The Alternating Knot 10₁₅

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_3,12,4,13 X_9,14,10,15 X_13,10,14,11 X_15,1,16,20 X_5,17,6,16 X_7,19,8,18 X_17,7,18,6 X_19,9,20,8 X_11,2,12,3

Gauss Code: {-1, 10, -2, 1, -6, 8, -7, 9, -3, 4, -10, 2, -4, 3, -5, 6, -8, 7, -9, 5}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 12 16 18 14 2 10 20 6 8

Minimum Braid Representative:

Length is 11, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 2 3 2 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: 2t^-3 - 6t^-2 + 9t^-1 - 9 + 9t - 6t² + 2t³

Conway Polynomial: 1 + 3z² + 6z⁴ + 2z⁶

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {43, 2}

Jones Polynomial: - q^-4 + 2q^-3 - 3q^-2 + 5q^-1 - 6 + 7q - 6q² + 6q³ - 4q⁴ + 2q⁵ - q⁶

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-12 + q^-4 - q^-2 + 1 + q² + q⁴ + 3q⁶ + q¹⁰ - q¹² - q¹⁴ - q¹⁸

HOMFLY-PT Polynomial: - 2a^-4 - 3a^-4z² - a^-4z⁴ + 3a^-2 + 5a^-2z² + 4a^-2z⁴ + a^-2z⁶ + 1 + 4z² + 4z⁴ + z⁶ - a² - 3a²z² - a²z⁴

Kauffman Polynomial: - a^-7z + a^-7z³ - a^-6z² + 2a^-6z⁴ + a^-5z - 2a^-5z³ + 3a^-5z⁵ - 2a^-4 + 7a^-4z² - 7a^-4z⁴ + 4a^-4z⁶ + 3a^-3z - 3a^-3z³ - 3a^-3z⁵ + 3a^-3z⁷ - 3a^-2 + 8a^-2z² - 8a^-2z⁴ - a^-2z⁶ + 2a^-2z⁸ + a^-1z³ - 5a^-1z⁵ + a^-1z⁹ + 1 - 7z² + 16z⁴ - 15z⁶ + 4z⁸ - 3az + 8az³ - 4az⁵ - 2az⁷ + az⁹ + a² - 7a²z² + 15a²z⁴ - 10a²z⁶ + 2a²z⁸ - 2a³z + 7a³z³ - 5a³z⁵ + a³z⁷

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {3, 2}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 10₁₅. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5

j = 13 1

j = 11 1

j = 9 3 1

j = 7 3 1

j = 5 3 3

j = 3 4 3

j = 1 3 4

j = -1 2 3

j = -3 1 3

j = -5 1 2

j = -7 1

j = -9 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-13 - 2q^-12 - q^-11 + 6q^-10 - 4q^-9 - 7q^-8 + 13q^-7 - 2q^-6 - 17q^-5 + 19q^-4 + 3q^-3 - 26q^-2 + 22q^-1 + 10 - 32q + 19q² + 16q³ - 32q⁴ + 13q⁵ + 17q⁶ - 26q⁷ + 10q⁸ + 11q⁹ - 17q¹⁰ + 7q¹¹ + 5q¹² - 8q¹³ + 3q¹⁴ + q¹⁵ - 2q¹⁶ + q¹⁷

3 - q^-27 + 2q^-26 + q^-25 - 2q^-24 - 5q^-23 + 3q^-22 + 9q^-21 - 15q^-19 - 4q^-18 + 17q^-17 + 14q^-16 - 19q^-15 - 23q^-14 + 16q^-13 + 31q^-12 - 9q^-11 - 39q^-10 + 2q^-9 + 40q^-8 + 8q^-7 - 42q^-6 - 12q^-5 + 37q^-4 + 22q^-3 - 36q^-2 - 23q^-1 + 26 + 33q - 24q² - 31q³ + 9q⁴ + 40q⁵ - 5q⁶ - 34q⁷ - 9q⁸ + 37q⁹ + 7q¹⁰ - 24q¹¹ - 15q¹² + 24q¹³ + 5q¹⁴ - 12q¹⁵ - 4q¹⁶ + 11q¹⁷ - 3q¹⁸ - 8q¹⁹ + 7q²⁰ + 5q²¹ - 6q²² - 6q²³ + 7q²⁴ + 2q²⁵ - 3q²⁶ - 3q²⁷ + 4q²⁸ - q²⁹ - q³¹ + 2q³² - q³³

