 236813q^-16 + 377966q^-15 + 315163q^-14 + 97583q^-13 - 164262q^-12 - 334103q^-11 - 323974q^-10 - 155868q^-9 + 84760q^-8 + 273053q^-7 + 312574q^-6 + 200891q^-5 - 4731q^-4 - 197716q^-3 - 279447q^-2 - 225596q^-1 - 65594 + 116048q + 225545q² + 224549q³ + 117268q⁴ - 37398q⁵ - 157725q⁶ - 198453q⁷ - 143331q⁸ - 26730q⁹ + 86431q¹⁰ + 152136q¹¹ + 141795q¹² + 68266q¹³ - 23117q¹⁴ - 96077q¹⁵ - 117236q¹⁶ - 83392q¹⁷ - 22043q¹⁸ + 42293q¹⁹ + 78577q²⁰ + 74957q²¹ + 44366q²² - 1252q²³ - 37738q²⁴ - 51161q²⁵ - 45132q²⁶ - 21326q²⁷ + 5227q²⁸ + 22737q²⁹ + 31084q³⁰ + 25589q³¹ + 13252q³² + 905q³³ - 11832q³⁴ - 17364q³⁵ - 17258q³⁶ - 13756q³⁷ - 4503q³⁸ + 4073q³⁹ + 11257q⁴⁰ + 15963q⁴¹ + 13181q⁴² + 6900q⁴³ - 1690q⁴⁴ - 10644q⁴⁵ - 13642q⁴⁶ - 12313q⁴⁷ - 6316q⁴⁸ + 2980q⁴⁹ + 9178q⁵⁰ + 11975q⁵¹ + 9746q⁵² + 2987q⁵³ - 3200q⁵⁴ - 7979q⁵⁵ - 9224q⁵⁶ - 5822q⁵⁷ - 1238q⁵⁸ + 3622q⁵⁹ + 6370q⁶⁰ + 5443q⁶¹ + 3190q⁶² - 240q⁶³ - 3138q⁶⁴ - 3837q⁶⁵ - 3255q⁶⁶ - 1195q⁶⁷ + 1023q⁶⁸ + 1927q⁶⁹ + 2168q⁷⁰ + 1419q⁷¹ + 155q⁷² - 641q⁷³ - 1244q⁷⁴ - 1034q⁷⁵ - 345q⁷⁶ + 82q⁷⁷ + 476q⁷⁸ + 515q⁷⁹ + 311q⁸⁰ + 146q⁸¹ - 157q⁸² - 274q⁸³ - 150q⁸⁴ - 79q⁸⁵ + 39q⁸⁶ + 67q⁸⁷ + 46q⁸⁸ + 76q⁸⁹ + 6q⁹⁰ - 41q⁹¹ - 26q⁹² - 16q⁹³ + 10q⁹⁴ + 6q⁹⁵ - 8q⁹⁶ + 12q⁹⁷ + 6q⁹⁸ - 6q⁹⁹ - 3q¹⁰⁰ - 3q¹⁰¹ + 5q¹⁰² + q¹⁰³ - 3q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[10, 82]]

Out[2]=
PD[X[1, 6, 2, 7], X[7, 16, 8, 17], X[3, 9, 4, 8], X[15, 3, 16, 2], > X[5, 15, 6, 14], X[9, 5, 10, 4], X[11, 18, 12, 19], X[13, 20, 14, 1], > X[17, 10, 18, 11], X[19, 12, 20, 13]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 82]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 4, -3, 6, -5, 1, -2, 3, -6, 9, -7, 10, -8, 5, -4, 2, -9, 7, -10, > 8]

In[4]:=
DTCode[Knot[10, 82]]

Out[4]=
DTCode[6, 8, 14, 16, 4, 18, 20, 2, 10, 12]

In[5]:=
br = BR[Knot[10, 82]]

Out[5]=
BR[3, {-1, -1, -1, -1, 2, -1, 2, -1, 2, 2}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{3, 10}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 82]]

Out[7]=
3

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 82]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[10, 82]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Chiral, 1, 4, 3, NotAvailable, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 82]][t]

Out[10]=
-4 4 8 12 2 3 4 -13 - t + -- - -- + -- + 12 t - 8 t + 4 t - t 3 2 t t t

In[11]:=
Conway[Knot[10, 82]][z]

