The Non Alternating Knot 9₄₂

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_5,10,6,11 X₃₉₄₈ X_9,3,10,2 X_16,12,17,11 X_14,7,15,8 X_6,15,7,16 X_18,14,1,13 X_12,18,13,17

Gauss Code: {-1, 4, -3, 1, -2, -7, 6, 3, -4, 2, 5, -9, 8, -6, 7, -5, 9, -8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 10 -14 2 -16 -18 -6 -12

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 2 3 / 4 1

Alexander Polynomial: - t^-2 + 2t^-1 - 1 + 2t - t²

Conway Polynomial: 1 - 2z² - z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {7, 2}

Jones Polynomial: q^-3 - q^-2 + q^-1 - 1 + q - q² + q³

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-10 + q^-8 + q^-6 - q^-2 - 1 - q² + q⁶ + q⁸ + q¹⁰

HOMFLY-PT Polynomial: 2a^-2 + a^-2z² - 3 - 4z² - z⁴ + 2a² + a²z²

Kauffman Polynomial: - 2a^-2 + 6a^-2z² - 5a^-2z⁴ + a^-2z⁶ - 2a^-1z + 6a^-1z³ - 5a^-1z⁵ + a^-1z⁷ - 3 + 12z² - 10z⁴ + 2z⁶ - 2az + 6az³ - 5az⁵ + az⁷ - 2a² + 6a²z² - 5a²z⁴ + a²z⁶

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {-2, 0}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=2 is the signature of 9₄₂. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2

j = 7 1

j = 5

j = 3 1 1

j = 1 1 1

j = -1 1 1

j = -3 1 1

j = -5

j = -7 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-10 - q^-9 - q^-8 + 2q^-7 - q^-6 - q^-5 + 2q^-4 - q^-3 + q^-1 - 1 + q - q³ + 2q⁴ - q⁵ - q⁶ + 2q⁷ - q⁸ - q⁹ + q¹⁰

3 q^-21 - q^-20 - q^-19 + 2q^-17 - 2q^-15 + 2q^-13 - 2q^-11 + q^-10 + 2q^-9 - 2q^-8 - 2q^-7 + 2q^-6 + 3q^-5 - 3q^-4 - 3q^-3 + 3q^-2 + 4q^-1 - 3 - 4q + 3q² + 5q³ - 3q⁴ - 5q⁵ + 3q⁶ + 5q⁷ - 4q⁸ - 5q⁹ + 4q¹⁰ + 5q¹¹ - 3q¹² - 4q¹³ + 2q¹⁴ + 4q¹⁵ - 2q¹⁶ - 2q¹⁷ + q¹⁹

4 q^-36 - q^-35 - q^-34 + 3q^-31 - q^-30 - q^-29 - q^-28 - q^-27 + 4q^-26 - q^-25 - q^-24 - q^-23 + 4q^-21 - 2q^-20 - 3q^-19 - q^-18 + 2q^-17 + 5q^-16 - q^-15 - 5q^-14 - 2q^-13 + 2q^-12 + 6q^-11 + q^-10 - 6q^-9 - 2q^-8 + 5q^-6 + 3q^-5 - 5q^-4 - q^-3 - 2q^-2 + 3q^-1 + 4 - 4q + q² - 3q³ + q⁴ + 5q⁵ - 3q⁶ + 2q⁷ - 4q⁸ - q⁹ + 6q¹⁰ - 3q¹¹ + 3q¹² - 5q¹³ - 2q¹⁴ + 7q¹⁵ - 3q¹⁶ + 3q¹⁷ - 5q¹⁸ - 3q¹⁹ + 6q²⁰ - q²¹ + 4q²² - 4q²³ - 3q²⁴ + 3q²⁵ - q²⁶ + 3q²⁷ - q²⁸ - q²⁹ - q³¹ + q³²

