The Alternating Knot 10₂

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_5,14,6,15 X_3,13,4,12 X_13,3,14,2 X_7,16,8,17 X_9,18,10,19 X_11,20,12,1 X_15,6,16,7 X_17,8,18,9 X_19,10,20,11

Gauss Code: {-1, 4, -3, 1, -2, 8, -5, 9, -6, 10, -7, 3, -4, 2, -8, 5, -9, 6, -10, 7}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 12 14 16 18 20 2 6 8 10

Minimum Braid Representative:

Length is 10, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 3 4 2 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: - t^-4 + 3t^-3 - 3t^-2 + 3t^-1 - 3 + 3t - 3t² + 3t³ - t⁴

Conway Polynomial: 1 + 2z² - 5z⁴ - 5z⁶ - z⁸

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {23, -6}

Jones Polynomial: q^-11 - 2q^-10 + 2q^-9 - 3q^-8 + 3q^-7 - 3q^-6 + 3q^-5 - 2q^-4 + 2q^-3 - q^-2 + q^-1

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-32 - q^-26 - q^-24 - q^-22 - q^-20 + q^-18 + q^-14 + q^-10 + q^-8 + q^-6 + q^-4

HOMFLY-PT Polynomial: 4a⁴ + 10a⁴z² + 6a⁴z⁴ + a⁴z⁶ - 4a⁶ - 14a⁶z² - 16a⁶z⁴ - 7a⁶z⁶ - a⁶z⁸ + a⁸ + 6a⁸z² + 5a⁸z⁴ + a⁸z⁶

Kauffman Polynomial: 4a⁴ - 14a⁴z² + 16a⁴z⁴ - 7a⁴z⁶ + a⁴z⁸ - 2a⁵z - 3a⁵z³ + 10a⁵z⁵ - 6a⁵z⁷ + a⁵z⁹ + 4a⁶ - 21a⁶z² + 33a⁶z⁴ - 18a⁶z⁶ + 3a⁶z⁸ - a⁷z + 3a⁷z³ + 2a⁷z⁵ - 4a⁷z⁷ + a⁷z⁹ + a⁸ - 5a⁸z² + 11a⁸z⁴ - 9a⁸z⁶ + 2a⁸z⁸ + a⁹z + 2a⁹z³ - 6a⁹z⁵ + 2a⁹z⁷ - 4a¹⁰z⁴ + 2a¹⁰z⁶ - a¹¹z - 2a¹¹z³ + 2a¹¹z⁵ - a¹²z² + 2a¹²z⁴ - a¹³z + 2a¹³z³ + a¹⁴z²

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {2, -2}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-6 is the signature of 10₂. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -8 r = -7 r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2

j = -1 1

j = -3

j = -5 2 1

j = -7 1 1

j = -9 2 1

j = -11 1 1

j = -13 2 2

j = -15 1 1

j = -17 1 2

j = -19 1 1

j = -21 1

j = -23 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-30 - 2q^-29 + 3q^-27 - 4q^-26 + q^-25 + 4q^-24 - 4q^-23 + 4q^-21 - 4q^-20 + 4q^-18 - 5q^-17 + q^-16 + 4q^-15 - 6q^-14 + q^-13 + 5q^-12 - 6q^-11 + q^-10 + 5q^-9 - 5q^-8 + 5q^-6 - 3q^-5 - q^-4 + 3q^-3 - q^-2 - q^-1 + 1

3 q^-57 - 2q^-56 + q^-54 + 2q^-53 - 3q^-52 - q^-51 + 4q^-50 + q^-49 - 5q^-48 - 3q^-47 + 9q^-46 + q^-45 - 8q^-44 - 5q^-43 + 12q^-42 + 4q^-41 - 11q^-40 - 8q^-39 + 14q^-38 + 7q^-37 - 12q^-36 - 8q^-35 + 12q^-34 + 8q^-33 - 11q^-32 - 6q^-31 + 9q^-30 + 6q^-29 - 10q^-28 - 4q^-27 + 7q^-26 + 5q^-25 - 8q^-24 - 3q^-23 + 5q^-22 + 5q^-21 - 7q^-20 - 2q^-19 + 4q^-18 + 4q^-17 - 7q^-16 - q^-15 + 4q^-14 + 4q^-13 - 6q^-12 - 2q^-11 + 4q^-10 + 5q^-9 - 5q^-8 - 3q^-7 + 2q^-6 + 5q^-5 - 2q^-4 - 3q^-3 + 3q^-1 - q - q² + q³