Out[11]=
4 6 8 1 - 4 z - 4 z - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[10, 82]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 82]], KnotSignature[Knot[10, 82]]}

Out[13]=
{63, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[10, 82]][q]

Out[14]=
-7 3 5 8 10 10 10 2 3 -7 + q - -- + -- - -- + -- - -- + -- + 5 q - 3 q + q 6 5 4 3 2 q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[10, 82]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 82]][q]

Out[16]=
-20 -18 -16 2 -12 -10 -8 4 -4 2 2 4 6 8 q - q + q - --- - q + q - q + -- - q + -- - q + q - q + q 14 6 2 q q q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 82]][a, z]

Out[17]=
2 2 2 4 2 4 2 4 4 4 6 2 6 1 + 4 z - 8 a z + 4 a z + 4 z - 12 a z + 4 a z + z - 6 a z + 4 6 2 8 > a z - a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 82]][a, z]

Out[18]=
2 3 z 5 7 2 z 2 2 4 2 8 2 7 z 1 - - - 2 a z + 2 a z + a z - 6 z + -- - 13 a z - 5 a z - a z + ---- + a 2 a a 4 3 3 3 5 3 7 3 4 3 z 2 4 > 10 a z + 5 a z - 2 a z - 4 a z + 14 z - ---- + 32 a z + 2 a 5 4 4 6 4 8 4 10 z 5 3 5 5 5 7 5 > 10 a z - 4 a z + a z - ----- - 8 a z - 4 a z - 3 a z + 3 a z - a 6 7 6 z 2 6 4 6 6 6 3 z 7 3 7 > 14 z + -- - 27 a z - 8 a z + 4 a z + ---- - 2 a z - a z + 2 a a 5 7 8 2 8 4 8 9 3 9 > 4 a z + 4 z + 8 a z + 4 a z + 2 a z + 2 a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 82]], Vassiliev[3][Knot[10, 82]]}

Out[19]=
{0, 0}

In[20]:=
Kh[Knot[10, 82]][q, t]

Out[20]=
5 6 1 2 1 3 2 5 3 5 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + 3 q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q q t q t q t q t q t q t q t q t 5 5 5 3 t 2 3 2 3 3 5 3 > ----- + ---- + ---- + --- + 4 q t + 2 q t + 3 q t + q t + 2 q t + 5 2 5 3 q q t q t q t 7 4 > q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 82], 2][q]

Out[21]=
-20 3 -18 7 12 4 17 31 11 36 58 13 -20 + q - --- + q + --- - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + -- + 19 17 16 15 14 13 12 11 10 9 q q q q q q q q q q 60 75 5 74 70 9 71 49 2 3 4 > -- - -- + -- + -- - -- - -- + -- - -- + 54 q - 23 q - 23 q + 30 q - 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q 5 6 7 8 9 10 > 4 q - 14 q + 9 q + q - 3 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 10₈₂