5 q^-55 - q^-54 - q^-53 + q^-50 + 2q^-49 - 2q^-47 - q^-46 - q^-45 + q^-44 + 2q^-43 + q^-42 - q^-41 - 2q^-40 - q^-39 + 2q^-38 + 2q^-37 - 2q^-35 - 4q^-34 + 4q^-32 + 4q^-31 + q^-30 - 3q^-29 - 6q^-28 - 2q^-27 + 4q^-26 + 5q^-25 + 3q^-24 - 2q^-23 - 6q^-22 - 3q^-21 + 2q^-20 + 4q^-19 + 2q^-18 - q^-17 - 3q^-16 - q^-15 + 2q^-14 + 2q^-13 - q^-12 - 3q^-11 - q^-10 + 2q^-9 + 4q^-8 + 3q^-7 - 4q^-6 - 6q^-5 - 2q^-4 + 4q^-3 + 7q^-2 + 4q^-1 - 5 - 9q - 4q² + 5q³ + 10q⁴ + 6q⁵ - 6q⁶ - 11q⁷ - 6q⁸ + 6q⁹ + 12q¹⁰ + 7q¹¹ - 7q¹² - 13q¹³ - 6q¹⁴ + 7q¹⁵ + 13q¹⁶ + 6q¹⁷ - 8q¹⁸ - 13q¹⁹ - 5q²⁰ + 8q²¹ + 13q²² + 5q²³ - 8q²⁴ - 13q²⁵ - 5q²⁶ + 8q²⁷ + 13q²⁸ + 5q²⁹ - 7q³⁰ - 12q³¹ - 6q³² + 5q³³ + 11q³⁴ + 5q³⁵ - 3q³⁶ - 7q³⁷ - 5q³⁸ + 5q⁴⁰ + 4q⁴¹ - q⁴³ - 2q⁴⁴ - q⁴⁵ + q⁴⁷

6 q^-78 - q^-77 - q^-76 + q^-73 + 3q^-71 - q^-70 - 2q^-69 - q^-68 - q^-67 + 5q^-64 - q^-63 - q^-62 - q^-61 - q^-60 - q^-59 + 6q^-57 - 2q^-56 - 2q^-55 - 2q^-54 - 2q^-53 + 3q^-51 + 8q^-50 - q^-49 - 3q^-48 - 3q^-47 - 6q^-46 - 2q^-45 + 4q^-44 + 9q^-43 + q^-42 - q^-41 - q^-40 - 8q^-39 - 3q^-38 + 2q^-37 + 8q^-36 - q^-35 - q^-34 + 2q^-33 - 7q^-32 + q^-31 + 3q^-30 + 8q^-29 - 5q^-28 - 5q^-27 - 8q^-25 + 5q^-24 + 7q^-23 + 12q^-22 - 5q^-21 - 7q^-20 - 5q^-19 - 12q^-18 + 4q^-17 + 8q^-16 + 17q^-15 - q^-14 - 4q^-13 - 8q^-12 - 16q^-11 + 5q^-9 + 19q^-8 + 4q^-7 + 2q^-6 - 8q^-5 - 17q^-4 - 5q^-3 + 18q^-1 + 7 + 8q - 6q² - 16q³ - 9q⁴ - 5q⁵ + 16q⁶ + 9q⁷ + 13q⁸ - 5q⁹ - 15q¹⁰ - 12q¹¹ - 8q¹² + 14q¹³ + 11q¹⁴ + 17q¹⁵ - 5q¹⁶ - 15q¹⁷ - 14q¹⁸ - 10q¹⁹ + 14q²⁰ + 13q²¹ + 19q²² - 6q²³ - 15q²⁴ - 14q²⁵ - 11q²⁶ + 14q²⁷ + 13q²⁸ + 19q²⁹ - 7q³⁰ - 15q³¹ - 14q³² - 11q³³ + 13q³⁴ + 14q³⁵ + 20q³⁶ - 5q³⁷ - 13q³⁸ - 16q³⁹ - 12q⁴⁰ + 9q⁴¹ + 13q⁴² + 20q⁴³ - q⁴⁴ - 7q⁴⁵ - 14q⁴⁶ - 13q⁴⁷ + 2q⁴⁸ + 7q⁴⁹ + 14q⁵⁰ + 2q⁵¹ - 6q⁵³ - 7q⁵⁴ - 2q⁵⁵ + q⁵⁶ + 4q⁵⁷ + q⁵⁸ + 3q⁵⁹ - q⁶⁰ - q⁶¹ - q⁶² - q⁶⁵ + q⁶⁶