4 q^-46 - 2q^-45 - q^-44 + 2q^-43 + q^-42 + 6q^-41 - 7q^-40 - 7q^-39 + 25q^-36 - 4q^-35 - 15q^-34 - 13q^-33 - 20q^-32 + 45q^-31 + 15q^-30 + q^-29 - 20q^-28 - 66q^-27 + 39q^-26 + 26q^-25 + 41q^-24 + 8q^-23 - 102q^-22 + 9q^-21 - 5q^-20 + 69q^-19 + 63q^-18 - 100q^-17 - 3q^-16 - 62q^-15 + 54q^-14 + 102q^-13 - 71q^-12 + 30q^-11 - 104q^-10 + 9q^-9 + 99q^-8 - 52q^-7 + 92q^-6 - 108q^-5 - 35q^-4 + 66q^-3 - 52q^-2 + 152q^-1 - 88 - 67q + 24q² - 56q³ + 205q⁴ - 62q⁵ - 100q⁶ - 25q⁷ - 54q⁸ + 253q⁹ - 26q¹⁰ - 123q¹¹ - 81q¹² - 69q¹³ + 280q¹⁴ + 27q¹⁵ - 110q¹⁶ - 117q¹⁷ - 104q¹⁸ + 250q¹⁹ + 62q²⁰ - 57q²¹ - 97q²² - 129q²³ + 170q²⁴ + 54q²⁵ - 5q²⁶ - 42q²⁷ - 113q²⁸ + 89q²⁹ + 18q³⁰ + 16q³¹ + 3q³² - 71q³³ + 40q³⁴ - 9q³⁵ + 12q³⁶ + 18q³⁷ - 34q³⁸ + 19q³⁹ - 14q⁴⁰ + 4q⁴¹ + 13q⁴² - 15q⁴³ + 11q⁴⁴ - 7q⁴⁵ + 5q⁴⁷ - 6q⁴⁸ + 5q⁴⁹ - 2q⁵⁰ + q⁵² - 2q⁵³ + q⁵⁴

5 - q^-70 + 2q^-69 + q^-68 - 2q^-67 - q^-66 - 2q^-65 - 2q^-64 + 5q^-63 + 9q^-62 - 5q^-60 - 9q^-59 - 14q^-58 + 20q^-56 + 22q^-55 + 8q^-54 - 10q^-53 - 34q^-52 - 34q^-51 + 2q^-50 + 34q^-49 + 50q^-48 + 31q^-47 - 19q^-46 - 63q^-45 - 63q^-44 - 16q^-43 + 52q^-42 + 92q^-41 + 60q^-40 - 19q^-39 - 91q^-38 - 107q^-37 - 36q^-36 + 70q^-35 + 131q^-34 + 88q^-33 - 16q^-32 - 118q^-31 - 138q^-30 - 46q^-29 + 84q^-28 + 144q^-27 + 98q^-26 - 13q^-25 - 118q^-24 - 139q^-23 - 48q^-22 + 62q^-21 + 123q^-20 + 109q^-19 + 24q^-18 - 88q^-17 - 137q^-16 - 101q^-15 - q^-14 + 137q^-13 + 183q^-12 + 88q^-11 - 91q^-10 - 235q^-9 - 207q^-8 + 38q^-7 + 271q^-6 + 291q^-5 + 57q^-4 - 276q^-3 - 403q^-2 - 122q^-1 + 279 + 451q + 221q² - 263q³ - 545q⁴ - 267q⁵ + 266q⁶ + 574q⁷ + 352q⁸ - 258q⁹ - 668q¹⁰ - 395q¹¹ + 273q¹² + 707q¹³ + 485q¹⁴ - 259q¹⁵ - 805q¹⁶ - 547q¹⁷ + 247q¹⁸ + 827q¹⁹ + 651q²⁰ - 183q²¹ - 880q²² - 703q²³ + 116q²⁴ + 812q²⁵ + 776q²⁶ - 5q²⁷ - 770q²⁸ - 761q²⁹ - 73q³⁰ + 620q³¹ + 729q³² + 167q³³ - 509q³⁴ - 637q³⁵ - 195q³⁶ + 357q³⁷ + 529q³⁸ + 210q³⁹ - 244q⁴⁰ - 408q⁴¹ - 191q⁴² + 149q⁴³ + 296q⁴⁴ + 154q⁴⁵ - 79q⁴⁶ - 196q⁴⁷ - 123q⁴⁸ + 40q⁴⁹ + 119q⁵⁰ + 82q⁵¹ - 3q⁵² - 72q⁵³ - 55q⁵⁴ - q⁵⁵ + 29q⁵⁶ + 31q⁵⁷ + 18q⁵⁸ - 20q⁵⁹ - 19q⁶⁰ - 2q⁶¹ - q⁶² + 5q⁶³ + 14q⁶⁴ - 4q⁶⁵ - 6q⁶⁶ + 4q⁶⁷ - 5q⁶⁸ - 3q⁶⁹ + 7q⁷⁰ - q⁷¹ - 2q⁷² + 4q⁷³ - 3q⁷⁴ - 2q⁷⁵ + 2q⁷⁶ - q⁷⁸ + 2q⁷⁹ - q⁸⁰