10₈₁
10₈₃

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-20 - 3q^-19 + q^-18 + 7q^-17 - 12q^-16 + 4q^-15 + 17q^-14 - 31q^-13 + 11q^-12 + 36q^-11 - 58q^-10 + 13q^-9 + 60q^-8 - 75q^-7 + 5q^-6 + 74q^-5 - 70q^-4 - 9q^-3 + 71q^-2 - 49q^-1 - 20 + 54q - 23q² - 23q³ + 30q⁴ - 4q⁵ - 14q⁶ + 9q⁷ + q⁸ - 3q⁹ + q¹⁰
3	q^-39 - 3q^-38 + q^-37 + 3q^-36 + 3q^-35 - 8q^-34 - 5q^-33 + 10q^-32 + 6q^-31 - 8q^-30 - 6q^-29 + 10q^-28 - 7q^-27 - 11q^-26 + 25q^-25 + 28q^-24 - 56q^-23 - 54q^-22 + 80q^-21 + 103q^-20 - 103q^-19 - 153q^-18 + 105q^-17 + 203q^-16 - 90q^-15 - 247q^-14 + 71q^-13 + 263q^-12 - 31q^-11 - 276q^-10 + 2q^-9 + 259q^-8 + 45q^-7 - 250q^-6 - 72q^-5 + 211q^-4 + 119q^-3 - 183q^-2 - 140q^-1 + 130 + 166q - 83q² - 165q³ + 30q⁴ + 149q⁵ + 13q⁶ - 119q⁷ - 39q⁸ + 81q⁹ + 46q¹⁰ - 44q¹¹ - 41q¹² + 19q¹³ + 28q¹⁴ - 6q¹⁵ - 14q¹⁶ + q¹⁷ + 5q¹⁸ + q¹⁹ - 3q²⁰ + q²¹
4	q^-64 - 3q^-63 + q^-62 + 3q^-61 - q^-60 + 7q^-59 - 17q^-58 - q^-57 + 8q^-56 + 3q^-55 + 40q^-54 - 44q^-53 - 21q^-52 - 13q^-51 - 3q^-50 + 132q^-49 - 33q^-48 - 41q^-47 - 113q^-46 - 99q^-45 + 265q^-44 + 102q^-43 + 58q^-42 - 273q^-41 - 420q^-40 + 270q^-39 + 353q^-38 + 457q^-37 - 289q^-36 - 942q^-35 - 62q^-34 + 466q^-33 + 1095q^-32 + 61q^-31 - 1346q^-30 - 631q^-29 + 218q^-28 + 1593q^-27 + 629q^-26 - 1369q^-25 - 1049q^-24 - 245q^-23 + 1697q^-22 + 1053q^-21 - 1119q^-20 - 1125q^-19 - 624q^-18 + 1505q^-17 + 1194q^-16 - 796q^-15 - 969q^-14 - 859q^-13 + 1170q^-12 + 1169q^-11 - 426q^-10 - 699q^-9 - 1021q^-8 + 702q^-7 + 1021q^-6 + 8q^-5 - 287q^-4 - 1066q^-3 + 132q^-2 + 671q^-1 + 347 + 230q - 838q² - 315q³ + 142q⁴ + 361q⁵ + 613q⁶ - 362q⁷ - 387q⁸ - 282q⁹ + 75q¹⁰ + 610q¹¹ + 54q¹² - 142q¹³ - 346q¹⁴ - 183q¹⁵ + 317q¹⁶ + 156q¹⁷ + 76q¹⁸ - 160q¹⁹ - 192q²⁰ + 70q²¹ + 63q²² + 92q²³ - 20q²⁴ - 80q²⁵ + 2q²⁶ + 31q²⁸ + 6q²⁹ - 17q³⁰ + q³¹ - 3q³² + 5q³³ + q³⁴ - 3q³⁵ + q³⁶
5	q^-95 - 3q^-94 + q^-93 + 3q^-92 - q^-91 + 3q^-90 - 2q^-89 - 13q^-88 - 3q^-87 + 16q^-86 + 12q^-85 + 17q^-84 - 6q^-83 - 53q^-82 - 43q^-81 + 16q^-80 + 73q^-79 + 93q^-78 + 30q^-77 - 120q^-76 - 198q^-75 - 88q^-74 + 155q^-73 + 332q^-72 + 237q^-71 - 145q^-70 - 546q^-69 - 520q^-68 + 90q^-67 + 802q^-66 + 944q^-65 + 178q^-64 - 1061q^-63 - 1640q^-62 - 696q^-61 + 1232q^-60 + 2498q^-59 + 1653q^-58 - 1115q^-57 - 3508q^-56 - 3037q^-55 + 532q^-54 + 4407q^-53 + 4837q^-52 + 622q^-51 - 4992q^-50 - 6754q^-49 - 2356q^-48 + 4982q^-47 + 8603q^-46 + 4437q^-45 - 4402q^-44 - 9951q^-43 - 6585q^-42 + 3252q^-41 + 10718q^-40 + 8497q^-39 - 1855q^-38 - 10864q^-37 - 9888q^-36 + 438q^-35 + 10478q^-34 + 10747q^-33 + 827q^-32 - 9890q^-31 - 11082q^-30 - 1726q^-29 + 9088q^-28 + 11079q^-27 + 2456q^-26 - 8367q^-25 - 10877q^-24 - 2918q^-23 + 7526q^-22 + 10556q^-21 + 3459q^-20 - 6722q^-19 - 10143q^-18 - 3920q^-17 + 5625q^-16 + 9608q^-15 + 4544q^-14 - 4455q^-13 - 8830q^-12 - 5011q^-11 + 2920q^-10 + 7770q^-9 + 5459q^-8 - 1414q^-7 - 6364q^-6 - 5449q^-5 - 199q^-4 + 4654q^-3 + 5150q^-2 + 1451q^-1 - 2819 - 4246q - 2321q² + 999q³ + 3042q⁴ + 2563q⁵ + 444q⁶ - 1566q⁷ - 2220q⁸ - 1382q⁹ + 186q¹⁰ + 1436q¹¹ + 1665q¹² + 859q¹³ - 459q¹⁴ - 1401q¹⁵ - 1376q¹⁶ - 423q¹⁷ + 795q¹⁸ + 1393q¹⁹ + 962q²⁰ - 135q²¹ - 1021q²² - 1102q²³ - 383q²⁴ + 536q²⁵ + 929q²⁶ + 598q²⁷ - 108q²⁸ - 595q²⁹ - 571q³⁰ - 154q³¹ + 287q³² + 417q³³ + 215q³⁴ - 83q³⁵ - 220q³⁶ - 179q³⁷ - 27q³⁸ + 106q³⁹ + 108q⁴⁰ + 31q⁴¹ - 32q⁴² - 41q⁴³ - 31q⁴⁴ + 4q⁴⁵ + 26q⁴⁶ + 8q⁴⁷ - 5q⁴⁸ - 2q⁴⁹ - 3q⁵⁰ - 3q⁵¹ + 5q⁵² + q⁵³ - 3q⁵⁴ + q⁵⁵
6	q^-132 - 3q^-131 + q^-130 + 3q^-129 - q^-128 + 3q^-127 - 6q^-126 + 2q^-125 - 15q^-124 + 5q^-123 + 25q^-122 + 16q^-120 - 23q^-119 - 15q^-118 - 72q^-117 + 2q^-116 + 87q^-115 + 43q^-114 + 87q^-113 - 24q^-112 - 60q^-111 - 261q^-110 - 84q^-109 + 153q^-108 + 156q^-107 + 311q^-106 + 96q^-105 - 98q^-104 - 661q^-103 - 364q^-102 + 163q^-101 + 386q^-100 + 820q^-99 + 463q^-98 - 185q^-97 - 1533q^-96 - 1161q^-95 + 20q^-94 + 1069q^-93 + 2312q^-92 + 1755q^-91 - 260q^-90 - 3710q^-89 - 3953q^-88 - 1540q^-87 + 2139q^-86 + 6378q^-85 + 6599q^-84 + 1861q^-83 - 7032q^-82 - 11256q^-81 - 8631q^-80 + 130q^-79 + 12565q^-78 + 18345q^-77 + 11918q^-76 - 6427q^-75 - 21824q^-74 - 25040q^-73 - 12191q^-72 + 13927q^-71 + 34266q^-70 + 33388q^-69 + 6394q^-68 - 26624q^-67 - 45851q^-66 - 37044q^-65 + 1708q^-64 + 43188q^-63 + 58619q^-62 + 31733q^-61 - 16982q^-60 - 58169q^-59 - 64074q^-58 - 22204q^-57 + 37124q^-56 + 73753q^-55 + 57328q^-54 + 3232q^-53 - 55378q^-52 - 79670q^-51 - 44801q^-50 + 21515q^-49 + 74062q^-48 + 71209q^-47 + 21451q^-46 - 44089q^-45 - 81421q^-44 - 56589q^-43 + 7641q^-42 + 66752q^-41 + 73370q^-40 + 31002q^-39 - 33819q^-38 - 76726q^-37 - 59542q^-36 - 459q^-35 + 59376q^-34 + 70996q^-33 + 35246q^-32 - 26411q^-31 - 71364q^-30 - 60252q^-29 - 6878q^-28 + 52193q^-27 + 68311q^-26 + 39891q^-25 - 17582q^-24 - 64549q^-23 - 61493q^-22 - 16261q^-21 + 41071q^-20 + 63647q^-19 + 46271q^-18 - 3779q^-17 - 52249q^-16 - 60533q^-15 - 28472q^-14 + 23344q^-13 + 52582q^-12 + 50279q^-11 + 13503q^-10 - 32205q^-9 - 52042q^-8 - 37824q^-7 + 1665q^-6 + 