 1063 |
 1065 |
| © | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: |
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 KnotPlot |
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The Alternating Knot 1064Visit 1064's page at the Knot Server (KnotPlot driven, includes 3D interactive images!) Visit 1064's page at Knotilus! |
 KnotPlot |
| PD Presentation: | X8291 X10,4,11,3 X2,10,3,9 X18,12,19,11 X14,5,15,6 X4,17,5,18 X16,7,17,8 X6,15,7,16 X20,14,1,13 X12,20,13,19 |
| Gauss Code: | {1, -3, 2, -6, 5, -8, 7, -1, 3, -2, 4, -10, 9, -5, 8, -7, 6, -4, 10, -9} |
| DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: | 8 10 14 16 2 18 20 6 4 12 |
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Minimum Braid Representative:
Length is 10, width is 3 Braid index is 3 |
A Morse Link Presentation:
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| 3D Invariants: |
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| Alexander Polynomial: | - t-4 + 3t-3 - 6t-2 + 10t-1 - 11 + 10t - 6t2 + 3t3 - t4 |
| Conway Polynomial: | 1 - 3z2 - 8z4 - 5z6 - z8 |
| Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: | {...} |
| Determinant and Signature: | {51, 2} |
| Jones Polynomial: | q-3 - 2q-2 + 4q-1 - 6 + 8q - 8q2 + 8q3 - 7q4 + 4q5 - 2q6 + q7 |
| Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: | {...} |
| A2 (sl(3)) Invariant: | q-8 + 2q-4 + q2 - 2q4 + 2q6 - 2q8 - q12 - q14 + 2q16 + q20 |
| HOMFLY-PT Polynomial: | 3a-4 + 8a-4z2 + 5a-4z4 + a-4z6 - 6a-2 - 19a-2z2 - 18a-2z4 - 7a-2z6 - a-2z8 + 4 + 8z2 + 5z4 + z6 |
| Kauffman Polynomial: | - 2a-8z2 + a-8z4 - 3a-7z3 + 2a-7z5 + 3a-6z2 - 5a-6z4 + 3a-6z6 - 4a-5z + 15a-5z3 - 11a-5z5 + 4a-5z7 + 3a-4 - 8a-4z2 + 13a-4z4 - 8a-4z6 + 3a-4z8 - 6a-3z + 16a-3z3 - 11a-3z5 + 2a-3z7 + a-3z9 + 6a-2 - 26a-2z2 + 30a-2z4 - 18a-2z6 + 5a-2z8 - 3a-1z + 4a-1z3 - 5a-1z5 + a-1z9 + 4 - 9z2 + 7z4 - 6z6 + 2z8 - az + 6az3 - 7az5 + 2az7 + 4a2z2 - 4a2z4 + a2z6 |
| V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: | {-3, -3} |
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Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 1064. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.) |
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| n | Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2)) |
| 2 | q-10 - 2q-9 + 6q-7 - 7q-6 - 4q-5 + 18q-4 - 13q-3 - 16q-2 + 35q-1 - 13 - 33q + 48q2 - 5q3 - 48q4 + 50q5 + 5q6 - 53q7 + 42q8 + 9q9 - 42q10 + 26q11 + 9q12 - 22q13 + 10q14 + 5q15 - 8q16 + 3q17 + q18 - 2q19 + q20 |