4 q^-92 - 2q^-91 + q^-89 + 3q^-87 - 5q^-86 + 2q^-85 - q^-83 + 4q^-82 - 7q^-81 + 6q^-80 - 3q^-78 + q^-77 - 7q^-76 + 12q^-75 + q^-74 - 7q^-73 - 3q^-72 - 7q^-71 + 20q^-70 + q^-69 - 11q^-68 - 6q^-67 - 7q^-66 + 26q^-65 + q^-64 - 13q^-63 - 10q^-62 - 8q^-61 + 30q^-60 + 3q^-59 - 13q^-58 - 12q^-57 - 10q^-56 + 29q^-55 + 5q^-54 - 9q^-53 - 12q^-52 - 12q^-51 + 26q^-50 + 5q^-49 - 7q^-48 - 9q^-47 - 13q^-46 + 23q^-45 + 5q^-44 - 6q^-43 - 6q^-42 - 15q^-41 + 19q^-40 + 6q^-39 - 4q^-38 - 2q^-37 - 17q^-36 + 13q^-35 + 6q^-34 - q^-33 + 3q^-32 - 18q^-31 + 7q^-30 + 5q^-29 + q^-28 + 7q^-27 - 17q^-26 + 3q^-25 + 4q^-24 + q^-23 + 9q^-22 - 15q^-21 + 2q^-20 + 3q^-19 + 9q^-17 - 13q^-16 + q^-15 + 3q^-14 + q^-13 + 9q^-12 - 12q^-11 - q^-10 + 2q^-9 + 2q^-8 + 9q^-7 - 8q^-6 - 3q^-5 - q^-4 + q^-3 + 8q^-2 - 3q^-1 - 2 - 2q - q² + 4q³ - q⁶ - q⁷ + q⁸

5 q^-135 - 2q^-134 + q^-132 + q^-130 + q^-129 - 2q^-128 - 2q^-127 + q^-126 - q^-125 + 3q^-124 + 2q^-123 - 3q^-121 - 3q^-120 - 3q^-119 + 4q^-118 + 7q^-117 + 3q^-116 - 4q^-115 - 9q^-114 - 6q^-113 + 4q^-112 + 12q^-111 + 9q^-110 - 5q^-109 - 16q^-108 - 6q^-107 + 4q^-106 + 13q^-105 + 11q^-104 - 6q^-103 - 18q^-102 - 3q^-101 + 7q^-100 + 12q^-99 + 7q^-98 - 10q^-97 - 18q^-96 + q^-95 + 14q^-94 + 14q^-93 + 2q^-92 - 18q^-91 - 20q^-90 + 3q^-89 + 20q^-88 + 19q^-87 + 2q^-86 - 22q^-85 - 23q^-84 - 2q^-83 + 20q^-82 + 22q^-81 + 6q^-80 - 17q^-79 - 22q^-78 - 9q^-77 + 15q^-76 + 21q^-75 + 9q^-74 - 11q^-73 - 19q^-72 - 13q^-71 + 10q^-70 + 21q^-69 + 12q^-68 - 9q^-67 - 19q^-66 - 17q^-65 + 8q^-64 + 24q^-63 + 15q^-62 - 6q^-61 - 20q^-60 - 20q^-59 + 4q^-58 + 23q^-57 + 18q^-56 - 2q^-55 - 18q^-54 - 21q^-53 - q^-52 + 19q^-51 + 16q^-50 + 4q^-49 - 12q^-48 - 19q^-47 - 5q^-46 + 12q^-45 + 10q^-44 + 8q^-43 - 3q^-42 - 13q^-41 - 7q^-40 + 4q^-39 + 2q^-38 + 7q^-37 + 4q^-36 - 3q^-35 - 5q^-34 - q^-33 - 5q^-32 + 2q^-31 + 6q^-30 + 3q^-29 - q^-27 - 9q^-26 - q^-25 + 4q^-24 + 4q^-23 + 3q^-22 + q^-21 - 8q^-20 - 3q^-19 + 3q^-18 + 4q^-17 + 3q^-16 + 2q^-15 - 8q^-14 - 4q^-13 + 2q^-12 + 5q^-11 + 5q^-10 + 2q^-9 - 7q^-8 - 6q^-7 - q^-6 + 3q^-5 + 7q^-4 + 5q^-3 - 4q^-2 - 5q^-1 - 4 - q + 4q² + 6q³ - 2q⁵ - 2q⁶ - 3q⁷ + 3q⁹ + q¹⁰ - q¹³ - q¹⁴ + q¹⁵