7 q^-105 - q^-104 - q^-103 + q^-100 + q^-98 + 2q^-97 - q^-96 - 2q^-95 - q^-94 - 2q^-93 + q^-92 + q^-90 + 4q^-89 - q^-87 - q^-86 - 3q^-85 + q^-82 + 4q^-81 - q^-80 - q^-79 - q^-78 - 4q^-77 - q^-76 + 2q^-75 + 4q^-74 + 6q^-73 - 2q^-71 - 3q^-70 - 7q^-69 - 4q^-68 + 5q^-66 + 8q^-65 + 4q^-64 - 2q^-62 - 6q^-61 - 6q^-60 - 2q^-59 + 2q^-58 + 6q^-57 + 4q^-56 - 2q^-54 - 3q^-53 - 3q^-52 + q^-51 + 4q^-50 + 5q^-49 + 3q^-48 - 5q^-47 - 7q^-46 - 6q^-45 - 4q^-44 + 4q^-43 + 10q^-42 + 10q^-41 + 7q^-40 - 4q^-39 - 11q^-38 - 11q^-37 - 11q^-36 + 10q^-34 + 13q^-33 + 12q^-32 + 3q^-31 - 6q^-30 - 10q^-29 - 14q^-28 - 7q^-27 + 4q^-26 + 7q^-25 + 11q^-24 + 8q^-23 + q^-22 - 2q^-21 - 9q^-20 - 8q^-19 - 2q^-18 - q^-17 + 3q^-16 + 5q^-15 + 3q^-14 + 6q^-13 + q^-12 - 3q^-11 - 2q^-10 - 6q^-9 - 6q^-8 - 3q^-7 + 9q^-5 + 10q^-4 + 5q^-3 + 3q^-2 - 7q^-1 - 14 - 10q - 6q² + 9q³ + 16q⁴ + 13q⁵ + 9q⁶ - 7q⁷ - 19q⁸ - 17q⁹ - 11q¹⁰ + 8q¹¹ + 21q¹² + 19q¹³ + 13q¹⁴ - 7q¹⁵ - 24q¹⁶ - 22q¹⁷ - 14q¹⁸ + 9q¹⁹ + 25q²⁰ + 22q²¹ + 15q²² - 9q²³ - 27q²⁴ - 24q²⁵ - 14q²⁶ + 11q²⁷ + 28q²⁸ + 23q²⁹ + 14q³⁰ - 11q³¹ - 29q³² - 23q³³ - 13q³⁴ + 12q³⁵ + 29q³⁶ + 22q³⁷ + 13q³⁸ - 12q³⁹ - 29q⁴⁰ - 22q⁴¹ - 13q⁴² + 13q⁴³ + 29q⁴⁴ + 23q⁴⁵ + 12q⁴⁶ - 13q⁴⁷ - 31q⁴⁸ - 24q⁴⁹ - 12q⁵⁰ + 13q⁵¹ + 30q⁵² + 25q⁵³ + 15q⁵⁴ - 10q⁵⁵ - 30q⁵⁶ - 27q⁵⁷ - 15q⁵⁸ + 8q⁵⁹ + 24q⁶⁰ + 23q⁶¹ + 18q⁶² + q⁶³ - 20q⁶⁴ - 22q⁶⁵ - 15q⁶⁶ - q⁶⁷ + 9q⁶⁸ + 11q⁶⁹ + 15q⁷⁰ + 7q⁷¹ - 4q⁷² - 9q⁷³ - 7q⁷⁴ - 5q⁷⁵ - q⁷⁶ + q⁷⁷ + 4q⁷⁸ + 5q⁷⁹ + q⁸⁰ - q⁸² - q⁸³ - q⁸⁴ - q⁸⁵ + q⁸⁷

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[9, 42]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 10, 6, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[16, 12, 17, 11], X[14, 7, 15, 8], X[6, 15, 7, 16], X[18, 14, 1, 13], > X[12, 18, 13, 17]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[9, 42]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, -7, 6, 3, -4, 2, 5, -9, 8, -6, 7, -5, 9, -8]

In[4]:=
DTCode[Knot[9, 42]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, 10, -14, 2, -16, -18, -6, -12]

In[5]:=
br = BR[Knot[9, 42]]

Out[5]=
BR[4, {1, 1, 1, -2, -1, -1, 3, -2, 3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[9, 42]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[9, 42]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[9, 42]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 2, 3, 4, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[9, 42]][t]

Out[10]=
-2 2 2 -1 - t + - + 2 t - t t

In[11]:=
Conway[Knot[9, 42]][z]

Out[11]=
2 4 1 - 2 z - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[9, 42]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[9, 42]], KnotSignature[Knot[9, 42]]}

Out[13]=
{7, 2}

In[14]:=
Jones[Knot[9, 42]][q]

Out[14]=
-3 -2 1 2 3 -1 + q - q + - + q - q + q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[9, 42]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[9, 42]][q]