6 q^-99 - 2q^-98 - q^-97 + 2q^-96 + q^-95 + 2q^-94 - 2q^-93 + 4q^-92 - 7q^-91 - 9q^-90 + 3q^-89 + 4q^-88 + 11q^-87 + q^-86 + 19q^-85 - 12q^-84 - 27q^-83 - 14q^-82 - 10q^-81 + 15q^-80 + 4q^-79 + 67q^-78 + 17q^-77 - 22q^-76 - 33q^-75 - 53q^-74 - 31q^-73 - 52q^-72 + 97q^-71 + 74q^-70 + 59q^-69 + 25q^-68 - 34q^-67 - 82q^-66 - 197q^-65 + 9q^-64 + 24q^-63 + 118q^-62 + 149q^-61 + 138q^-60 + 28q^-59 - 260q^-58 - 125q^-57 - 188q^-56 - 24q^-55 + 113q^-54 + 307q^-53 + 283q^-52 - 78q^-51 - 40q^-50 - 320q^-49 - 264q^-48 - 185q^-47 + 196q^-46 + 368q^-45 + 143q^-44 + 281q^-43 - 117q^-42 - 242q^-41 - 439q^-40 - 113q^-39 + 90q^-38 + 25q^-37 + 449q^-36 + 233q^-35 + 154q^-34 - 282q^-33 - 182q^-32 - 264q^-31 - 461q^-30 + 142q^-29 + 271q^-28 + 566q^-27 + 229q^-26 + 248q^-25 - 239q^-24 - 914q^-23 - 510q^-22 - 198q^-21 + 577q^-20 + 681q^-19 + 990q^-18 + 291q^-17 - 958q^-16 - 1097q^-15 - 961q^-14 + 109q^-13 + 752q^-12 + 1656q^-11 + 1099q^-10 - 554q^-9 - 1344q^-8 - 1664q^-7 - 612q^-6 + 432q^-5 + 2008q^-4 + 1862q^-3 + 88q^-2 - 1250q^-1 - 2107 - 1302q - 72q² + 2064q³ + 2401q⁴ + 700q⁵ - 1011q⁶ - 2319q⁷ - 1810q⁸ - 507q⁹ + 2026q¹⁰ + 2758q¹¹ + 1144q¹² - 861q¹³ - 2500q¹⁴ - 2197q¹⁵ - 769q¹⁶ + 2098q¹⁷ + 3127q¹⁸ + 1513q¹⁹ - 828q²⁰ - 2797q²¹ - 2653q²² - 1025q²³ + 2210q²⁴ + 3576q²⁵ + 2009q²⁶ - 649q²⁷ - 3019q²⁸ - 3173q²⁹ - 1504q³⁰ + 2013q³¹ + 3809q³² + 2563q³³ - 105q³⁴ - 2770q³⁵ - 3380q³⁶ - 2062q³⁷ + 1334q³⁸ + 3437q³⁹ + 2759q⁴⁰ + 569q⁴¹ - 1979q⁴² - 2949q⁴³ - 2251q⁴⁴ + 522q⁴⁵ + 2515q⁴⁶ + 2342q⁴⁷ + 904q⁴⁸ - 1078q⁴⁹ - 2047q⁵⁰ - 1889q⁵¹ + 33q⁵² + 1522q⁵³ + 1552q⁵⁴ + 785q⁵⁵ - 478q⁵⁶ - 1151q⁵⁷ - 1249q⁵⁸ - 81q⁵⁹ + 811q⁶⁰ + 821q⁶¹ + 478q⁶² - 194q⁶³ - 540q⁶⁴ - 694q⁶⁵ - 46q⁶⁶ + 396q⁶⁷ + 355q⁶⁸ + 238q⁶⁹ - 69q⁷⁰ - 207q⁷¹ - 350q⁷² - 17q⁷³ + 173q⁷⁴ + 119q⁷⁵ + 112q⁷⁶ - 10q⁷⁷ - 55q⁷⁸ - 166q⁷⁹ - 8q⁸⁰ + 66q⁸¹ + 20q⁸² + 52q⁸³ + 8q⁸⁴ - 3q⁸⁵ - 72q⁸⁶ - 2q⁸⁷ + 24q⁸⁸ - 10q⁸⁹ + 23q⁹⁰ + 6q⁹¹ + 7q⁹² - 28q⁹³ + q⁹⁴ + 9q⁹⁵ - 12q⁹⁶ + 11q⁹⁷ + q⁹⁸ + 5q⁹⁹ - 9q¹⁰⁰ + q¹⁰¹ + 3q¹⁰² - 7q¹⁰³ + 5q¹⁰⁴ + 2q¹⁰⁶ - 2q¹⁰⁷ + q¹⁰⁹ - 2q¹¹⁰ + q¹¹¹