6 q^-186 - 2q^-185 + q^-183 + q^-181 - q^-180 + 4q^-179 - 6q^-178 - q^-177 + q^-176 + q^-175 + 3q^-174 - q^-173 + 9q^-172 - 12q^-171 - 3q^-170 - 2q^-169 + 2q^-168 + 7q^-167 + 2q^-166 + 15q^-165 - 17q^-164 - 10q^-163 - 9q^-162 + 4q^-161 + 14q^-160 + 7q^-159 + 24q^-158 - 20q^-157 - 20q^-156 - 20q^-155 + q^-154 + 22q^-153 + 12q^-152 + 37q^-151 - 15q^-150 - 27q^-149 - 33q^-148 - 10q^-147 + 20q^-146 + 15q^-145 + 54q^-144 - q^-143 - 25q^-142 - 42q^-141 - 28q^-140 + 7q^-139 + 11q^-138 + 69q^-137 + 19q^-136 - 13q^-135 - 44q^-134 - 44q^-133 - 11q^-132 - 3q^-131 + 76q^-130 + 36q^-129 + 6q^-128 - 35q^-127 - 50q^-126 - 26q^-125 - 23q^-124 + 71q^-123 + 42q^-122 + 19q^-121 - 22q^-120 - 43q^-119 - 28q^-118 - 36q^-117 + 61q^-116 + 36q^-115 + 18q^-114 - 18q^-113 - 32q^-112 - 18q^-111 - 32q^-110 + 58q^-109 + 26q^-108 + 8q^-107 - 25q^-106 - 28q^-105 - 8q^-104 - 22q^-103 + 60q^-102 + 19q^-101 + 2q^-100 - 30q^-99 - 26q^-98 - 3q^-97 - 16q^-96 + 58q^-95 + 10q^-94 - 2q^-93 - 28q^-92 - 18q^-91 + 4q^-90 - 10q^-89 + 50q^-88 - 4q^-87 - 8q^-86 - 25q^-85 - 7q^-84 + 14q^-83 - 3q^-82 + 43q^-81 - 20q^-80 - 15q^-79 - 24q^-78 + 2q^-77 + 24q^-76 + 4q^-75 + 39q^-74 - 32q^-73 - 22q^-72 - 24q^-71 + 5q^-70 + 30q^-69 + 13q^-68 + 41q^-67 - 37q^-66 - 28q^-65 - 28q^-64 + q^-63 + 29q^-62 + 20q^-61 + 47q^-60 - 32q^-59 - 27q^-58 - 31q^-57 - 9q^-56 + 18q^-55 + 20q^-54 + 51q^-53 - 20q^-52 - 16q^-51 - 26q^-50 - 17q^-49 + 3q^-48 + 10q^-47 + 46q^-46 - 11q^-45 - q^-44 - 12q^-43 - 16q^-42 - 7q^-41 - 3q^-40 + 32q^-39 - 12q^-38 + 8q^-37 + 3q^-36 - 7q^-35 - 6q^-34 - 9q^-33 + 19q^-32 - 19q^-31 + 7q^-30 + 9q^-29 - 7q^-26 + 14q^-25 - 22q^-24 + 2q^-23 + 8q^-22 + 2q^-21 + 3q^-20 - 4q^-19 + 13q^-18 - 21q^-17 + 6q^-15 + 3q^-14 + 4q^-13 - 2q^-12 + 11q^-11 - 20q^-10 - 3q^-9 + 3q^-8 + 4q^-7 + 6q^-6 + 2q^-5 + 11q^-4 - 16q^-3 - 6q^-2 - 3q^-1 + 1 + 4q + 5q² + 13q³ - 8q⁴ - 4q⁵ - 5q⁶ - 3q⁷ - q⁸ + 2q⁹ + 10q¹⁰ - q¹¹ - 2q¹³ - 2q¹⁴ - 3q¹⁵ - q¹⁶ + 4q¹⁷ + q¹⁹ - q²² - q²³ + q²⁴

7 q^-245 - 2q^-244 + q^-242 + q^-240 - q^-239 + 2q^-238 - 5q^-236 - q^-235 + 3q^-234 + q^-233 + 3q^-232 - q^-231 + 3q^-230 - 11q^-228 - 4q^-227 + 4q^-226 + 5q^-225 + 7q^-224 + 3q^-223 + 2q^-222 - 3q^-221 - 19q^-220 - 9q^-219 + 4q^-218 + 11q^-217 + 20q^-216 + 10q^-215 - q^-214 - 14q^-213 - 31q^-212 - 17q^-211 + 2q^-210 + 24q^-209 + 41q^-208 + 26q^-207 - 5q^-206 - 34q^-205 - 52q^-204 - 34q^-203 + 42q^-201 + 74q^-200 + 48q^-199 - 4q^-198 - 56q^-197 - 85q^-196 - 60q^-195 - 4q^-194 + 63q^-193 + 110q^-192 + 77q^-191 - 76q^-189 - 121q^-188 - 87q^-187 - 10q^-186 + 81q^-185 + 148q^-184 + 105q^-183 + 4q^-182 - 95q^-181 - 154q^-180 - 115q^-179 - 18q^-178 + 96q^-177 + 184q^-176 + 134q^-175 + 12q^-174 - 107q^-173 - 187q^-172 - 145q^-171 - 33q^-170 + 104q^-169 + 211q^-168 + 166q^-167 + 34q^-166 - 106q^-165 - 210q^-164 - 176q^-163 - 56q^-162 + 94q^-161 + 221q^-160 + 190q^-159 + 61q^-158 - 88q^-157 - 212q^-156 - 189q^-155 - 74q^-154 + 77q^-153 + 205q^-152 + 189q^-151 + 72q^-150 - 70q^-149 - 194q^-148 - 177q^-147 - 71q^-146 + 66q^-145 + 183q^-144 + 171q^-143 + 64q^-142 - 67q^-141 - 177q^-140 - 160q^-139 - 59q^-138 + 67q^-137 + 171q^-136 + 158q^-135 + 56q^-134 - 67q^-133 - 168q^-132 - 155q^-131 - 55q^-130 + 63q^-129 + 160q^-128 + 153q^-127 + 61q^-126 - 56q^-125 - 157q^-124 - 152q^-123 - 58q^-122 + 50q^-121 + 142q^-120 + 143q^-119 + 68q^-118 - 40q^-117 - 138q^-116 - 141q^-115 - 59q^-114 + 35q^-113 + 119q^-112 + 126q^-111 + 69q^-110 - 24q^-109 - 114q^-108 - 122q^-107 - 58q^-106 + 21q^-105 + 93q^-104 + 103q^-103 + 64q^-102 - 8q^-101 - 86q^-100 - 97q^-99 - 50q^-98 + 8q^-97 + 66q^-96 + 74q^-95 + 52q^-94 + q^-93 - 61q^-92 - 66q^-91 - 34q^-90 + 4q^-89 + 44q^-88 + 47q^-87 + 33q^-86 - 2q^-85 - 47q^-84 - 41q^-83 - 14q^-82 + 10q^-81 + 38q^-80 + 30q^-79 + 17q^-78 - 13q^-77 - 50q^-76 - 31q^-75 - 3q^-74 + 21q^-73 + 44q^-72 + 30q^-71 + 13q^-70 - 19q^-69 - 59q^-68 - 38q^-67 - 8q^-66 + 21q^-65 + 50q^-64 + 38q^-63 + 26q^-62 - 8q^-61 - 58q^-60 - 46q^-59 - 25q^-58 + 4q^-57 + 40q^-56 + 38q^-55 + 39q^-54 + 15q^-53 - 39q^-52 - 36q^-51 - 33q^-50 - 17q^-49 + 17q^-48 + 20q^-47 + 36q^-46 + 29q^-45 - 16q^-44 - 12q^-43 - 20q^-42 - 23q^-41 - 2q^-39 + 17q^-38 + 24q^-37 - 9q^-36 + 7q^-35 - q^-34 - 13q^-33 + q^-32 - 11q^-31 + 2q^-30 + 12q^-29 - 13q^-28 + 7q^-27 + 7q^-26 - 3q^-25 + 9q^-24 - 8q^-23 - 3q^-22 + 8q^-21 - 17q^-20 + 2q^-19 + 6q^-18 - q^-17 + 13q^-16 - 4q^-15 - 3q^-14 + 5q^-13 - 16q^-12 - q^-11 + 4q^-10 - q^-9 + 15q^-8 + 2q^-7 - 2q^-6 + 3q^-5 - 17q^-4 - 5q^-3 - 3q^-1 + 13 + 8q + 5q² + 6q³ - 13q⁴ - 8q⁵ - 4q⁶ - 9q⁷ + 5q⁸ + 6q⁹ + 8q¹⁰ + 11q¹¹ - 4q¹² - 4q¹³ - 3q¹⁴ - 8q¹⁵ - 3q¹⁶ - q¹⁷ + 3q¹⁸ + 9q¹⁹ + q²⁰ + q²² - 3q²³ - 2q²⁴ - 3q²⁵ - q²⁶ + 3q²⁷ + q²⁸ + q³⁰ - q³³ - q³⁴ + q³⁵

