© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:
10.61
1061
10.63
1063
    10.62
KnotPlot
This page is passe. Go here instead!

   The Alternating Knot 1062   

Visit 1062's page at the Knot Server (KnotPlot driven, includes 3D interactive images!)

Visit 1062's page at Knotilus!

Acknowledgement

10.62
KnotPlot

PD Presentation: X1425 X3,10,4,11 X11,19,12,18 X5,15,6,14 X7,17,8,16 X15,7,16,6 X17,9,18,8 X13,1,14,20 X19,13,20,12 X9,2,10,3

Gauss Code: {-1, 10, -2, 1, -4, 6, -5, 7, -10, 2, -3, 9, -8, 4, -6, 5, -7, 3, -9, 8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 14 16 2 18 20 6 8 12

Minimum Braid Representative:


Length is 10, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:
Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index
Reversible 2 4 3 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: t-4 - 3t-3 + 6t-2 - 8t-1 + 9 - 8t + 6t2 - 3t3 + t4

Conway Polynomial: 1 + 5z2 + 8z4 + 5z6 + z8

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {K11n76, K11n78, ...}

Determinant and Signature: {45, 4}

Jones Polynomial: - q-1 + 2 - 3q + 6q2 - 6q3 + 7q4 - 7q5 + 6q6 - 4q7 + 2q8 - q9

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q-2 - q2 + q4 + 2q6 + q8 + 3q10 - q12 + 2q14 - 2q22 - q26

HOMFLY-PT Polynomial: - 4a-6 - 8a-6z2 - 5a-6z4 - a-6z6 + 7a-4 + 20a-4z2 + 18a-4z4 + 7a-4z6 + a-4z8 - 2a-2 - 7a-2z2 - 5a-2z4 - a-2z6

Kauffman Polynomial: - a-11z + a-11z3 - a-10z2 + 2a-10z4 + a-9z - 2a-9z3 + 3a-9z5 + 4a-8z2 - 6a-8z4 + 4a-8z6 - a-7z + 5a-7z3 - 8a-7z5 + 4a-7z7 + 4a-6 - 8a-6z2 + 6a-6z4 - 7a-6z6 + 3a-6z8 - 6a-5z + 16a-5z3 - 15a-5z5 + 2a-5z7 + a-5z9 + 7a-4 - 23a-4z2 + 30a-4z4 - 21a-4z6 + 5a-4z8 - 5a-3z + 15a-3z3 - 9a-3z5 - a-3z7 + a-3z9 + 2a-2 - 10a-2z2 + 16a-2z4 - 10a-2z6 + 2a-2z8 - 2a-1z + 7a-1z3 - 5a-1z5 + a-1z7

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {5, 9}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=4 is the signature of 1062. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)
  
trqj r = -3r = -2r = -1r = 0r = 1r = 2r = 3r = 4r = 5r = 6r = 7
j = 19          1
j = 17         1 
j = 15        31 
j = 13       31  
j = 11      43   
j = 9     33    
j = 7    34     
j = 5   33      
j = 3  14       
j = 1 12        
j = -1 1         
j = -31          

