© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:
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   The Non Alternating Knot 10150   

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Acknowledgement

10.150
KnotPlot

PD Presentation: X4251 X8493 X5,12,6,13 X9,17,10,16 X17,1,18,20 X13,19,14,18 X19,15,20,14 X15,11,16,10 X11,6,12,7 X2837

Gauss Code: {1, -10, 2, -1, -3, 9, 10, -2, -4, 8, -9, 3, -6, 7, -8, 4, -5, 6, -7, 5}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 -12 2 -16 -6 -18 -10 -20 -14

Minimum Braid Representative:


Length is 11, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:
Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index
Chiral 2 3 3 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: - t-3 + 4t-2 - 6t-1 + 7 - 6t + 4t2 - t3

Conway Polynomial: 1 + z2 - 2z4 - z6

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {10127, K11n51, ...}

Determinant and Signature: {29, 4}

Jones Polynomial: 1 - 2q + 4q2 - 4q3 + 5q4 - 5q5 + 4q6 - 3q7 + q8

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: 1 + q4 + q6 + 2q10 - q12 + q14 - q16 - q18 - q22 + q24

HOMFLY-PT Polynomial: 2a-6z2 + a-6z4 - a-4 - 4a-4z2 - 4a-4z4 - a-4z6 + 2a-2 + 3a-2z2 + a-2z4

Kauffman Polynomial: a-10z2 - a-9z + 3a-9z3 + a-8z2 + a-8z6 - 3a-7z + 6a-7z3 - 5a-7z5 + 2a-7z7 + 3a-6z2 - 5a-6z4 + a-6z8 - 2a-5z + 8a-5z3 - 12a-5z5 + 4a-5z7 - a-4 + 8a-4z2 - 9a-4z4 + a-4z8 + 5a-3z3 - 7a-3z5 + 2a-3z7 - 2a-2 + 5a-2z2 - 4a-2z4 + a-2z6

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {1, 1}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=4 is the signature of 10150. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.) 		  
trqj r = -2r = -1r = 0r = 1r = 2r = 3r = 4r = 5r = 6
j = 17        1
j = 15       2 
j = 13      21 
j = 11     32  
j = 9    22   
j = 7   23    
j = 5  22     
j = 3 13      
j = 1 1       
j = -11        