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[10, 2]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 14, 6, 15], X[3, 13, 4, 12], X[13, 3, 14, 2], > X[7, 16, 8, 17], X[9, 18, 10, 19], X[11, 20, 12, 1], X[15, 6, 16, 7], > X[17, 8, 18, 9], X[19, 10, 20, 11]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 2]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 8, -5, 9, -6, 10, -7, 3, -4, 2, -8, 5, -9, 6, -10, > 7]

In[4]:=
DTCode[Knot[10, 2]]

Out[4]=
DTCode[4, 12, 14, 16, 18, 20, 2, 6, 8, 10]

In[5]:=
br = BR[Knot[10, 2]]

Out[5]=
BR[3, {-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 2, -1, 2}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{3, 10}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 2]]

Out[7]=
3

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 2]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[10, 2]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 3, 4, 2, NotAvailable, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 2]][t]

Out[10]=
-4 3 3 3 2 3 4 -3 - t + -- - -- + - + 3 t - 3 t + 3 t - t 3 2 t t t

In[11]:=
Conway[Knot[10, 2]][z]

Out[11]=
2 4 6 8 1 + 2 z - 5 z - 5 z - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[10, 2]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 2]], KnotSignature[Knot[10, 2]]}

Out[13]=
{23, -6}

In[14]:=
Jones[Knot[10, 2]][q]

Out[14]=
-11 2 2 3 3 3 3 2 2 -2 1 q - --- + -- - -- + -- - -- + -- - -- + -- - q + - 10 9 8 7 6 5 4 3 q q q q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[10, 2]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 2]][q]

Out[16]=
-32 -26 -24 -22 -20 -18 -14 -10 -8 -6 -4 q - q - q - q - q + q + q + q + q + q + q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 2]][a, z]

Out[17]=
4 6 8 4 2 6 2 8 2 4 4 6 4 4 a - 4 a + a + 10 a z - 14 a z + 6 a z + 6 a z - 16 a z + 8 4 4 6 6 6 8 6 6 8 > 5 a z + a z - 7 a z + a z - a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 2]][a, z]

Out[18]=
4 6 8 5 7 9 11 13 4 2 6 2 4 a + 4 a + a - 2 a z - a z + a z - a z - a z - 14 a z - 21 a z - 8 2 12 2 14 2 5 3 7 3 9 3 11 3 > 5 a z - a z + a z - 3 a z + 3 a z + 2 a z - 2 a z + 13 3 4 4 6 4 8 4 10 4 12 4 > 2 a z + 16 a z + 33 a z + 11 a z - 4 a z + 2 a z + 5 5 7 5 9 5 11 5 4 6 6 6 8 6 > 10 a z + 2 a z - 6 a z + 2 a z - 7 a z - 18 a z - 9 a z + 10 6 5 7 7 7 9 7 4 8 6 8 8 8 > 2 a z - 6 a z - 4 a z + 2 a z + a z + 3 a z + 2 a z + 5 9 7 9 > a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 2]], Vassiliev[3][Knot[10, 2]]}