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[10, 15]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 12, 4, 13], X[9, 14, 10, 15], X[13, 10, 14, 11], > X[15, 1, 16, 20], X[5, 17, 6, 16], X[7, 19, 8, 18], X[17, 7, 18, 6], > X[19, 9, 20, 8], X[11, 2, 12, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 15]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 10, -2, 1, -6, 8, -7, 9, -3, 4, -10, 2, -4, 3, -5, 6, -8, 7, -9, > 5]

In[4]:=
DTCode[Knot[10, 15]]

Out[4]=
DTCode[4, 12, 16, 18, 14, 2, 10, 20, 6, 8]

In[5]:=
br = BR[Knot[10, 15]]

Out[5]=
BR[4, {1, 1, 1, 1, -2, 1, -2, -3, 2, -3, -3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 11}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 15]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 15]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[10, 15]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 2, 3, 2, NotAvailable, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 15]][t]

Out[10]=
2 6 9 2 3 -9 + -- - -- + - + 9 t - 6 t + 2 t 3 2 t t t

In[11]:=
Conway[Knot[10, 15]][z]

Out[11]=
2 4 6 1 + 3 z + 6 z + 2 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[10, 15]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 15]], KnotSignature[Knot[10, 15]]}

Out[13]=
{43, 2}

In[14]:=
Jones[Knot[10, 15]][q]

Out[14]=
-4 2 3 5 2 3 4 5 6 -6 - q + -- - -- + - + 7 q - 6 q + 6 q - 4 q + 2 q - q 3 2 q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[10, 15]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 15]][q]

Out[16]=
-12 -4 -2 2 4 6 10 12 14 18 1 - q + q - q + q + q + 3 q + q - q - q - q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 15]][a, z]

Out[17]=
2 2 4 4 2 3 2 2 3 z 5 z 2 2 4 z 4 z 2 4 1 - -- + -- - a + 4 z - ---- + ---- - 3 a z + 4 z - -- + ---- - a z + 4 2 4 2 4 2 a a a a a a 6 6 z > z + -- 2 a

In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 15]][a, z]

Out[18]=
2 2 2 2 3 2 z z 3 z 3 2 z 7 z 8 z 1 - -- - -- + a - -- + -- + --- - 3 a z - 2 a z - 7 z - -- + ---- + ---- - 4 2 7 5 3 6 4 2 a a a a a a a a 3 3 3 3 4 4 2 2 z 2 z 3 z z 3 3 3 4 2 z 7 z > 7 a z + -- - ---- - ---- + -- + 8 a z + 7 a z + 16 z + ---- - ---- - 7 5 3 a 6 4 a a a a a 4 5 5 5 6 8 z 2 4 3 z 3 z 5 z 5 3 5 6 4 z > ---- + 15 a z + ---- - ---- - ---- - 4 a z - 5 a z - 15 z + ---- - 2 5 3 a 4 a a a a 6 7 8 9 z 2 6 3 z 7 3 7 8 2 z 2 8 z 9 > -- - 10 a z + ---- - 2 a z + a z + 4 z + ---- + 2 a z + -- + a z 2 3 2 a a a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 15]], Vassiliev[3][Knot[10, 15]]}