 n  Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q-5 - 2q-4 - q-3 + 6q-2 - 5q-1 - 7 + 15q - 3q2 - 18q3 + 23q4 + 3q5 - 29q6 + 24q7 + 11q8 - 36q9 + 19q10 + 19q11 - 34q12 + 12q13 + 20q14 - 27q15 + 7q16 + 13q17 - 16q18 + 5q19 + 5q20 - 7q21 + 3q22 + q23 - 2q24 + q25
3 - q-12 + 2q-11 + q-10 - 2q-9 - 5q-8 + 4q-7 + 9q-6 - 2q-5 - 17q-4 - 2q-3 + 22q-2 + 12q-1 - 26 - 25q + 25q2 + 36q3 - 14q4 - 49q5 + 9q6 + 48q7 + 12q8 - 54q9 - 16q10 + 41q11 + 34q12 - 41q13 - 34q14 + 21q15 + 49q16 - 16q17 - 47q18 - 4q19 + 55q20 + 15q21 - 52q22 - 31q23 + 49q24 + 37q25 - 38q26 - 41q27 + 28q28 + 35q29 - 15q30 - 27q31 + 7q32 + 16q33 - 3q34 - 4q35 - 2q36 + q37 - q38 + 4q39 - q40 - 2q41 - q42 + 4q43 - 2q44 - q46 + 2q47 - q48
4 q-22 - 2q-21 - q-20 + 2q-19 + q-18 + 6q-17 - 8q-16 - 7q-15 + 2q-14 + 2q-13 + 26q-12 - 9q-11 - 21q-10 - 13q-9 - 13q-8 + 59q-7 + 14q-6 - 14q-5 - 36q-4 - 70q-3 + 64q-2 + 45q-1 + 42 - 15q - 135q2 + 16q3 + 18q4 + 100q5 + 71q6 - 136q7 - 25q8 - 77q9 + 81q10 + 150q11 - 67q12 + 11q13 - 162q14 - 13q15 + 149q16 + 2q17 + 118q18 - 175q19 - 117q20 + 79q21 + 30q22 + 234q23 - 134q24 - 189q25 - 11q26 + 30q27 + 332q28 - 79q29 - 249q30 - 102q31 + 32q32 + 418q33 - 15q34 - 297q35 - 196q36 + 12q37 + 476q38 + 77q39 - 289q40 - 272q41 - 58q42 + 448q43 + 161q44 - 191q45 - 262q46 - 139q47 + 315q48 + 169q49 - 64q50 - 160q51 - 155q52 + 155q53 + 100q54 + 8q55 - 51q56 - 106q57 + 58q58 + 30q59 + 15q60 + 2q61 - 50q62 + 22q63 - q64 + 6q65 + 10q66 - 21q67 + 11q68 - 3q69 + q70 + 4q71 - 8q72 + 5q73 - q74 + q76 - 2q77 + q78
5 - q-35 + 2q-34 + q-33 - 2q-32 - q-31 - 2q-30 - 2q-29 + 6q-28 + 9q-27 - 2q-26 - 7q-25 - 10q-24 - 12q-23 + 6q-22 + 27q-21 + 21q-20 - q-19 - 25q-18 - 44q-17 - 28q-16 + 27q-15 + 62q-14 + 58q-13 + 7q-12 - 63q-11 - 101q-10 - 58q-9 + 34q-8 + 117q-7 + 124q-6 + 35q-5 - 98q-4 - 169q-3 - 124q-2 + 17q-1 + 168 + 212q + 89q2 - 102q3 - 227q4 - 218q5 - 34q6 + 200q7 + 285q8 + 168q9 - 45q10 - 279q11 - 321q12 - 108q13 + 182q14 + 343q15 + 318q16 + 18q17 - 336q18 - 444q19 - 230q20 + 157q21 + 529q22 + 485q23 + 19q24 - 493q25 - 659q26 - 311q27 + 405q28 + 820q29 + 532q30 - 230q31 - 872q32 - 805q33 + 57q34 + 921q35 + 965q36 + 144q37 - 893q38 - 1167q39 - 294q40 + 899q41 + 1272q42 + 450q43 - 881q44 - 1429q45 - 565q46 + 902q47 + 1547q48 + 703q49 - 908q50 - 1706q51 - 835q52 + 892q53 + 1828q54 + 1021q55 - 828q56 - 1931q57 - 1187q58 + 683q59 + 1922q60 + 1372q61 - 469q62 - 1835q63 - 1464q64 + 217q65 + 1605q66 + 1474q67 + 40q68 - 1306q69 - 1373q70 - 225q71 + 965q72 + 1163q73 + 339q74 - 639q75 - 917q76 - 361q77 + 390q78 + 650q79 + 311q80 - 194q81 - 430q82 - 245q83 + 96q84 + 253q85 + 162q86 - 25q87 - 143q88 - 104q89 + 8q90 + 65q91 + 58q92 + 14q93 - 38q94 - 32q95 + 7q97 + 12q98 + 13q99 - 9q100 - 11q101 + 7q102 - 2q103 - 2q104 + 6q105 - 3q106 - 3q107 + 5q108 - q109 - 2q110 + q111 - q113 + 2q114 - q115