Out[19]=
{2, -2}

In[20]:=
Kh[Knot[10, 2]][q, t]

Out[20]=
-7 2 1 1 1 1 1 2 1 q + -- + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + 5 23 8 21 7 19 7 19 6 17 6 17 5 15 5 q q t q t q t q t q t q t q t 2 1 2 2 1 1 2 1 1 t t > ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ---- + ---- + -- + -- 15 4 13 4 13 3 11 3 11 2 9 2 9 7 5 q q t q t q t q t q t q t q t q t q

In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 2], 2][q]

Out[21]=
-30 2 3 4 -25 4 4 4 4 4 5 -16 1 + q - --- + --- - --- + q + --- - --- + --- - --- + --- - --- + q + 29 27 26 24 23 21 20 18 17 q q q q q q q q q 4 6 -13 5 6 -10 5 5 5 3 -4 3 -2 1 > --- - --- + q + --- - --- + q + -- - -- + -- - -- - q + -- - q - - 15 14 12 11 9 8 6 5 3 q q q q q q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 10₂

10₁
10₃

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-30 - 2q^-29 + 3q^-27 - 4q^-26 + q^-25 + 4q^-24 - 4q^-23 + 4q^-21 - 4q^-20 + 4q^-18 - 5q^-17 + q^-16 + 4q^-15 - 6q^-14 + q^-13 + 5q^-12 - 6q^-11 + q^-10 + 5q^-9 - 5q^-8 + 5q^-6 - 3q^-5 - q^-4 + 3q^-3 - q^-2 - q^-1 + 1
3	q^-57 - 2q^-56 + q^-54 + 2q^-53 - 3q^-52 - q^-51 + 4q^-50 + q^-49 - 5q^-48 - 3q^-47 + 9q^-46 + q^-45 - 8q^-44 - 5q^-43 + 12q^-42 + 4q^-41 - 11q^-40 - 8q^-39 + 14q^-38 + 7q^-37 - 12q^-36 - 8q^-35 + 12q^-34 + 8q^-33 - 11q^-32 - 6q^-31 + 9q^-30 + 6q^-29 - 10q^-28 - 4q^-27 + 7q^-26 + 5q^-25 - 8q^-24 - 3q^-23 + 5q^-22 + 5q^-21 - 7q^-20 - 2q^-19 + 4q^-18 + 4q^-17 - 7q^-16 - q^-15 + 4q^-14 + 4q^-13 - 6q^-12 - 2q^-11 + 4q^-10 + 5q^-9 - 5q^-8 - 3q^-7 + 2q^-6 + 5q^-5 - 2q^-4 - 3q^-3 + 3q^-1 - q - q² + q³
4	q^-92 - 2q^-91 + q^-89 + 3q^-87 - 5q^-86 + 2q^-85 - q^-83 + 4q^-82 - 7q^-81 + 6q^-80 - 3q^-78 + q^-77 - 7q^-76 + 12q^-75 + q^-74 - 7q^-73 - 3q^-72 - 7q^-71 + 20q^-70 + q^-69 - 11q^-68 - 6q^-67 - 7q^-66 + 26q^-65 + q^-64 - 13q^-63 - 10q^-62 - 8q^-61 + 30q^-60 + 3q^-59 - 13q^-58 - 12q^-57 - 10q^-56 + 29q^-55 + 5q^-54 - 9q^-53 - 12q^-52 - 12q^-51 + 26q^-50 + 5q^-49 - 7q^-48 - 9q^-47 - 13q^-46 + 23q^-45 + 5q^-44 - 6q^-43 - 6q^-42 - 15q^-41 + 19q^-40 + 6q^-39 - 4q^-38 - 2q^-37 - 17q^-36 + 13q^-35 + 6q^-34 - q^-33 + 3q^-32 - 18q^-31 + 7q^-30 + 5q^-29 + q^-28 + 7q^-27 - 17q^-26 + 3q^-25 + 4q^-24 + q^-23 + 9q^-22 - 15q^-21 + 2q^-20 + 3q^-19 + 9q^-17 - 13q^-16 + q^-15 + 3q^-14 + q^-13 + 9q^-12 - 12q^-11 - q^-10 + 2q^-9 + 2q^-8 + 9q^-7 - 8q^-6 - 3q^-5 - q^-4 + q^-3 + 8q^-2 - 3q^-1 - 2 - 2q - q² + 4q³ - q⁶ - q⁷ + q⁸