 n  Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q-2 - 2q-1 - 1 + 7q - 4q2 - 8q3 + 14q4 - q5 - 16q6 + 15q7 + 6q8 - 21q9 + 11q10 + 12q11 - 21q12 + 5q13 + 15q14 - 16q15 + 11q17 - 7q18 - q19 + 3q20 - q21
3 q-6 - 2q-5 - q-4 + 2q-3 + 6q-2 - 3q-1 - 11 - q + 17q2 + 8q3 - 17q4 - 20q5 + 17q6 + 25q7 - 3q8 - 34q9 - 5q10 + 30q11 + 22q12 - 29q13 - 30q14 + 16q15 + 44q16 - 10q17 - 48q18 - 4q19 + 57q20 + 13q21 - 61q22 - 24q23 + 63q24 + 33q25 - 62q26 - 39q27 + 53q28 + 45q29 - 42q30 - 42q31 + 26q32 + 37q33 - 14q34 - 24q35 + q36 + 16q37 + q38 - 7q39 - q40 + q41 + 2q42 - q43
4 q-12 - 2q-11 - q-10 + 2q-9 + q-8 + 7q-7 - 7q-6 - 9q-5 - 2q-4 + 30q-2 + q-1 - 14 - 22q - 31q2 + 43q3 + 27q4 + 23q5 - 15q6 - 83q7 + 4q8 + 12q9 + 73q10 + 58q11 - 78q12 - 49q13 - 74q14 + 57q15 + 140q16 + 4q17 - 37q18 - 167q19 - 37q20 + 158q21 + 106q22 + 42q23 - 210q24 - 149q25 + 117q26 + 177q27 + 136q28 - 210q29 - 240q30 + 61q31 + 224q32 + 212q33 - 198q34 - 311q35 + 11q36 + 260q37 + 272q38 - 172q39 - 362q40 - 49q41 + 262q42 + 315q43 - 106q44 - 355q45 - 118q46 + 189q47 + 303q48 - 5q49 - 259q50 - 144q51 + 70q52 + 205q53 + 56q54 - 117q55 - 94q56 - 9q57 + 83q58 + 45q59 - 28q60 - 29q61 - 15q62 + 17q63 + 13q64 - 4q65 - 3q66 - 4q67 + 2q68 + 2q69 - q70
5 q-20 - 2q-19 - q-18 + 2q-17 + q-16 + 2q-15 + 3q-14 - 5q-13 - 11q-12 - 2q-11 + 4q-10 + 12q-9 + 20q-8 + 6q-7 - 20q-6 - 34q-5 - 23q-4 + 41q-2 + 58q-1 + 33 - 23q - 72q2 - 84q3 - 33q4 + 53q5 + 118q6 + 116q7 + 19q8 - 113q9 - 174q10 - 136q11 + 21q12 + 204q13 + 256q14 + 108q15 - 125q16 - 324q17 - 301q18 - 12q19 + 321q20 + 435q21 + 231q22 - 206q23 - 539q24 - 448q25 + 27q26 + 522q27 + 651q28 + 217q29 - 452q30 - 781q31 - 456q32 + 288q33 + 856q34 + 695q35 - 123q36 - 865q37 - 871q38 - 85q39 + 847q40 + 1033q41 + 245q42 - 806q43 - 1141q44 - 404q45 + 767q46 + 1249q47 + 522q48 - 742q49 - 1333q50 - 632q51 + 724q52 + 1422q53 + 736q54 - 705q55 - 1504q56 - 843q57 + 660q58 + 1559q59 + 968q60 - 568q61 - 1577q62 - 1087q63 + 420q64 + 1513q65 + 1185q66 - 221q67 - 1364q68 - 1213q69 - 3q70 + 1123q71 + 1164q72 + 187q73 - 824q74 - 1001q75 - 319q76 + 514q77 + 789q78 + 353q79 - 273q80 - 525q81 - 313q82 + 90q83 + 315q84 + 228q85 - 10q86 - 156q87 - 130q88 - 20q89 + 61q90 + 64q91 + 20q92 - 25q93 - 24q94 - 4q95 + 3q96 + 7q97 + 4q98 - 3q99 - 2q100 + q101
6 q-30 - 2q-29 - q-28 + 2q-27 + q-26 + 2q-25 - 2q-24 + 5q-23 - 7q-22 - 11q-21 + q-20 + 3q-19 + 13q-18 + 5q-17 + 26q-16 - 7q-15 - 30q-14 - 28q-13 - 27q-12 + q-11 + 5q-10 + 91q-9 + 54q-8 + 20q-7 - 25q-6 - 83q-5 - 102q-4 - 133q-3 + 47q-2 + 94q-1 + 176 + 172q + 89q2 - 75q3 - 320q4 - 245q5 - 225q6 + 36q7 + 280q8 + 493q9 + 431q10 + 10q11 - 249q12 - 657q13 - 640q14 - 355q15 + 320q16 + 857q17 + 863q18 + 646q19 - 202q20 - 945q21 - 1391q22 - 882q23 + 125q24 + 1039q25 + 1735q26 + 1309q27 + 133q28 - 1445q29 - 2070q30 - 1601q31 - 296q32 + 1596q33 + 2588q34 + 2108q35 + 64q36 - 1902q37 - 2922q38 - 2407q39 - 63q40 + 2472q41 + 3585q42 + 2237q43 - 332q44 - 2912q45 - 4009q46 - 2270q47 + 1121q48 + 3873q49 + 3944q50 + 1680q51 - 1874q52 - 4615q53 - 4056q54 - 560q55 + 3338q56 + 4842q57 + 3317q58 - 621q59 - 4590q60 - 5172q61 - 1888q62 + 2681q63 + 5253q64 + 4371q65 + 285q66 - 4491q67 - 5873q68 - 2717q69 + 2322q70 + 5612q71 + 5081q72 + 792q73 - 4601q74 - 6515q75 - 3342q76 + 2167q77 + 6082q78 + 5824q79 + 1327q80 - 4671q81 - 7193q82 - 4215q83 + 1624q84 + 6268q85 + 6657q86 + 2405q87 - 3973q88 - 7366q89 - 5300q90 + 186q91 + 5341q92 + 6859q93 + 3792q94 - 2096q95 - 6138q96 - 5640q97 - 1631q98 + 3071q99 + 5512q100 + 4300q101 + 113q102 - 3558q103 - 4374q104 - 2453q105 + 652q106 + 2984q107 + 3219q108 + 1186q109 - 1097q110 - 2183q111 - 1796q112 - 491q113 + 874q114 + 1484q115 + 898q116 + 13q117 - 589q118 - 700q119 - 425q120 + 42q121 + 383q122 + 300q123 + 112q124 - 52q125 - 125q126 - 128q127 - 41q128 + 54q129 + 39q130 + 25q131 + 6q132 - 3q133 - 18q134 - 11q135 + 8q136 + q138 + q139 + 2q140 - q141 - 2q142 + q143

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black): 