6 q-51 - 2q-50 - q-49 + 2q-48 + q-47 + 2q-46 - 2q-45 + 4q-44 - 8q-43 - 9q-42 + 5q-41 + 6q-40 + 12q-39 - q-38 + 16q-37 - 19q-36 - 33q-35 - 10q-34 + q-33 + 31q-32 + 15q-31 + 70q-30 - 4q-29 - 59q-28 - 62q-27 - 61q-26 - q-25 + q-24 + 169q-23 + 102q-22 + 23q-21 - 60q-20 - 143q-19 - 147q-18 - 191q-17 + 134q-16 + 181q-15 + 242q-14 + 171q-13 + 21q-12 - 173q-11 - 480q-10 - 191q-9 - 109q-8 + 210q-7 + 391q-6 + 487q-5 + 278q-4 - 326q-3 - 353q-2 - 630q-1 - 367 - 31q + 568q2 + 804q3 + 387q4 + 281q5 - 489q6 - 784q7 - 935q8 - 267q9 + 407q10 + 654q11 + 1209q12 + 627q13 - 30q14 - 1081q15 - 1180q16 - 922q17 - 431q18 + 1053q19 + 1570q20 + 1581q21 + 247q22 - 786q23 - 1818q24 - 2242q25 - 642q26 + 1028q27 + 2569q28 + 2183q29 + 1108q30 - 1132q31 - 3283q32 - 2838q33 - 968q34 + 1982q35 + 3321q36 + 3399q37 + 909q38 - 2817q39 - 4255q40 - 3313q41 + 161q42 + 3107q43 + 4977q44 + 3253q45 - 1270q46 - 4495q47 - 5045q48 - 1927q49 + 1999q50 + 5565q51 + 5072q52 + 466q53 - 4008q54 - 5957q55 - 3560q56 + 810q57 + 5602q58 + 6207q59 + 1751q60 - 3536q61 - 6472q62 - 4618q63 + 91q64 + 5735q65 + 7063q66 + 2566q67 - 3480q68 - 7159q69 - 5556q70 - 313q71 + 6180q72 + 8137q73 + 3494q74 - 3420q75 - 8014q76 - 6839q77 - 1184q78 + 6239q79 + 9202q80 + 4977q81 - 2407q82 - 8082q83 - 8034q84 - 2883q85 + 4911q86 + 9113q87 + 6338q88 - 287q89 - 6423q90 - 7880q91 - 4436q92 + 2375q93 + 7113q94 + 6235q95 + 1650q96 - 3585q97 - 5873q98 - 4498q99 + 158q100 + 4113q101 + 4445q102 + 2137q103 - 1218q104 - 3169q105 - 3115q106 - 668q107 + 1742q108 + 2251q109 + 1440q110 - 158q111 - 1222q112 - 1544q113 - 507q114 + 593q115 + 818q116 + 627q117 + 46q118 - 340q119 - 605q120 - 204q121 + 204q122 + 220q123 + 208q124 + 30q125 - 62q126 - 223q127 - 63q128 + 80q129 + 37q130 + 68q131 + 14q132 + 5q133 - 85q134 - 20q135 + 32q136 - 6q137 + 25q138 + 4q139 + 12q140 - 31q141 - 4q142 + 13q143 - 10q144 + 10q145 - 2q146 + 7q147 - 9q148 + 5q150 - 6q151 + 4q152 - 2q153 + 2q154 - q155 + q157 - 2q158 + q159