32754q^-5 + 45373q^-4 + 27043q^-3 - 8032q^-2 - 33436q^-1 - 36555 - 15292q + 8648q² + 28942q³ + 28258q⁴ + 10285q⁵ - 10353q⁶ - 22543q⁷ - 18535q⁸ - 8616q⁹ + 8088q¹⁰ + 16169q¹¹ + 13899q¹² + 5123q¹³ - 4599q¹⁴ - 8683q¹⁵ - 10970q¹⁶ - 4553q¹⁷ + 1266q¹⁸ + 5394q¹⁹ + 6288q²⁰ + 4694q²¹ + 2559q²² - 3084q²³ - 4200q²⁴ - 4788q²⁵ - 2954q²⁶ - 323q²⁷ + 2875q²⁸ + 5316q²⁹ + 3033q³⁰ + 1294q³¹ - 2004q³² - 3673q³³ - 3927q³⁴ - 1595q³⁵ + 1802q³⁶ + 2606q³⁷ + 3160q³⁸ + 1390q³⁹ - 528q⁴⁰ - 2430q⁴¹ - 2351q⁴² - 801q⁴³ + 150q⁴⁴ + 1487q⁴⁵ + 1486q⁴⁶ + 952q⁴⁷ - 356q⁴⁸ - 907q⁴⁹ - 726q⁵⁰ - 592q⁵¹ + 110q⁵² + 435q⁵³ + 588q⁵⁴ + 165q⁵⁵ - 83q⁵⁶ - 138q⁵⁷ - 269q⁵⁸ - 108q⁵⁹ + 13q⁶⁰ + 149q⁶¹ + 57q⁶² + 18q⁶³ + 16q⁶⁴ - 50q⁶⁵ - 31q⁶⁶ - 15q⁶⁷ + 29q⁶⁸ + 3q⁶⁹ - 3q⁷⁰ + 10q⁷¹ - 6q⁷² - 3q⁷³ - 3q⁷⁴ + 5q⁷⁵ + q⁷⁶ - 3q⁷⁷ + q⁷⁸
7	q^-175 - 3q^-174 + q^-173 + 3q^-172 - q^-171 + 3q^-170 - 6q^-169 - 2q^-168 - 7q^-166 + 14q^-165 + 13q^-164 - q^-163 + 10q^-162 - 24q^-161 - 29q^-160 - 18q^-159 - 33q^-158 + 60q^-157 + 71q^-156 + 39q^-155 + 58q^-154 - 51q^-153 - 99q^-152 - 131q^-151 - 182q^-150 + 57q^-149 + 184q^-148 + 186q^-147 + 286q^-146 + 53q^-145 - 96q^-144 - 273q^-143 - 551q^-142 - 204q^-141 + 70q^-140 + 249q^-139 + 583q^-138 + 329q^-137 + 196q^-136 - 9q^-135 - 579q^-134 - 307q^-133 - 185q^-132 - 192q^-131 + 110q^-130 - 433q^-129 - 347q^-128 + 229q^-127 + 595q^-126 + 1916q^-125 + 2197q^-124 + 1140q^-123 - 748q^-122 - 4481q^-121 - 6478q^-120 - 5172q^-119 - 883q^-118 + 7051q^-117 + 13180q^-116 + 13906q^-115 + 7487q^-114 - 7330q^-113 - 22099q^-112 - 28819q^-111 - 21905q^-110 + 1405q^-109 + 29851q^-108 + 49468q^-107 + 47526q^-106 + 16175q^-105 - 31339q^-104 - 73050q^-103 - 84989q^-102 - 49942q^-101 + 19427q^-100 + 92925q^-99 + 131276q^-98 + 102195q^-97 + 12623q^-96 - 100329q^-95 - 179246q^-94 - 170403q^-93 - 68242q^-92 + 86908q^-91 + 218615q^-90 + 246292q^-89 + 145329q^-88 - 47240q^-87 - 238645q^-86 - 318697q^-85 - 236211q^-84 - 17228q^-83 + 232986q^-82 + 375102q^-81 + 327782q^-80 + 99580q^-79 - 200167q^-78 - 407073q^-77 - 407913q^-76 - 187803q^-75 + 146770q^-74 + 411992q^-73 + 466223q^-72 + 268990q^-71 - 82426q^-70 - 393445q^-69 - 499139q^-68 - 333930q^-67 + 18722q^-66 + 360309q^-65 + 508816q^-64 + 377573q^-63 + 35128q^-62 - 321524q^-61 - 501391q^-60 - 401454q^-59 - 75241q^-58 + 285538q^-57 + 485514q^-56 + 410025q^-55 + 101019q^-54 - 256389q^-53 - 467104q^-52 - 410023q^-51 - 116843q^-50 + 234645q^-49 + 451159q^-48 + 407318q^-47 + 127069q^-46 - 218015q^-45 - 438133q^-44 - 