Out[19]=
{3, 2}

In[20]:=
Kh[Knot[10, 15]][q, t]

Out[20]=
3 1 1 1 2 1 3 2 3 3 q 4 q + 4 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + --- + 9 5 7 4 5 4 5 3 3 3 3 2 2 q t t q t q t q t q t q t q t q t 3 5 5 2 7 2 7 3 9 3 9 4 11 4 > 3 q t + 3 q t + 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t + q t + 13 5 > q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 15], 2][q]

Out[21]=
-13 2 -11 6 4 7 13 2 17 19 3 26 22 10 + q - --- - q + --- - -- - -- + -- - -- - -- + -- + -- - -- + -- - 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q 2 3 4 5 6 7 8 9 > 32 q + 19 q + 16 q - 32 q + 13 q + 17 q - 26 q + 10 q + 11 q - 10 11 12 13 14 15 16 17 > 17 q + 7 q + 5 q - 8 q + 3 q + q - 2 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 10₁₅

10₁₄
10₁₆

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-13 - 2q^-12 - q^-11 + 6q^-10 - 4q^-9 - 7q^-8 + 13q^-7 - 2q^-6 - 17q^-5 + 19q^-4 + 3q^-3 - 26q^-2 + 22q^-1 + 10 - 32q + 19q² + 16q³ - 32q⁴ + 13q⁵ + 17q⁶ - 26q⁷ + 10q⁸ + 11q⁹ - 17q¹⁰ + 7q¹¹ + 5q¹² - 8q¹³ + 3q¹⁴ + q¹⁵ - 2q¹⁶ + q¹⁷
3	- q^-27 + 2q^-26 + q^-25 - 2q^-24 - 5q^-23 + 3q^-22 + 9q^-21 - 15q^-19 - 4q^-18 + 17q^-17 + 14q^-16 - 19q^-15 - 23q^-14 + 16q^-13 + 31q^-12 - 9q^-11 - 39q^-10 + 2q^-9 + 40q^-8 + 8q^-7 - 42q^-6 - 12q^-5 + 37q^-4 + 22q^-3 - 36q^-2 - 23q^-1 + 26 + 33q - 24q² - 31q³ + 9q⁴ + 40q⁵ - 5q⁶ - 34q⁷ - 9q⁸ + 37q⁹ + 7q¹⁰ - 24q¹¹ - 15q¹² + 24q¹³ + 5q¹⁴ - 12q¹⁵ - 4q¹⁶ + 11q¹⁷ - 3q¹⁸ - 8q¹⁹ + 7q²⁰ + 5q²¹ - 6q²² - 6q²³ + 7q²⁴ + 2q²⁵ - 3q²⁶ - 3q²⁷ + 4q²⁸ - q²⁹ - q³¹ + 2q³² - q³³
4	q^-46 - 2q^-45 - q^-44 + 2q^-43 + q^-42 + 6q^-41 - 7q^-40 - 7q^-39 + 25q^-36 - 4q^-35 - 15q^-34 - 13q^-33 - 20q^-32 + 45q^-31 + 15q^-30 + q^-29 - 20q^-28 - 66q^-27 + 39q^-26 + 26q^-25 + 41q^-24 + 8q^-23 - 102q^-22 + 9q^-21 - 5q^-20 + 69q^-19 + 63q^-18 - 100q^-17 - 3q^-16 - 62q^-15 + 54q^-14 + 102q^-13 - 71q^-12 + 30q^-11 - 104q^-10 + 9q^-9 + 99q^-8 - 52q^-7 + 