7 - q-70 + 2q-69 + q-68 - 2q-67 - q-66 - 2q-65 + 2q-64 - 2q-62 + 8q-61 + 6q-60 - 4q-59 - 6q-58 - 14q-57 - 2q-56 + 4q-55 - 6q-54 + 22q-53 + 26q-52 + 11q-51 - q-50 - 44q-49 - 33q-48 - 17q-47 - 34q-46 + 27q-45 + 65q-44 + 73q-43 + 83q-42 - 27q-41 - 69q-40 - 83q-39 - 156q-38 - 76q-37 + 6q-36 + 109q-35 + 260q-34 + 176q-33 + 94q-32 + 3q-31 - 253q-30 - 302q-29 - 323q-28 - 222q-27 + 164q-26 + 319q-25 + 467q-24 + 524q-23 + 173q-22 - 90q-21 - 493q-20 - 824q-19 - 582q-18 - 344q-17 + 168q-16 + 815q-15 + 918q-14 + 973q-13 + 485q-12 - 423q-11 - 896q-10 - 1394q-9 - 1279q-8 - 426q-7 + 288q-6 + 1337q-5 + 1839q-4 + 1402q-3 + 836q-2 - 535q-1 - 1742 - 2042q - 2072q2 - 882q3 + 681q4 + 1801q5 + 2914q6 + 2491q7 + 1059q8 - 493q9 - 2603q10 - 3469q11 - 3091q12 - 1853q13 + 1039q14 + 3318q15 + 4440q16 + 4361q17 + 1756q18 - 1444q19 - 4438q20 - 6443q21 - 5031q22 - 1701q23 + 2682q24 + 6953q25 + 7818q26 + 5722q27 + 854q28 - 5658q29 - 9364q30 - 9514q31 - 5339q32 + 2383q33 + 8872q34 + 12219q35 + 10193q36 + 2322q37 - 6480q38 - 13219q39 - 14222q40 - 7648q41 + 2269q42 + 12176q43 + 16985q44 + 12872q45 + 2938q46 - 9405q47 - 17944q48 - 17174q49 - 8564q50 + 5184q51 + 17270q52 + 20294q53 + 13847q54 - 268q55 - 15106q56 - 21951q57 - 18488q58 - 4936q59 + 12033q60 + 22420q61 + 22076q62 + 9833q63 - 8322q64 - 21836q65 - 24789q66 - 14238q67 + 4632q68 + 20649q69 + 26487q70 + 17871q71 - 1077q72 - 19111q73 - 27598q74 - 20759q75 - 1859q76 + 17653q77 + 28170q78 + 22870q79 + 4185q80 - 16500q81 - 28643q82 - 24446q83 - 5748q84 + 15940q85 + 29252q86 + 25707q87 + 6713q88 - 15978q89 - 30265q90 - 27039q91 - 7457q92 + 16497q93 + 31846q94 + 28806q95 + 8351q96 - 17115q97 - 33734q98 - 31135q99 - 10013q100 + 17123q101 + 35577q102 + 34080q103 + 12651q104 - 16061q105 - 36609q106 - 36921q107 - 16293q108 + 13260q109 + 36099q110 + 39162q111 + 20451q112 - 8984q113 - 33577q114 - 39726q115 - 24199q116 + 3555q117 + 28907q118 + 38148q119 + 26703q120 + 2046q121 - 22748q122 - 34318q123 - 27132q124 - 6705q125 + 15912q126 + 28569q127 + 25394q128 + 9805q129 - 9529q130 - 22019q131 - 21805q132 - 10831q133 + 4444q134 + 15480q135 + 17118q136 + 10196q137 - 999q138 - 9926q139 - 12332q140 - 8391q141 - 778q142 + 5760q143 + 8069q144 + 6115q145 + 1390q146 - 2971q147 - 4819q148 - 4030q149 - 1266q150 + 1401q151 + 2602q152 + 2354q153 + 866q154 - 584q155 - 1263q156 - 1239q157 - 481q158 + 238q159 + 559q160 + 599q161 + 196q162 - 140q163 - 220q164 - 242q165 - 39q166 + 72q167 + 76q168 + 122q169 - 12q170 - 76q171 - 40q172 - 53q173 + 47q174 + 49q175 + 36q177 - 16q178 - 31q179 - 18q180 - 35q181 + 33q182 + 29q183 - 10q184 + 16q185 - 5q186 - 9q187 - 3q188 - 22q189 + 14q190 + 12q191 - 6q192 + 9q193 - 6q194 - 2q195 + 3q196 - 9q197 + 4q198 + 3q199 - 2q200 + 4q201 - 3q202 - q203 + 2q204 - 2q205 + q206 - q208 + 2q209 - q210


Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=    
<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=
PD[Knot[10, 62]]
Out[2]=   
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[11, 19, 12, 18], X[5, 15, 6, 14], 
 
>   X[7, 17, 8, 16], X[15, 7, 16, 6], X[17, 9, 18, 8], X[13, 1, 14, 20], 
 
>   X[19, 13, 20, 12], X[9, 2, 10, 3]]
In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 62]]
Out[3]=   
GaussCode[-1, 10, -2, 1, -4, 6, -5, 7, -10, 2, -3, 9, -8, 4, -6, 5, -7, 3, -9, 
 
>   8]
In[4]:=
DTCode[Knot[10, 62]]
Out[4]=   
DTCode[4, 10, 14, 16, 2, 18, 20, 6, 8, 12]
In[5]:=
br = BR[Knot[10, 62]]
Out[5]=   
BR[3, {1, 1, 1, 1, -2, 1, 1, 1, -2, -2}]
In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=   
{3, 10}
In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 62]]
Out[7]=   
3
In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 62]]]
Out[8]=   
 -Graphics- 
In[9]:=
#[Knot[10, 62]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=   
{Reversible, 2, 4, 3, NotAvailable, 1}
In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 62]][t]
Out[10]=   
     -4   3    6    8            2      3    4
9 + t   - -- + -- - - - 8 t + 6 t  - 3 t  + t
           3    2   t
          t    t
In[11]:=
Conway[Knot[10, 62]][z]
Out[11]=   
       2      4      6    8
1 + 5 z  + 8 z  + 5 z  + z
In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=   
{Knot[10, 62], Knot[11, NonAlternating, 76], Knot[11, NonAlternating, 78]}
In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 62]], KnotSignature[Knot[10, 62]]}
Out[13]=   
{45, 4}
In[14]:=
Jones[Knot[10, 62]][q]
Out[14]=   
    1            2      3      4      5      6      7      8    9
2 - - - 3 q + 6 q  - 6 q  + 7 q  - 7 q  + 6 q  - 4 q  + 2 q  - q
    q
In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=   
{Knot[10, 62]}
In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 62]][q]
Out[16]=   
  -2    2    4      6    8      10    12      14      22    26
-q   - q  + q  + 2 q  + q  + 3 q   - q   + 2 q   - 2 q   - q
In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 62]][a, z]
Out[17]=   
                  2       2      2      4       4      4    6      6    6    8
-4   7    2    8 z    20 z    7 z    5 z    18 z    5 z    z    7 z    z    z
-- + -- - -- - ---- + ----- - ---- - ---- + ----- - ---- - -- + ---- - -- + --
 6    4    2     6      4       2      6      4       2     6     4     2    4
a    a    a     a      a       a      a      a       a     a     a     a    a
In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 62]][a, z]
Out[18]=   
                                                  2       2      2       2
4    7    2     z    z    z    6 z   5 z   2 z   z     4 z    8 z    23 z
-- + -- + -- - --- + -- - -- - --- - --- - --- - --- + ---- - ---- - ----- - 
 6    4    2    11    9    7    5     3     a     10     8      6      4
a    a    a    a     a    a    a     a           a      a      a      a
 
        2    3       3      3       3       3      3      4      4      4
    10 z    z     2 z    5 z    16 z    15 z    7 z    2 z    6 z    6 z
>   ----- + --- - ---- + ---- + ----- + ----- + ---- + ---- - ---- + ---- + 
      2      11     9      7      5       3      a      10      8      6
     a      a      a      a      a       a             a       a      a
 
        4       4      5      5       5      5      5      6      6       6
    30 z    16 z    3 z    8 z    15 z    9 z    5 z    4 z    7 z    21 z
>   ----- + ----- + ---- - ---- - ----- - ---- - ---- + ---- - ---- - ----- - 
      4       2       9      7      5       3     a       8      6      4
     a       a       a      a      a       a             a      a      a
 
        6      7      7    7    7      8      8      8    9    9
    10 z    4 z    2 z    z    z    3 z    5 z    2 z    z    z
>   ----- + ---- + ---- - -- + -- + ---- + ---- + ---- + -- + --
      2       7      5     3   a      6      4      2     5    3
     a       a      a     a          a      a      a     a    a
In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 62]], Vassiliev[3][Knot[10, 62]]}
Out[19]=   
{5, 9}
In[20]:=
Kh[Knot[10, 62]][q, t]
Out[20]=   
                                         3
   3      5     1      1     q    2 q   q       5        7        7  2
4 q  + 3 q  + ----- + ---- + -- + --- + -- + 3 q  t + 3 q  t + 4 q  t  + 
               3  3      2    2    t    t
              q  t    q t    t
 
       9  2      9  3      11  3      11  4      13  4    13  5      15  5
>   3 q  t  + 3 q  t  + 4 q   t  + 3 q   t  + 3 q   t  + q   t  + 3 q   t  + 
 
     15  6    17  6    19  7
>   q   t  + q   t  + q   t
In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 62], 2][q]
Out[21]=   
      -5   2     -3   6    5             2       3       4      5       6
-7 + q   - -- - q   + -- - - + 15 q - 3 q  - 18 q  + 23 q  + 3 q  - 29 q  + 
            4          2   q
           q          q
 
        7       8       9       10       11       12       13       14
>   24 q  + 11 q  - 36 q  + 19 q   + 19 q   - 34 q   + 12 q   + 20 q   - 
 
        15      16       17       18      19      20      21      22    23
>   27 q   + 7 q   + 13 q   - 16 q   + 5 q   + 5 q   - 7 q   + 3 q   + q   - 
 
       24    25
>   2 q   + q


Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 1062
10.61
1061
10.63
1063