405703q^-43 - 137432q^-42 + 202430q^-41 + 427414q^-40 + 407191q^-39 + 151132q^-38 - 183943q^-37 - 415711q^-36 - 411425q^-35 - 170943q^-34 + 158918q^-33 + 400284q^-32 + 416587q^-31 + 196753q^-30 - 124735q^-29 - 377010q^-28 - 419971q^-27 - 228062q^-26 + 80554q^-25 + 343536q^-24 + 417350q^-23 + 261167q^-22 - 26454q^-21 - 296738q^-20 - 404840q^-19 - 292507q^-18 - 34453q^-17 + 236813q^-16 + 377966q^-15 + 315163q^-14 + 97583q^-13 - 164262q^-12 - 334103q^-11 - 323974q^-10 - 155868q^-9 + 84760q^-8 + 273053q^-7 + 312574q^-6 + 200891q^-5 - 4731q^-4 - 197716q^-3 - 279447q^-2 - 225596q^-1 - 65594 + 116048q + 225545q² + 224549q³ + 117268q⁴ - 37398q⁵ - 157725q⁶ - 198453q⁷ - 143331q⁸ - 26730q⁹ + 86431q¹⁰ + 152136q¹¹ + 141795q¹² + 68266q¹³ - 23117q¹⁴ - 96077q¹⁵ - 117236q¹⁶ - 83392q¹⁷ - 22043q¹⁸ + 42293q¹⁹ + 78577q²⁰ + 74957q²¹ + 44366q²² - 1252q²³ - 37738q²⁴ - 51161q²⁵ - 45132q²⁶ - 21326q²⁷ + 5227q²⁸ + 22737q²⁹ + 31084q³⁰ + 25589q³¹ + 13252q³² + 905q³³ - 11832q³⁴ - 17364q³⁵ - 17258q³⁶ - 13756q³⁷ - 4503q³⁸ + 4073q³⁹ + 11257q⁴⁰ + 15963q⁴¹ + 13181q⁴² + 6900q⁴³ - 1690q⁴⁴ - 10644q⁴⁵ - 13642q⁴⁶ - 12313q⁴⁷ - 6316q⁴⁸ + 2980q⁴⁹ + 9178q⁵⁰ + 11975q⁵¹ + 9746q⁵² + 2987q⁵³ - 3200q⁵⁴ - 7979q⁵⁵ - 9224q⁵⁶ - 5822q⁵⁷ - 1238q⁵⁸ + 3622q⁵⁹ + 6370q⁶⁰ + 5443q⁶¹ + 3190q⁶² - 240q⁶³ - 3138q⁶⁴ - 3837q⁶⁵ - 3255q⁶⁶ - 1195q⁶⁷ + 1023q⁶⁸ + 1927q⁶⁹ + 2168q⁷⁰ + 1419q⁷¹ + 155q⁷² - 641q⁷³ - 1244q⁷⁴ - 1034q⁷⁵ - 345q⁷⁶ + 82q⁷⁷ + 476q⁷⁸ + 515q⁷⁹ + 311q⁸⁰ + 146q⁸¹ - 157q⁸² - 274q⁸³ - 150q⁸⁴ - 79q⁸⁵ + 39q⁸⁶ + 67q⁸⁷ + 46q⁸⁸ + 76q⁸⁹ + 6q⁹⁰ - 41q⁹¹ - 26q⁹² - 16q⁹³ + 10q⁹⁴ + 6q⁹⁵ - 8q⁹⁶ + 12q⁹⁷ + 6q⁹⁸ - 6q⁹⁹ - 3q¹⁰⁰ - 3q¹⁰¹ + 5q¹⁰² + q¹⁰³ - 3q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[10, 82]]
Out[2]=	PD[X[1, 6, 2, 7], X[7, 16, 8, 17], X[3, 9, 4, 8], X[15, 3, 16, 2], > X[5, 15, 6, 14], X[9, 5, 10, 4], X[11, 18, 12, 19], X[13, 20, 14, 1], > X[17, 10, 18, 11], X[19, 12, 20, 13]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[10, 82]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 6, -5, 1, -2, 3, -6, 9, -7, 10, -8, 5, -4, 2, -9, 7, -10, > 8]
In[4]:=	DTCode[Knot[10, 82]]
Out[4]=	DTCode[6, 8, 14, 16, 4, 18, 20, 2, 10, 12]
In[5]:=	br = BR[Knot[10, 82]]
Out[5]=	BR[3, {-1, -1, -1, -1, 2, -1, 2, -1, 2, 2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[10, 82]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[10, 82]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[10, 82]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Chiral, 1, 4, 3, NotAvailable, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[10, 82]][t]