92q^-6 - 108q^-5 - 35q^-4 + 66q^-3 - 52q^-2 + 152q^-1 - 88 - 67q + 24q² - 56q³ + 205q⁴ - 62q⁵ - 100q⁶ - 25q⁷ - 54q⁸ + 253q⁹ - 26q¹⁰ - 123q¹¹ - 81q¹² - 69q¹³ + 280q¹⁴ + 27q¹⁵ - 110q¹⁶ - 117q¹⁷ - 104q¹⁸ + 250q¹⁹ + 62q²⁰ - 57q²¹ - 97q²² - 129q²³ + 170q²⁴ + 54q²⁵ - 5q²⁶ - 42q²⁷ - 113q²⁸ + 89q²⁹ + 18q³⁰ + 16q³¹ + 3q³² - 71q³³ + 40q³⁴ - 9q³⁵ + 12q³⁶ + 18q³⁷ - 34q³⁸ + 19q³⁹ - 14q⁴⁰ + 4q⁴¹ + 13q⁴² - 15q⁴³ + 11q⁴⁴ - 7q⁴⁵ + 5q⁴⁷ - 6q⁴⁸ + 5q⁴⁹ - 2q⁵⁰ + q⁵² - 2q⁵³ + q⁵⁴
5	- q^-70 + 2q^-69 + q^-68 - 2q^-67 - q^-66 - 2q^-65 - 2q^-64 + 5q^-63 + 9q^-62 - 5q^-60 - 9q^-59 - 14q^-58 + 20q^-56 + 22q^-55 + 8q^-54 - 10q^-53 - 34q^-52 - 34q^-51 + 2q^-50 + 34q^-49 + 50q^-48 + 31q^-47 - 19q^-46 - 63q^-45 - 63q^-44 - 16q^-43 + 52q^-42 + 92q^-41 + 60q^-40 - 19q^-39 - 91q^-38 - 107q^-37 - 36q^-36 + 70q^-35 + 131q^-34 + 88q^-33 - 16q^-32 - 118q^-31 - 138q^-30 - 46q^-29 + 84q^-28 + 144q^-27 + 98q^-26 - 13q^-25 - 118q^-24 - 139q^-23 - 48q^-22 + 62q^-21 + 123q^-20 + 109q^-19 + 24q^-18 - 88q^-17 - 137q^-16 - 101q^-15 - q^-14 + 137q^-13 + 183q^-12 + 88q^-11 - 91q^-10 - 235q^-9 - 207q^-8 + 38q^-7 + 271q^-6 + 291q^-5 + 57q^-4 - 276q^-3 - 403q^-2 - 122q^-1 + 279 + 451q + 221q² - 263q³ - 545q⁴ - 267q⁵ + 266q⁶ + 574q⁷ + 352q⁸ - 258q⁹ - 668q¹⁰ - 395q¹¹ + 273q¹² + 707q¹³ + 485q¹⁴ - 259q¹⁵ - 805q¹⁶ - 547q¹⁷ + 247q¹⁸ + 827q¹⁹ + 651q²⁰ - 183q²¹ - 880q²² - 703q²³ + 116q²⁴ + 812q²⁵ + 776q²⁶ - 5q²⁷ - 770q²⁸ - 761q²⁹ - 73q³⁰ + 620q³¹ + 729q³² + 167q³³ - 509q³⁴ - 637q³⁵ - 195q³⁶ + 357q³⁷ + 529q³⁸ + 210q³⁹ - 244q⁴⁰ - 408q⁴¹ - 191q⁴² + 149q⁴³ + 296q⁴⁴ + 154q⁴⁵ - 79q⁴⁶ - 196q⁴⁷ - 123q⁴⁸ + 40q⁴⁹ + 119q⁵⁰ + 82q⁵¹ - 3q⁵² - 72q⁵³ - 55q⁵⁴ - q⁵⁵ + 29q⁵⁶ + 31q⁵⁷ + 18q⁵⁸ - 20q⁵⁹ - 19q⁶⁰ - 2q⁶¹ - q⁶² + 5q⁶³ + 14q⁶⁴ - 4q⁶⁵ - 6q⁶⁶ + 4q⁶⁷ - 5q⁶⁸ - 3q⁶⁹ + 7q⁷⁰ - q⁷¹ - 2q⁷² + 4q⁷³ - 3q⁷⁴ - 2q⁷⁵ + 2q⁷⁶ - q⁷⁸ + 2q⁷⁹ - q⁸⁰