| 3 | q-21 - 2q-20 + 2q-18 + 3q-17 - 6q-16 - 4q-15 + 7q-14 + 12q-13 - 13q-12 - 19q-11 + 11q-10 + 37q-9 - 11q-8 - 51q-7 - 4q-6 + 72q-5 + 20q-4 - 82q-3 - 47q-2 + 89q-1 + 73 - 82q - 105q2 + 75q3 + 127q4 - 54q5 - 151q6 + 37q7 + 165q8 - 13q9 - 178q10 - 3q11 + 175q12 + 22q13 - 168q14 - 36q15 + 149q16 + 44q17 - 120q18 - 51q19 + 94q20 + 44q21 - 57q22 - 41q23 + 35q24 + 29q25 - 18q26 - 17q27 + 6q28 + 11q29 - 5q30 - 3q31 + q32 + 3q33 - 3q34 + q35 + q37 - 2q38 + q39 |
| 4 | q-36 - 2q-35 + 2q-33 - q-32 + 4q-31 - 8q-30 + 8q-28 - 4q-27 + 13q-26 - 23q-25 - 7q-24 + 20q-23 + q-22 + 40q-21 - 51q-20 - 39q-19 + 17q-18 + 13q-17 + 120q-16 - 54q-15 - 95q-14 - 50q-13 - 24q-12 + 246q-11 + 26q-10 - 93q-9 - 162q-8 - 183q-7 + 310q-6 + 160q-5 + 50q-4 - 196q-3 - 420q-2 + 220q-1 + 225 + 288q - 80q2 - 607q3 + 24q4 + 161q5 + 504q6 + 130q7 - 682q8 - 183q9 + 26q10 + 651q11 + 332q12 - 683q13 - 345q14 - 109q15 + 726q16 + 487q17 - 625q18 - 453q19 - 237q20 + 714q21 + 593q22 - 489q23 - 472q24 - 358q25 + 569q26 + 610q27 - 269q28 - 361q29 - 420q30 + 313q31 + 485q32 - 56q33 - 154q34 - 357q35 + 73q36 + 267q37 + 38q38 + 17q39 - 203q40 - 29q41 + 86q42 + 21q43 + 71q44 - 76q45 - 26q46 + 14q47 - 8q48 + 46q49 - 24q50 - 6q51 + 4q52 - 12q53 + 19q54 - 8q55 - q56 + 3q57 - 6q58 + 6q59 - 2q60 + q62 - 2q63 + q64 |
| 5 | q-55 - 2q-54 + 2q-52 - q-51 + 2q-49 - 4q-48 - q-47 + 7q-46 - 6q-44 + q-43 - 7q-42 - 2q-41 + 18q-40 + 14q-39 - 7q-38 - 14q-37 - 31q-36 - 21q-35 + 30q-34 + 60q-33 + 42q-32 - 4q-31 - 86q-30 - 113q-29 - 33q-28 + 88q-27 + 173q-26 + 149q-25 - 42q-24 - 246q-23 - 268q-22 - 88q-21 + 217q-20 + 437q-19 + 297q-18 - 128q-17 - 498q-16 - 549q-15 - 140q-14 + 479q-13 + 780q-12 + 468q-11 - 256q-10 - 891q-9 - 873q-8 - 109q-7 + 830q-6 + 1196q-5 + 622q-4 - 568q-3 - 1411q-2 - 1142q-1 + 115 + 1422q + 1658q2 + 440q3 - 1285q4 - 2016q5 - 1053q6 + 971q7 + 2302q8 + 1620q9 - 617q10 - 2422q11 - 2112q12 + 205q13 + 2490q14 + 2530q15 + 130q16 - 2479q17 - 2847q18 - 466q19 + 2480q20 + 3113q21 + 718q22 - 2437q23 - 3333q24 - 985q25 + 2403q26 + 3513q27 + 1221q28 - 2279q29 - 3638q30 - 1509q31 + 2082q32 + 3685q33 + 1789q34 - 1759q35 - 3582q36 - 2058q37 + 1296q38 + 3331q39 + 2261q40 - 779q41 - 2884q42 - 2294q43 + 198q44 + 2287q45 + 2213q46 + 251q47 - 1621q48 - 1886q49 - 613q50 + 959q51 + 1495q52 + 747q53 - 424q54 - 1016q55 - 722q56 + 39q57 + 591q58 + 589q59 + 158q60 - 276q61 - 390q62 - 216q63 + 60q64 + 234q65 + 188q66 + 22q67 - 101q68 - 129q69 - 59q70 + 46q71 + 73q72 + 36q73 + 2q74 - 40q75 - 35q76 + 10q77 + 16q78 + 5q79 + 10q80 - 8q81 - 15q82 + 8q83 + 5q84 - 4q85 + 3q86 - 6q88 + 3q89 + 3q90 - 2q91 + q93 - 2q94 + q95 |