5	q^-135 - 2q^-134 + q^-132 + q^-130 + q^-129 - 2q^-128 - 2q^-127 + q^-126 - q^-125 + 3q^-124 + 2q^-123 - 3q^-121 - 3q^-120 - 3q^-119 + 4q^-118 + 7q^-117 + 3q^-116 - 4q^-115 - 9q^-114 - 6q^-113 + 4q^-112 + 12q^-111 + 9q^-110 - 5q^-109 - 16q^-108 - 6q^-107 + 4q^-106 + 13q^-105 + 11q^-104 - 6q^-103 - 18q^-102 - 3q^-101 + 7q^-100 + 12q^-99 + 7q^-98 - 10q^-97 - 18q^-96 + q^-95 + 14q^-94 + 14q^-93 + 2q^-92 - 18q^-91 - 20q^-90 + 3q^-89 + 20q^-88 + 19q^-87 + 2q^-86 - 22q^-85 - 23q^-84 - 2q^-83 + 20q^-82 + 22q^-81 + 6q^-80 - 17q^-79 - 22q^-78 - 9q^-77 + 15q^-76 + 21q^-75 + 9q^-74 - 11q^-73 - 19q^-72 - 13q^-71 + 10q^-70 + 21q^-69 + 12q^-68 - 9q^-67 - 19q^-66 - 17q^-65 + 8q^-64 + 24q^-63 + 15q^-62 - 6q^-61 - 20q^-60 - 20q^-59 + 4q^-58 + 23q^-57 + 18q^-56 - 2q^-55 - 18q^-54 - 21q^-53 - q^-52 + 19q^-51 + 16q^-50 + 4q^-49 - 12q^-48 - 19q^-47 - 5q^-46 + 12q^-45 + 10q^-44 + 8q^-43 - 3q^-42 - 13q^-41 - 7q^-40 + 4q^-39 + 2q^-38 + 7q^-37 + 4q^-36 - 3q^-35 - 5q^-34 - q^-33 - 5q^-32 + 2q^-31 + 6q^-30 + 3q^-29 - q^-27 - 9q^-26 - q^-25 + 4q^-24 + 4q^-23 + 3q^-22 + q^-21 - 8q^-20 - 3q^-19 + 3q^-18 + 4q^-17 + 3q^-16 + 2q^-15 - 8q^-14 - 4q^-13 + 2q^-12 + 5q^-11 + 5q^-10 + 2q^-9 - 7q^-8 - 6q^-7 - q^-6 + 3q^-5 + 7q^-4 + 5q^-3 - 4q^-2 - 5q^-1 - 4 - q + 4q² + 6q³ - 2q⁵ - 2q⁶ - 3q⁷ + 3q⁹ + q¹⁰ - q¹³ - q¹⁴ + q¹⁵
6	q^-186 - 2q^-185 + q^-183 + q^-181 - q^-180 + 4q^-179 - 6q^-178 - q^-177 + q^-176 + q^-175 + 3q^-174 - q^-173 + 9q^-172 - 12q^-171 - 3q^-170 - 2q^-169 + 2q^-168 + 7q^-167 + 2q^-166 + 15q^-165 - 17q^-164 - 10q^-163 - 9q^-162 + 4q^-161 + 14q^-160 + 7q^-159 + 24q^-158 - 20q^-157 - 20q^-156 - 20q^-155 + q^-154 + 22q^-153 + 12q^-152 + 37q^-151 - 15q^-150 - 27q^-149 - 33q^-148 - 10q^-147 + 20q^-146 + 15q^-145 + 54q^-144 - q^-143 - 25q^-142 - 42q^-141 - 28q^-140 + 7q^-139 + 11q^-138 + 69q^-137 + 19q^-136 - 13q^-135 - 44q^-134 - 44q^-133 - 11q^-132 - 3q^-131 + 76q^-130 + 36q^-129 + 6q^-128 - 35q^-127 - 50q^-126 - 26q^-125 - 23q^-124 + 71q^-123 + 42q^-122 + 19q^-121 - 22q^-120 - 43q^-119 - 28q^-118 - 36q^-117 + 61q^-116 + 36q^-115 + 18q^-114 - 18q^-113 - 32q^-112 - 18q^-111 - 32q^-110 + 58q^-109 + 26q^-108 + 8q^-107 - 25q^-106 - 28q^-105 - 8q^-104 - 22q^-103 + 60q^-102 + 19q^-101 + 2q^-100 - 30q^-99 - 26q^-98 - 3q^-97 - 16q^-96 + 58q^-95 + 10q^-94 - 2q^-93 - 28q^-92 - 18q^-91 + 4q^-90 - 10q^-89 + 50q^-88 - 4q^-87 - 8q^-86 - 25q^-85 - 7q^-84 + 14q^-83 - 3q^-82 + 43q^-81 - 20q^-80 - 15q^-79 - 24q^-78 + 2q^-77 + 24q^-76 + 4q^-75 + 39q^-74 - 32q^-73 - 22q^-72 - 24q^-71 + 5q^-70 + 30q^-69 + 13q^-68 + 41q^-67 - 37q^-66 - 28q^-65 - 28q^-64 + q^-63 + 29q^-62 + 20q^-61 + 47q^-60 - 32q^-59 - 27q^-58 - 31q^-57 - 9q^-56 + 18q^-55 + 20q^-54 + 51q^-53 - 20q^-52 - 16q^-51 - 26q^-50 - 17q^-49 + 3q^-48 + 10q^-47 + 46q^-46 - 11q^-45 - q^-44 - 12q^-43 - 16q^-42 - 7q^-41 - 3q^-40 + 32q^-39 - 12q^-38 + 8q^-37 + 3q^-36 - 7q^-35 - 6q^-34 - 9q^-33 + 19q^-32 - 19q^-31 + 7q^-30 + 9q^-29 - 7q^-26 + 14q^-25 - 22q^-24 + 2q^-23 + 8q^-22 + 2q^-21 + 3q^-20 - 4q^-19 + 13q^-18 - 21q^-17 + 6q^-15 + 3q^-14 + 4q^-13 - 2q^-12 + 11q^-11 - 20q^-10 - 3q^-9 + 3q^-8 + 4q^-7 + 6q^-6 + 2q^-5 + 11q^-4 - 16q^-3 - 6q^-2 - 3q^-1 + 1 + 4q + 5q² + 13q³ - 8q⁴ - 4q⁵ - 5q⁶ - 3q⁷ - q⁸ + 2q⁹ + 10q¹⁰ - q¹¹ - 2q¹³ - 2q¹⁴ - 3q¹⁵ - q¹⁶ + 4q¹⁷ + q¹⁹ - q²² - q²³ + q²⁴