Out[16]=
-10 -8 -6 -2 2 6 8 10 -1 + q + q + q - q - q + q + q + q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[9, 42]][a, z]

Out[17]=
2 2 2 2 z 2 2 4 -3 + -- + 2 a - 4 z + -- + a z - z 2 2 a a

In[18]:=
Kauffman[Knot[9, 42]][a, z]

Out[18]=
2 3 2 2 2 z 2 6 z 2 2 6 z 3 4 -3 - -- - 2 a - --- - 2 a z + 12 z + ---- + 6 a z + ---- + 6 a z - 10 z - 2 a 2 a a a 4 5 6 7 5 z 2 4 5 z 5 6 z 2 6 z 7 > ---- - 5 a z - ---- - 5 a z + 2 z + -- + a z + -- + a z 2 a 2 a a a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[9, 42]], Vassiliev[3][Knot[9, 42]]}

Out[19]=
{-2, 0}

In[20]:=
Kh[Knot[9, 42]][q, t]

Out[20]=
1 3 1 1 1 1 q 3 7 2 - + q + q + ----- + ----- + ----- + --- + - + q t + q t q 7 4 3 3 3 2 q t t q t q t q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[9, 42], 2][q]

Out[21]=
-10 -9 -8 2 -6 -5 2 -3 1 3 4 5 -1 + q - q - q + -- - q - q + -- - q + - + q - q + 2 q - q - 7 4 q q q 6 7 8 9 10 > q + 2 q - q - q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 9₄₂