| 6 | q-78 - 2q-77 + 2q-75 - q-74 - 2q-72 + 6q-71 - 5q-70 - 2q-69 + 9q-68 - 4q-67 - 4q-66 - 12q-65 + 17q-64 - 6q-63 - 2q-62 + 29q-61 - q-60 - 12q-59 - 47q-58 + 19q-57 - 22q-56 - 5q-55 + 81q-54 + 47q-53 + 17q-52 - 97q-51 - 11q-50 - 117q-49 - 88q-48 + 113q-47 + 167q-46 + 189q-45 - 23q-44 + 42q-43 - 295q-42 - 390q-41 - 125q-40 + 137q-39 + 441q-38 + 343q-37 + 551q-36 - 161q-35 - 702q-34 - 789q-33 - 538q-32 + 130q-31 + 553q-30 + 1556q-29 + 887q-28 - 89q-27 - 1086q-26 - 1650q-25 - 1370q-24 - 615q-23 + 1800q-22 + 2263q-21 + 1962q-20 + 453q-19 - 1441q-18 - 2968q-17 - 3399q-16 - 327q-15 + 1750q-14 + 3761q-13 + 3662q-12 + 1666q-11 - 2077q-10 - 5527q-9 - 4171q-8 - 2018q-7 + 2531q-6 + 5807q-5 + 6462q-4 + 2325q-3 - 4227q-2 - 6703q-1 - 7344 - 2308q + 4352q2 + 9787q3 + 8161q4 + 600q5 - 5761q6 - 11142q7 - 8413q8 - 314q9 + 9884q10 + 12538q11 + 6492q12 - 2093q13 - 12089q14 - 13151q15 - 5710q16 + 7704q17 + 14463q18 + 11116q19 + 1982q20 - 11212q21 - 15773q22 - 9825q23 + 5261q24 + 14878q25 + 13936q26 + 4891q27 - 10154q28 - 17117q29 - 12374q30 + 3644q31 + 15049q32 + 15742q33 + 6713q34 - 9527q35 - 18153q36 - 14261q37 + 2366q38 + 15200q39 + 17364q40 + 8563q41 - 8490q42 - 18820q43 - 16275q44 + 122q45 + 14208q46 + 18491q47 + 11158q48 - 5625q49 - 17725q50 - 17819q51 - 3626q52 + 10615q53 + 17469q54 + 13505q55 - 732q56 - 13440q57 - 16935q58 - 7352q59 + 4645q60 + 12984q61 + 13315q62 + 4056q63 - 6722q64 - 12462q65 - 8423q66 - 980q67 + 6318q68 + 9619q69 + 5905q70 - 770q71 - 6164q72 - 6065q73 - 3407q74 + 865q75 + 4475q76 + 4390q77 + 1819q78 - 1387q79 - 2479q80 - 2658q81 - 1303q82 + 901q83 + 1830q84 + 1540q85 + 420q86 - 207q87 - 1030q88 - 1115q89 - 282q90 + 307q91 + 565q92 + 420q93 + 373q94 - 138q95 - 460q96 - 250q97 - 78q98 + 78q99 + 115q100 + 250q101 + 54q102 - 136q103 - 70q104 - 55q105 - 11q106 - 6q107 + 95q108 + 36q109 - 46q110 - 5q111 - 12q112 - q113 - 18q114 + 28q115 + 12q116 - 21q117 + 5q118 - q119 + 5q120 - 9q121 + 6q122 + 4q123 - 9q124 + 3q125 + 3q127 - 2q128 + q130 - 2q131 + q132 |
| 7 | q-105 - 2q-104 + 2q-102 - q-101 - 2q-99 + 2q-98 + 5q-97 - 6q-96 + 5q-94 - 4q-93 - 2q-92 - 10q-91 + 22q-89 - 4q-88 + 3q-87 + 12q-86 - 9q-85 - 4q-84 - 42q-83 - 27q-82 + 41q-81 + 10q-80 + 32q-79 + 49q-78 + 6q-77 + 15q-76 - 94q-75 - 128q-74 - 9q-73 - 23q-72 + 75q-71 + 155q-70 + 117q-69 + 173q-68 - 55q-67 - 262q-66 - 217q-65 - 308q-64 - 105q-63 + 174q-62 + 303q-61 + 634q-60 + 441q-59 + 8q-58 - 264q-57 - 859q-56 - 900q-55 - 565q-54 - 154q-53 + 927q-52 + 1422q-51 + 1360q-50 + 1025q-49 - 431q-48 - 1595q-47 - 2246q-46 - 2414q-45 - 812q-44 + 987q-43 + 2657q-42 + 3994q-41 + 2890q-40 + 744q-39 - 2026q-38 - 4960q-37 - 5216q-36 - 3756q-35 - 395q-34 + 4526q-33 + 7062q-32 + 7300q-31 + 4433q-30 - 1743q-29 - 6853q-28 - 10308q-27 - 9759q-26 - 3499q-25 + 3887q-24 + 11148q-23 + 14538q-22 + 10517q-21 + 2584q-20 - 8367q-19 - 17243q-18 - 17786q-17 - 11642q-16 + 1457q-15 + 15925q-14 + 23047q-13 + 21827q-12 + 9269q-11 - 9743q-10 - 24481q-9 - 30864q-8 - 22168q-7 - 1114q-6 + 20798q-5 + 36579q-4 + 35094q-3 + 15346q-2 - 11803q-1 - 37551 - 45964q - 30988q2 - 1297q3 + 33399q4 + 52896q5 + 45832q6 + 17074q7 - 24607q8 - 55529q9 - 58352q10 - 33236q11 + 12779q12 + 53817q13 + 67315q14 + 48358q15 + 643q16 - 48897q17 - 72915q18 - 61137q19 - 13735q20 + 42067q21 + 75282q22 + 71055q23 + 25648q24 - 34580q25 - 75664q26 - 78308q27 - 35317q28 + 27708q29 + 74667q30 + 83188q31 + 42873q32 - 21949q33 - 73518q34 - 86531q35 - 48238q36 + 17753q37 + 72555q38 + 88942q39 + 52215q40 - 14914q41 - 72375q42 - 91136q43 - 55267q44 + 12971q45 + 72731q46 + 93613q47 + 58404q48 - 11224q49 - 73462q50 - 96506q51 - 62084q52 + 8684q53 + 73634q54 + 99609q55 + 66960q56 - 4479q57 - 72419q58 - 102281q59 - 72760q60 - 1962q61 + 68526q62 + 103264q63 + 79015q64 + 10937q65 - 61196q66 - 101462q67 - 84381q68 - 21616q69 + 50105q70 + 95416q71 + 87241q72 + 32873q73 - 35613q74 - 84793q75 - 86337q76 - 42627q77 + 19515q78 + 69826q79 + 80246q80 + 49104q81 - 3400q82 - 51972q83 - 69680q84 - 50940q85 - 9816q86 + 33522q87 + 55187q88 + 47661q89 + 18996q90 - 16724q91 - 39410q92 - 40285q93 - 22937q94 + 3819q95 + 24282q96 + 30320q97 + 22314q98 + 4494q99 - 11906q100 - 20064q101 - 18491q102 - 8191q103 + 3390q104 + 11128q105 + 13121q106 + 8450q107 + 1476q108 - 4617q109 - 8015q110 - 6744q111 - 3241q112 + 725q113 + 3942q114 + 4397q115 + 3233q116 + 1076q117 - 1383q118 - 2354q119 - 2373q120 - 1511q121 + 68q122 + 961q123 + 1442q124 + 1266q125 + 383q126 - 181q127 - 707q128 - 885q129 - 451q130 - 96q131 + 330q132 + 500q133 + 273q134 + 195q135 - 61q136 - 292q137 - 215q138 - 143q139 + 57q140 + 141q141 + 49q142 + 104q143 + 35q144 - 74q145 - 61q146 - 68q147 + 22q148 + 48q149 - 15q150 + 28q151 + 17q152 - 14q153 - 7q154 - 29q155 + 9q156 + 20q157 - 12q158 + 4q159 + 2q160 - q161 + 5q162 - 10q163 + q164 + 7q165 - 5q166 + 3q170 - 2q171 + q173 - 2q174 + q175 |
Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):
In[1]:= |
<< KnotTheory` |
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)... | |
In[2]:= | PD[Knot[10, 64]] |
Out[2]= | PD[X[8, 2, 9, 1], X[10, 4, 11, 3], X[2, 10, 3, 9], X[18, 12, 19, 11], > X[14, 5, 15, 6], X[4, 17, 5, 18], X[16, 7, 17, 8], X[6, 15, 7, 16], > X[20, 14, 1, 13], X[12, 20, 13, 19]] |
In[3]:= | GaussCode[Knot[10, 64]] |
Out[3]= | GaussCode[1, -3, 2, -6, 5, -8, 7, -1, 3, -2, 4, -10, 9, -5, 8, -7, 6, -4, 10, > -9] |
In[4]:= | DTCode[Knot[10, 64]] |
Out[4]= | DTCode[8, 10, 14, 16, 2, 18, 20, 6, 4, 12] |
In[5]:= | br = BR[Knot[10, 64]] |
Out[5]= | BR[3, {1, 1, 1, -2, 1, 1, 1, -2, -2, -2}] |
In[6]:= | {First[br], Crossings[br]} |
Out[6]= | {3, 10} |
In[7]:= | BraidIndex[Knot[10, 64]] |
Out[7]= | 3 |
In[8]:= | Show[DrawMorseLink[Knot[10, 64]]] |