6	q^-99 - 2q^-98 - q^-97 + 2q^-96 + q^-95 + 2q^-94 - 2q^-93 + 4q^-92 - 7q^-91 - 9q^-90 + 3q^-89 + 4q^-88 + 11q^-87 + q^-86 + 19q^-85 - 12q^-84 - 27q^-83 - 14q^-82 - 10q^-81 + 15q^-80 + 4q^-79 + 67q^-78 + 17q^-77 - 22q^-76 - 33q^-75 - 53q^-74 - 31q^-73 - 52q^-72 + 97q^-71 + 74q^-70 + 59q^-69 + 25q^-68 - 34q^-67 - 82q^-66 - 197q^-65 + 9q^-64 + 24q^-63 + 118q^-62 + 149q^-61 + 138q^-60 + 28q^-59 - 260q^-58 - 125q^-57 - 188q^-56 - 24q^-55 + 113q^-54 + 307q^-53 + 283q^-52 - 78q^-51 - 40q^-50 - 320q^-49 - 264q^-48 - 185q^-47 + 196q^-46 + 368q^-45 + 143q^-44 + 281q^-43 - 117q^-42 - 242q^-41 - 439q^-40 - 113q^-39 + 90q^-38 + 25q^-37 + 449q^-36 + 233q^-35 + 154q^-34 - 282q^-33 - 182q^-32 - 264q^-31 - 461q^-30 + 142q^-29 + 271q^-28 + 566q^-27 + 229q^-26 + 248q^-25 - 239q^-24 - 914q^-23 - 510q^-22 - 198q^-21 + 577q^-20 + 681q^-19 + 990q^-18 + 291q^-17 - 958q^-16 - 1097q^-15 - 961q^-14 + 109q^-13 + 752q^-12 + 1656q^-11 + 1099q^-10 - 554q^-9 - 1344q^-8 - 1664q^-7 - 612q^-6 + 432q^-5 + 2008q^-4 + 1862q^-3 + 88q^-2 - 1250q^-1 - 2107 - 1302q - 72q² + 2064q³ + 2401q⁴ + 700q⁵ - 1011q⁶ - 2319q⁷ - 1810q⁸ - 507q⁹ + 2026q¹⁰ + 2758q¹¹ + 1144q¹² - 861q¹³ - 2500q¹⁴ - 2197q¹⁵ - 769q¹⁶ + 2098q¹⁷ + 3127q¹⁸ + 1513q¹⁹ - 828q²⁰ - 2797q²¹ - 2653q²² - 1025q²³ + 2210q²⁴ + 3576q²⁵ + 2009q²⁶ - 649q²⁷ - 3019q²⁸ - 3173q²⁹ - 1504q³⁰ + 2013q³¹ + 3809q³² + 2563q³³ - 105q³⁴ - 2770q³⁵ - 3380q³⁶ - 2062q³⁷ + 1334q³⁸ + 3437q³⁹ + 2759q⁴⁰ + 569q⁴¹ - 1979q⁴² - 2949q⁴³ - 2251q⁴⁴ + 522q⁴⁵ + 2515q⁴⁶ + 2342q⁴⁷ + 904q⁴⁸ - 1078q⁴⁹ - 2047q⁵⁰ - 1889q⁵¹ + 33q⁵² + 1522q⁵³ + 1552q⁵⁴ + 785q⁵⁵ - 478q⁵⁶ - 1151q⁵⁷ - 1249q⁵⁸ - 81q⁵⁹ + 811q⁶⁰ + 821q⁶¹ + 478q⁶² - 194q⁶³ - 540q⁶⁴ - 694q⁶⁵ - 46q⁶⁶ + 396q⁶⁷ + 355q⁶⁸ + 238q⁶⁹ - 69q⁷⁰ - 207q⁷¹ - 350q⁷² - 17q⁷³ + 173q⁷⁴ + 119q⁷⁵ + 112q⁷⁶ - 10q⁷⁷ - 55q⁷⁸ - 166q⁷⁹ - 8q⁸⁰ + 66q⁸¹ + 20q⁸² + 52q⁸³ + 8q⁸⁴ - 3q⁸⁵ - 72q⁸⁶ - 2q⁸⁷ + 24q⁸⁸ - 10q⁸⁹ + 23q⁹⁰ + 6q⁹¹ + 7q⁹² - 28q⁹³ + q⁹⁴ + 9q⁹⁵ - 12q⁹⁶ + 11q⁹⁷ + q⁹⁸ + 5q⁹⁹ - 9q¹⁰⁰ + q¹⁰¹ + 3q¹⁰² - 7q¹⁰³ + 5q¹⁰⁴ + 2q¹⁰⁶ - 2q¹⁰⁷ + q¹⁰⁹ - 2q¹¹⁰ + q¹¹¹