9₄₁
9₄₃

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-10 - q^-9 - q^-8 + 2q^-7 - q^-6 - q^-5 + 2q^-4 - q^-3 + q^-1 - 1 + q - q³ + 2q⁴ - q⁵ - q⁶ + 2q⁷ - q⁸ - q⁹ + q¹⁰
3	q^-21 - q^-20 - q^-19 + 2q^-17 - 2q^-15 + 2q^-13 - 2q^-11 + q^-10 + 2q^-9 - 2q^-8 - 2q^-7 + 2q^-6 + 3q^-5 - 3q^-4 - 3q^-3 + 3q^-2 + 4q^-1 - 3 - 4q + 3q² + 5q³ - 3q⁴ - 5q⁵ + 3q⁶ + 5q⁷ - 4q⁸ - 5q⁹ + 4q¹⁰ + 5q¹¹ - 3q¹² - 4q¹³ + 2q¹⁴ + 4q¹⁵ - 2q¹⁶ - 2q¹⁷ + q¹⁹
4	q^-36 - q^-35 - q^-34 + 3q^-31 - q^-30 - q^-29 - q^-28 - q^-27 + 4q^-26 - q^-25 - q^-24 - q^-23 + 4q^-21 - 2q^-20 - 3q^-19 - q^-18 + 2q^-17 + 5q^-16 - q^-15 - 5q^-14 - 2q^-13 + 2q^-12 + 6q^-11 + q^-10 - 6q^-9 - 2q^-8 + 5q^-6 + 3q^-5 - 5q^-4 - q^-3 - 2q^-2 + 3q^-1 + 4 - 4q + q² - 3q³ + q⁴ + 5q⁵ - 3q⁶ + 2q⁷ - 4q⁸ - q⁹ + 6q¹⁰ - 3q¹¹ + 3q¹² - 5q¹³ - 2q¹⁴ + 7q¹⁵ - 3q¹⁶ + 3q¹⁷ - 5q¹⁸ - 3q¹⁹ + 6q²⁰ - q²¹ + 4q²² - 4q²³ - 3q²⁴ + 3q²⁵ - q²⁶ + 3q²⁷ - q²⁸ - q²⁹ - q³¹ + q³²
5	q^-55 - q^-54 - q^-53 + q^-50 + 2q^-49 - 2q^-47 - q^-46 - q^-45 + q^-44 + 2q^-43 + q^-42 - q^-41 - 2q^-40 - q^-39 + 2q^-38 + 2q^-37 - 2q^-35 - 4q^-34 + 4q^-32 + 4q^-31 + q^-30 - 3q^-29 - 6q^-28 - 2q^-27 + 4q^-26 + 5q^-25 + 3q^-24 - 2q^-23 - 6q^-22 - 3q^-21 + 2q^-20 + 4q^-19 + 2q^-18 - q^-17 - 3q^-16 - q^-15 + 2q^-14 + 2q^-13 - q^-12 - 3q^-11 - q^-10 + 2q^-9 + 4q^-8 + 3q^-7 - 4q^-6 - 6q^-5 - 2q^-4 + 4q^-3 + 7q^-2 + 4q^-1 - 5 - 9q - 4q² + 5q³ + 10q⁴ + 6q⁵ - 6q⁶ - 11q⁷ - 6q⁸ + 6q⁹ + 12q¹⁰ + 7q¹¹ - 7q¹² - 13q¹³ - 6q¹⁴ + 7q¹⁵ + 13q¹⁶ + 6q¹⁷ - 8q¹⁸ - 13q¹⁹ - 5q²⁰ + 8q²¹ + 13q²² + 5q²³ - 8q²⁴ - 13q²⁵ - 5q²⁶ + 8q²⁷ + 13q²⁸ + 5q²⁹ - 7q³⁰ - 12q³¹ - 6q³² + 5q³³ + 11q³⁴ + 5q³⁵ - 3q³⁶ - 7q³⁷ - 5q³⁸ + 5q⁴⁰ + 4q⁴¹ - q⁴³ - 2q⁴⁴ - q⁴⁵ + q⁴⁷
6	q^-78 - q^-77 - q^-76 + q^-73 + 3q^-71 - q^-70 - 2q^-69 - q^-68 - q^-67 + 5q^-64 - q^-63 - q^-62 - q^-61 - q^-60 - q^-59 + 6q^-57 - 2q^-56 - 2q^-55 - 2q^-54 - 2q^-53 + 3q^-51 + 8q^-50 - q^-49 - 3q^-48 - 3q^-47 - 6q^-46 - 2q^-45 + 4q^-44 + 9q^-43 + q^-42 - q^-41 - q^-40 - 8q^-39 - 3q^-38 + 2q^-37 + 8q^-36 - q^-35 - q^-34 + 2q^-33 - 7q^-32 + q^-31 + 3q^-30 + 8q^-29 - 5q^-28 - 5q^-27 - 8q^-25 + 5q^-24 + 7q^-23 + 12q^-22 - 5q^-21 - 7q^-20 - 5q^-19 - 12q^-18 + 4q^-17 + 8q^-16 + 17q^-15 - q^-14 - 4q^-13 - 8q^-12 - 16q^-11 + 5q^-9 + 19q^-8 + 4q^-7 + 2q^-6 - 8q^-5 - 17q^-4 - 5q^-3 + 18q^-1 + 7 + 8q - 6q² - 16q³ - 9q⁴ - 5q⁵ + 16q⁶ + 9q⁷ + 13q⁸ - 5q⁹ - 15q¹⁰ - 12q¹¹ - 8q¹² + 14q¹³ + 11q¹⁴ + 17q¹⁵ - 5q¹⁶ - 15q¹⁷ - 14q¹⁸ - 10q¹⁹ + 14q²⁰ + 13q²¹ + 19q²² - 6q²³ - 15q²⁴ - 14q²⁵ - 11q²⁶ + 14q²⁷ + 13q²⁸ + 19q²⁹ - 7q³⁰ - 15q³¹ - 14q³² - 11q³³ + 13q³⁴ + 14q³⁵ + 20q³⁶ - 5q³⁷ - 13q³⁸ - 16q³⁹ - 12q⁴⁰ + 9q⁴¹ + 13q⁴² + 20q⁴³ - q⁴⁴ - 7q⁴⁵ - 14q⁴⁶ - 13q⁴⁷ + 2q⁴⁸ + 7q⁴⁹ + 14q⁵⁰ + 2q⁵¹ - 6q⁵³ - 7q⁵⁴ - 2q⁵⁵ + q⁵⁶ + 4q⁵⁷ + q⁵⁸ + 3q⁵⁹ - q⁶⁰ - q⁶¹ - q⁶² - q⁶⁵ + q⁶⁶
7	q^-105 - q^-104 - q^-103 + q^-100 + q^-98 + 2q^-97 - q^-96 - 2q^-95 - q^-94 - 2q^-93 + q^-92 + q^-90 + 4q^-89 - q^-87 - q^-86 - 3q^-85 + q^-82 + 4q^-81 - q^-80 - q^-79 - q^-78 - 4q^-77 - q^-76 + 2q^-75 + 4q^-74 + 6q^-73 - 2q^-71 - 3q^-70 - 7q^-69 - 4q^-68 + 5q^-66 + 8q^-65 + 4q^-64 - 2q^-62 - 6q^-61 - 6q^-60 - 2q^-59 + 2q^-58 + 6q^-57 + 4q^-56 - 2q^-54 - 3q^-53 - 3q^-52 + q^-51 + 4q^-50 + 5q^-49 + 3q^-48 - 5q^-47 - 7q^-46 - 6q^-45 - 4q^-44 + 4q^-43 + 10q^-42 + 10q^-41 + 7q^-40 - 4q^-39 - 11q^-38 - 11q^-37 - 11q^-36 + 10q^-34 + 13q^-33 + 12q^-32 + 3q^-31 - 6q^-30 - 10q^-29 - 14q^-28 - 7q^-27 + 4q^-26 + 7q^-25 + 11q^-24 + 8q^-23 + q^-22 - 2q^-21 - 9q^-20 - 8q^-19 - 2q^-18 - q^-17 + 3q^-16 + 5q^-15 + 3q^-14 + 6q^-13 + q^-12 - 3q^-11 - 2q^-10 - 6q^-9 - 6q^-8 - 3q^-7 + 9q^-5 + 10q^-4 + 5q^-3 + 3q^-2 - 7q^-1 - 14 - 10q - 6q² + 9q³ + 16q⁴ + 13q⁵ + 9q⁶ - 7q⁷ - 19q⁸ - 17q⁹ - 11q¹⁰ + 8q¹¹ + 21q¹² + 19q¹³ + 13q¹⁴ - 7q¹⁵ - 24q¹⁶ - 22q¹⁷ - 14q¹⁸ + 9q¹⁹ + 25q²⁰ + 22q²¹ + 15q²² - 9q²³ - 27q²⁴ - 24q²⁵ - 14q²⁶ + 11q²⁷ + 28q²⁸ + 23q²⁹ + 14q³⁰ - 11q³¹ - 29q³² - 23q³³ - 13q³⁴ + 12q³⁵ + 29q³⁶ + 22q³⁷ + 13q³⁸ - 12q³⁹ - 29q⁴⁰ - 22q⁴¹ - 13q⁴² + 13q⁴³ + 29q⁴⁴ + 23q⁴⁵ + 12q⁴⁶ - 13q⁴⁷ - 31q⁴⁸ - 24q⁴⁹ - 12q⁵⁰ + 13q⁵¹ + 30q⁵² + 25q⁵³ + 15q⁵⁴ - 10q⁵⁵ - 30q⁵⁶ - 27q⁵⁷ - 15q⁵⁸ + 8q⁵⁹ + 24q⁶⁰ + 23q⁶¹ + 18q⁶² + q⁶³ - 20q⁶⁴ - 22q⁶⁵ - 15q⁶⁶ - q⁶⁷ + 9q⁶⁸ + 11q⁶⁹ + 15q⁷⁰ + 7q⁷¹ - 4q⁷² - 9q⁷³ - 7q⁷⁴ - 5q⁷⁵ - q⁷⁶ + q⁷⁷ + 4q⁷⁸ + 5q⁷⁹ + q⁸⁰ - q⁸² - q⁸³ - q⁸⁴ - q⁸⁵ + q⁸⁷