Out[10]=	-4 4 8 12 2 3 4 -13 - t + -- - -- + -- + 12 t - 8 t + 4 t - t 3 2 t t t
In[11]:=	Conway[Knot[10, 82]][z]
Out[11]=	4 6 8 1 - 4 z - 4 z - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[10, 82]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[10, 82]], KnotSignature[Knot[10, 82]]}
Out[13]=	{63, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[10, 82]][q]
Out[14]=	-7 3 5 8 10 10 10 2 3 -7 + q - -- + -- - -- + -- - -- + -- + 5 q - 3 q + q 6 5 4 3 2 q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[10, 82]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[10, 82]][q]
Out[16]=	-20 -18 -16 2 -12 -10 -8 4 -4 2 2 4 6 8 q - q + q - --- - q + q - q + -- - q + -- - q + q - q + q 14 6 2 q q q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[10, 82]][a, z]
Out[17]=	2 2 2 4 2 4 2 4 4 4 6 2 6 1 + 4 z - 8 a z + 4 a z + 4 z - 12 a z + 4 a z + z - 6 a z + 4 6 2 8 > a z - a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[10, 82]][a, z]
Out[18]=	2 3 z 5 7 2 z 2 2 4 2 8 2 7 z 1 - - - 2 a z + 2 a z + a z - 6 z + -- - 13 a z - 5 a z - a z + ---- + a 2 a a 4 3 3 3 5 3 7 3 4 3 z 2 4 > 10 a z + 5 a z - 2 a z - 4 a z + 14 z - ---- + 32 a z + 2 a 5 4 4 6 4 8 4 10 z 5 3 5 5 5 7 5 > 10 a z - 4 a z + a z - ----- - 8 a z - 4 a z - 3 a z + 3 a z - a 6 7 6 z 2 6 4 6 6 6 3 z 7 3 7 > 14 z + -- - 27 a z - 8 a z + 4 a z + ---- - 2 a z - a z + 2 a a 5 7 8 2 8 4 8 9 3 9 > 4 a z + 4 z + 8 a z + 4 a z + 2 a z + 2 a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[10, 82]], Vassiliev[3][Knot[10, 82]]}
Out[19]=	{0, 0}
In[20]:=	Kh[Knot[10, 82]][q, t]
Out[20]=	5 6 1 2 1 3 2 5 3 5 -- + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + 3 q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q q t q t q t q t q t q t q t q t 5 5 5 3 t 2 3 2 3 3 5 3 > ----- + ---- + ---- + --- + 4 q t + 2 q t + 3 q t + q t + 2 q t + 5 2 5 3 q q t q t q t 7 4 > q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[10, 82], 2][q]
Out[21]=	-20 3 -18 7 12 4 17 31 11 36 58 13 -20 + q - --- + q + --- - --- + --- + --- - --- + --- + --- - --- + -- + 19 17 16 15 14 13 12 11 10 9 q q q q q q q q q q 60 75 5 74 70 9 71 49 2 3 4 > -- - -- + -- + -- - -- - -- + -- - -- + 54 q - 23 q - 23 q + 30 q - 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q 5 6 7 8 9 10 > 4 q - 14 q + 9 q + q - 3 q + q

The Alternating Knot 1082

The Alternating Knot 10₈₂