7	q^-245 - 2q^-244 + q^-242 + q^-240 - q^-239 + 2q^-238 - 5q^-236 - q^-235 + 3q^-234 + q^-233 + 3q^-232 - q^-231 + 3q^-230 - 11q^-228 - 4q^-227 + 4q^-226 + 5q^-225 + 7q^-224 + 3q^-223 + 2q^-222 - 3q^-221 - 19q^-220 - 9q^-219 + 4q^-218 + 11q^-217 + 20q^-216 + 10q^-215 - q^-214 - 14q^-213 - 31q^-212 - 17q^-211 + 2q^-210 + 24q^-209 + 41q^-208 + 26q^-207 - 5q^-206 - 34q^-205 - 52q^-204 - 34q^-203 + 42q^-201 + 74q^-200 + 48q^-199 - 4q^-198 - 56q^-197 - 85q^-196 - 60q^-195 - 4q^-194 + 63q^-193 + 110q^-192 + 77q^-191 - 76q^-189 - 121q^-188 - 87q^-187 - 10q^-186 + 81q^-185 + 148q^-184 + 105q^-183 + 4q^-182 - 95q^-181 - 154q^-180 - 115q^-179 - 18q^-178 + 96q^-177 + 184q^-176 + 134q^-175 + 12q^-174 - 107q^-173 - 187q^-172 - 145q^-171 - 33q^-170 + 104q^-169 + 211q^-168 + 166q^-167 + 34q^-166 - 106q^-165 - 210q^-164 - 176q^-163 - 56q^-162 + 94q^-161 + 221q^-160 + 190q^-159 + 61q^-158 - 88q^-157 - 212q^-156 - 189q^-155 - 74q^-154 + 77q^-153 + 205q^-152 + 189q^-151 + 72q^-150 - 70q^-149 - 194q^-148 - 177q^-147 - 71q^-146 + 66q^-145 + 183q^-144 + 171q^-143 + 64q^-142 - 67q^-141 - 177q^-140 - 160q^-139 - 59q^-138 + 67q^-137 + 171q^-136 + 158q^-135 + 56q^-134 - 67q^-133 - 168q^-132 - 155q^-131 - 55q^-130 + 63q^-129 + 160q^-128 + 153q^-127 + 61q^-126 - 56q^-125 - 157q^-124 - 152q^-123 - 58q^-122 + 50q^-121 + 142q^-120 + 143q^-119 + 68q^-118 - 40q^-117 - 138q^-116 - 141q^-115 - 59q^-114 + 35q^-113 + 119q^-112 + 126q^-111 + 69q^-110 - 24q^-109 - 114q^-108 - 122q^-107 - 58q^-106 + 21q^-105 + 93q^-104 + 103q^-103 + 64q^-102 - 8q^-101 - 86q^-100 - 97q^-99 - 50q^-98 + 8q^-97 + 66q^-96 + 74q^-95 + 52q^-94 + q^-93 - 61q^-92 - 66q^-91 - 34q^-90 + 4q^-89 + 44q^-88 + 47q^-87 + 33q^-86 - 2q^-85 - 47q^-84 - 41q^-83 - 14q^-82 + 10q^-81 + 38q^-80 + 30q^-79 + 17q^-78 - 13q^-77 - 50q^-76 - 31q^-75 - 3q^-74 + 21q^-73 + 44q^-72 + 30q^-71 + 13q^-70 - 19q^-69 - 59q^-68 - 38q^-67 - 8q^-66 + 21q^-65 + 50q^-64 + 38q^-63 + 26q^-62 - 8q^-61 - 58q^-60 - 46q^-59 - 25q^-58 + 4q^-57 + 40q^-56 + 38q^-55 + 39q^-54 + 15q^-53 - 39q^-52 - 36q^-51 - 33q^-50 - 17q^-49 + 17q^-48 + 20q^-47 + 36q^-46 + 29q^-45 - 16q^-44 - 12q^-43 - 20q^-42 - 23q^-41 - 2q^-39 + 17q^-38 + 24q^-37 - 9q^-36 + 7q^-35 - q^-34 - 13q^-33 + q^-32 - 11q^-31 + 2q^-30 + 12q^-29 - 13q^-28 + 7q^-27 + 7q^-26 - 3q^-25 + 9q^-24 - 8q^-23 - 3q^-22 + 8q^-21 - 17q^-20 + 2q^-19 + 6q^-18 - q^-17 + 13q^-16 - 4q^-15 - 3q^-14 + 5q^-13 - 16q^-12 - q^-11 + 4q^-10 - q^-9 + 15q^-8 + 2q^-7 - 2q^-6 + 3q^-5 - 17q^-4 - 5q^-3 - 3q^-1 + 13 + 8q + 5q² + 6q³ - 13q⁴ - 8q⁵ - 4q⁶ - 9q⁷ + 5q⁸ + 6q⁹ + 8q¹⁰ + 11q¹¹ - 4q¹² - 4q¹³ - 3q¹⁴ - 8q¹⁵ - 3q¹⁶ - q¹⁷ + 3q¹⁸ + 9q¹⁹ + q²⁰ + q²² - 3q²³ - 2q²⁴ - 3q²⁵ - q²⁶ + 3q²⁷ + q²⁸ + q³⁰ - q³³ - q³⁴ + q³⁵