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[10, 15]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 12, 4, 13], X[9, 14, 10, 15], X[13, 10, 14, 11], > X[15, 1, 16, 20], X[5, 17, 6, 16], X[7, 19, 8, 18], X[17, 7, 18, 6], > X[19, 9, 20, 8], X[11, 2, 12, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[10, 15]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 10, -2, 1, -6, 8, -7, 9, -3, 4, -10, 2, -4, 3, -5, 6, -8, 7, -9, > 5]
In[4]:=	DTCode[Knot[10, 15]]
Out[4]=	DTCode[4, 12, 16, 18, 14, 2, 10, 20, 6, 8]
In[5]:=	br = BR[Knot[10, 15]]
Out[5]=	BR[4, {1, 1, 1, 1, -2, 1, -2, -3, 2, -3, -3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 11}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[10, 15]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[10, 15]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[10, 15]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 3, 2, NotAvailable, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[10, 15]][t]
Out[10]=	2 6 9 2 3 -9 + -- - -- + - + 9 t - 6 t + 2 t 3 2 t t t
In[11]:=	Conway[Knot[10, 15]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 + 3 z + 6 z + 2 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[10, 15]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[10, 15]], KnotSignature[Knot[10, 15]]}
Out[13]=	{43, 2}
In[14]:=	Jones[Knot[10, 15]][q]
Out[14]=	-4 2 3 5 2 3 4 5 6 -6 - q + -- - -- + - + 7 q - 6 q + 6 q - 4 q + 2 q - q 3 2 q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[10, 15]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[10, 15]][q]
Out[16]=	-12 -4 -2 2 4 6 10 12 14 18 1 - q + q - q + q + q + 3 q + q - q - q - q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[10, 15]][a, z]
Out[17]=	2 2 4 4 2 3 2 2 3 z 5 z 2 2 4 z 4 z 2 4 1 - -- + -- - a + 4 z - ---- + ---- - 3 a z + 4 z - -- + ---- - a z + 4 2 4 2 4 2 a a a a a a 6 6 z > z + -- 2 a
In[18]:=	Kauffman[Knot[10, 15]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 2 3 2 z z 3 z 3 2 z 7 z 8 z 1 - -- - -- + a - -- + -- + --- - 3 a z - 2 a z - 7 z - -- + ---- + ---- - 4 2 7 5 3 6 4 2 a a a a a a a a 3 3 3 3 4 4 2 2 z 2 z 3 z z 3 3 3 4 2 z 7 z > 7 a z + -- - ---- - ---- + -- + 8 a z + 7 a z + 16 z + ---- - ---- - 7 5 3 a 6 4 a a a a a 4 5 5 5 6 8 z 2 4 3 z 3 z 5 z 5 3 5 6 4 z > ---- + 15 a z + ---- - ---- - ---- - 4 a z - 5 a z - 15 z + ---- - 2 5 3 a 4 a a a a 6 7 8 9 z 2 6 3 z 7 3 7 8 2 z 2 8 z 9 > -- - 10 a z + ---- - 2 a z + a z + 4 z + ---- + 2 a z + -- + a z 2 3 2 a a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[10, 15]], Vassiliev[3][Knot[10, 15]]}
Out[19]=	{3, 2}
In[20]:=	Kh[Knot[10, 15]][q, t]
Out[20]=	3 1 1 1 2 1 3 2 3 3 q 4 q + 4 q + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + --- + 9 5 7 4 5 4 5 3 3 3 3 2 2 q t t q t q t q t q t q t q t q t 3 5 5 2 7 2 7 3 9 3 9 4 11 4 > 3 q t + 3 q t + 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t + q t + 13 5 > q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[10, 15], 2][q]
Out[21]=	-13 2 -11 6 4 7 13 2 17 19 3 26 22 10 + q - --- - q + --- - -- - -- + -- - -- - -- + -- + -- - -- + -- - 12 10 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q 2 3 4 5 6 7 8 9 > 32 q + 19 q + 16 q - 32 q + 13 q + 17 q - 26 q + 10 q + 11 q - 10 11 12 13 14 15 16 17 > 17 q + 7 q + 5 q - 8 q + 3 q + q - 2 q + q

The Alternating Knot 1015

The Alternating Knot 10₁₅