In[1]:=    
 
<< KnotTheory`
 
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=
PD[Knot[10, 150]]
Out[2]=   
PD[X[4, 2, 5, 1], X[8, 4, 9, 3], X[5, 12, 6, 13], X[9, 17, 10, 16], 
 
>   X[17, 1, 18, 20], X[13, 19, 14, 18], X[19, 15, 20, 14], X[15, 11, 16, 10], 
 
>   X[11, 6, 12, 7], X[2, 8, 3, 7]]
In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 150]]
Out[3]=   
GaussCode[1, -10, 2, -1, -3, 9, 10, -2, -4, 8, -9, 3, -6, 7, -8, 4, -5, 6, -7, 
 
>   5]
In[4]:=
DTCode[Knot[10, 150]]
Out[4]=   
DTCode[4, 8, -12, 2, -16, -6, -18, -10, -20, -14]
In[5]:=
br = BR[Knot[10, 150]]
Out[5]=   
BR[4, {1, 1, 1, -2, 1, 1, 3, -2, -1, 3, 2}]
In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=   
{4, 11}
In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 150]]
Out[7]=   
4
In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 150]]]
Out[8]=   
 -Graphics- 
In[9]:=
#[Knot[10, 150]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=   
{Chiral, 2, 3, 3, NotAvailable, 1}
In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 150]][t]
Out[10]=   
     -3   4    6            2    3
7 - t   + -- - - - 6 t + 4 t  - t
           2   t
          t
In[11]:=
Conway[Knot[10, 150]][z]
Out[11]=   
     2      4    6
1 + z  - 2 z  - z
In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=   
{Knot[10, 127], Knot[10, 150], Knot[11, NonAlternating, 51]}
In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 150]], KnotSignature[Knot[10, 150]]}
Out[13]=   
{29, 4}
In[14]:=
Jones[Knot[10, 150]][q]
Out[14]=   
             2      3      4      5      6      7    8
1 - 2 q + 4 q  - 4 q  + 5 q  - 5 q  + 4 q  - 3 q  + q
In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=   
{Knot[10, 150]}
In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 150]][q]
Out[16]=   
     4    6      10    12    14    16    18    22    24
1 + q  + q  + 2 q   - q   + q   - q   - q   - q   + q
In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 150]][a, z]
Out[17]=   
               2      2      2    4      4    4    6
  -4   2    2 z    4 z    3 z    z    4 z    z    z
-a   + -- + ---- - ---- + ---- + -- - ---- + -- - --
        2     6      4      2     6     4     2    4
       a     a      a      a     a     a     a    a
In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 150]][a, z]
Out[18]=   
                              2     2      2      2      2      3      3
  -4   2    z    3 z   2 z   z     z    3 z    8 z    5 z    3 z    6 z
-a   - -- - -- - --- - --- + --- + -- + ---- + ---- + ---- + ---- + ---- + 
        2    9    7     5     10    8     6      4      2      9      7
       a    a    a     a     a     a     a      a      a      a      a
 
       3      3      4      4      4      5       5      5    6    6      7
    8 z    5 z    5 z    9 z    4 z    5 z    12 z    7 z    z    z    2 z
>   ---- + ---- - ---- - ---- - ---- - ---- - ----- - ---- + -- + -- + ---- + 
      5      3      6      4      2      7      5       3     8    2     7
     a      a      a      a      a      a      a       a     a    a     a
 
       7      7    8    8
    4 z    2 z    z    z
>   ---- + ---- + -- + --
      5      3     6    4
     a      a     a    a
In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 150]], Vassiliev[3][Knot[10, 150]]}
Out[19]=   
{1, 1}
In[20]:=
Kh[Knot[10, 150]][q, t]
Out[20]=   
                          3
   3      5    1     q   q       5        7        7  2      9  2      9  3
3 q  + 2 q  + ---- + - + -- + 2 q  t + 2 q  t + 3 q  t  + 2 q  t  + 2 q  t  + 
                 2   t   t
              q t
 
       11  3      11  4      13  4    13  5      15  5    17  6
>   3 q   t  + 2 q   t  + 2 q   t  + q   t  + 2 q   t  + q   t
In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 150], 2][q]
Out[21]=   
      -2   2            2      3       4    5       6       7      8       9
-1 + q   - - + 7 q - 4 q  - 8 q  + 14 q  - q  - 16 q  + 15 q  + 6 q  - 21 q  + 
           q
 
        10       11       12      13       14       15       17      18    19
>   11 q   + 12 q   - 21 q   + 5 q   + 15 q   - 16 q   + 11 q   - 7 q   - q   + 
 
       20    21
>   3 q   - q

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