| |
Out[8]= | -Graphics- |
In[9]:= | #[Knot[10, 64]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex} |
Out[9]= | {Reversible, 2, 4, 3, NotAvailable, 1} |
In[10]:= | alex = Alexander[Knot[10, 64]][t] |
Out[10]= | -4 3 6 10 2 3 4
-11 - t + -- - -- + -- + 10 t - 6 t + 3 t - t
3 2 t
t t |
In[11]:= | Conway[Knot[10, 64]][z] |
Out[11]= | 2 4 6 8 1 - 3 z - 8 z - 5 z - z |
In[12]:= | Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&] |
Out[12]= | {Knot[10, 64]} |
In[13]:= | {KnotDet[Knot[10, 64]], KnotSignature[Knot[10, 64]]} |
Out[13]= | {51, 2} |
In[14]:= | Jones[Knot[10, 64]][q] |
Out[14]= | -3 2 4 2 3 4 5 6 7
-6 + q - -- + - + 8 q - 8 q + 8 q - 7 q + 4 q - 2 q + q
2 q
q |
In[15]:= | Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&] |
Out[15]= | {Knot[10, 64]} |
In[16]:= | A2Invariant[Knot[10, 64]][q] |
Out[16]= | -8 2 2 4 6 8 12 14 16 20
q + -- + q - 2 q + 2 q - 2 q - q - q + 2 q + q
4
q |
In[17]:= | HOMFLYPT[Knot[10, 64]][a, z] |
Out[17]= | 2 2 4 4 6 6 8
3 6 2 8 z 19 z 4 5 z 18 z 6 z 7 z z
4 + -- - -- + 8 z + ---- - ----- + 5 z + ---- - ----- + z + -- - ---- - --
4 2 4 2 4 2 4 2 2
a a a a a a a a a |
In[18]:= | Kauffman[Knot[10, 64]][a, z] |
Out[18]= | 2 2 2 2
3 6 4 z 6 z 3 z 2 2 z 3 z 8 z 26 z
4 + -- + -- - --- - --- - --- - a z - 9 z - ---- + ---- - ---- - ----- +
4 2 5 3 a 8 6 4 2
a a a a a a a a
3 3 3 3 4 4 4
2 2 3 z 15 z 16 z 4 z 3 4 z 5 z 13 z
> 4 a z - ---- + ----- + ----- + ---- + 6 a z + 7 z + -- - ---- + ----- +
7 5 3 a 8 6 4
a a a a a a
4 5 5 5 5 6
30 z 2 4 2 z 11 z 11 z 5 z 5 6 3 z
> ----- - 4 a z + ---- - ----- - ----- - ---- - 7 a z - 6 z + ---- -
2 7 5 3 a 6
a a a a a
6 6 7 7 8 8 9 9
8 z 18 z 2 6 4 z 2 z 7 8 3 z 5 z z z
> ---- - ----- + a z + ---- + ---- + 2 a z + 2 z + ---- + ---- + -- + --
4 2 5 3 4 2 3 a
a a a a a a a |
In[19]:= | {Vassiliev[2][Knot[10, 64]], Vassiliev[3][Knot[10, 64]]} |
Out[19]= | {-3, -3} |
In[20]:= | Kh[Knot[10, 64]][q, t] |
Out[20]= | 3 1 1 1 3 1 3 3 q 3
5 q + 4 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + --- + 4 q t +
7 4 5 3 3 3 3 2 2 q t t
q t q t q t q t q t
5 5 2 7 2 7 3 9 3 9 4 11 4
> 4 q t + 4 q t + 4 q t + 3 q t + 4 q t + q t + 3 q t +
11 5 13 5 15 6
> q t + q t + q t |
In[21]:= | ColouredJones[Knot[10, 64], 2][q] |
Out[21]= | -10 2 6 7 4 18 13 16 35 2 3
-13 + q - -- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - 33 q + 48 q - 5 q -
9 7 6 5 4 3 2 q
q q q q q q q
4 5 6 7 8 9 10 11 12
> 48 q + 50 q + 5 q - 53 q + 42 q + 9 q - 42 q + 26 q + 9 q -
13 14 15 16 17 18 19 20
> 22 q + 10 q + 5 q - 8 q + 3 q + q - 2 q + q |
| Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 1064 |
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