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[10, 2]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 14, 6, 15], X[3, 13, 4, 12], X[13, 3, 14, 2], > X[7, 16, 8, 17], X[9, 18, 10, 19], X[11, 20, 12, 1], X[15, 6, 16, 7], > X[17, 8, 18, 9], X[19, 10, 20, 11]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[10, 2]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, 8, -5, 9, -6, 10, -7, 3, -4, 2, -8, 5, -9, 6, -10, > 7]
In[4]:=	DTCode[Knot[10, 2]]
Out[4]=	DTCode[4, 12, 14, 16, 18, 20, 2, 6, 8, 10]
In[5]:=	br = BR[Knot[10, 2]]
Out[5]=	BR[3, {-1, -1, -1, -1, -1, -1, -1, 2, -1, 2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[10, 2]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[10, 2]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[10, 2]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 3, 4, 2, NotAvailable, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[10, 2]][t]
Out[10]=	-4 3 3 3 2 3 4 -3 - t + -- - -- + - + 3 t - 3 t + 3 t - t 3 2 t t t
In[11]:=	Conway[Knot[10, 2]][z]
Out[11]=	2 4 6 8 1 + 2 z - 5 z - 5 z - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[10, 2]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[10, 2]], KnotSignature[Knot[10, 2]]}
Out[13]=	{23, -6}
In[14]:=	Jones[Knot[10, 2]][q]
Out[14]=	-11 2 2 3 3 3 3 2 2 -2 1 q - --- + -- - -- + -- - -- + -- - -- + -- - q + - 10 9 8 7 6 5 4 3 q q q q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[10, 2]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[10, 2]][q]
Out[16]=	-32 -26 -24 -22 -20 -18 -14 -10 -8 -6 -4 q - q - q - q - q + q + q + q + q + q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[10, 2]][a, z]
Out[17]=	4 6 8 4 2 6 2 8 2 4 4 6 4 4 a - 4 a + a + 10 a z - 14 a z + 6 a z + 6 a z - 16 a z + 8 4 4 6 6 6 8 6 6 8 > 5 a z + a z - 7 a z + a z - a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[10, 2]][a, z]
Out[18]=	4 6 8 5 7 9 11 13 4 2 6 2 4 a + 4 a + a - 2 a z - a z + a z - a z - a z - 14 a z - 21 a z - 8 2 12 2 14 2 5 3 7 3 9 3 11 3 > 5 a z - a z + a z - 3 a z + 3 a z + 2 a z - 2 a z + 13 3 4 4 6 4 8 4 10 4 12 4 > 2 a z + 16 a z + 33 a z + 11 a z - 4 a z + 2 a z + 5 5 7 5 9 5 11 5 4 6 6 6 8 6 > 10 a z + 2 a z - 6 a z + 2 a z - 7 a z - 18 a z - 9 a z + 10 6 5 7 7 7 9 7 4 8 6 8 8 8 > 2 a z - 6 a z - 4 a z + 2 a z + a z + 3 a z + 2 a z + 5 9 7 9 > a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[10, 2]], Vassiliev[3][Knot[10, 2]]}
Out[19]=	{2, -2}
In[20]:=	Kh[Knot[10, 2]][q, t]
Out[20]=	-7 2 1 1 1 1 1 2 1 q + -- + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + 5 23 8 21 7 19 7 19 6 17 6 17 5 15 5 q q t q t q t q t q t q t q t 2 1 2 2 1 1 2 1 1 t t > ------ + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ---- + ---- + -- + -- 15 4 13 4 13 3 11 3 11 2 9 2 9 7 5 q q t q t q t q t q t q t q t q t q
In[21]:=	ColouredJones[Knot[10, 2], 2][q]
Out[21]=	-30 2 3 4 -25 4 4 4 4 4 5 -16 1 + q - --- + --- - --- + q + --- - --- + --- - --- + --- - --- + q + 29 27 26 24 23 21 20 18 17 q q q q q q q q q 4 6 -13 5 6 -10 5 5 5 3 -4 3 -2 1 > --- - --- + q + --- - --- + q + -- - -- + -- - -- - q + -- - q - - 15 14 12 11 9 8 6 5 3 q q q q q q q q q q

The Alternating Knot 102

The Alternating Knot 10₂