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 42]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[5, 10, 6, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[16, 12, 17, 11], X[14, 7, 15, 8], X[6, 15, 7, 16], X[18, 14, 1, 13], > X[12, 18, 13, 17]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 42]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -2, -7, 6, 3, -4, 2, 5, -9, 8, -6, 7, -5, 9, -8]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 42]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 10, -14, 2, -16, -18, -6, -12]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 42]]
Out[5]=	BR[4, {1, 1, 1, -2, -1, -1, 3, -2, 3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 42]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 42]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 42]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 2, 3, 4, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 42]][t]
Out[10]=	-2 2 2 -1 - t + - + 2 t - t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 42]][z]
Out[11]=	2 4 1 - 2 z - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 42]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 42]], KnotSignature[Knot[9, 42]]}
Out[13]=	{7, 2}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 42]][q]
Out[14]=	-3 -2 1 2 3 -1 + q - q + - + q - q + q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 42]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 42]][q]
Out[16]=	-10 -8 -6 -2 2 6 8 10 -1 + q + q + q - q - q + q + q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 42]][a, z]
Out[17]=	2 2 2 2 z 2 2 4 -3 + -- + 2 a - 4 z + -- + a z - z 2 2 a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 42]][a, z]
Out[18]=	2 3 2 2 2 z 2 6 z 2 2 6 z 3 4 -3 - -- - 2 a - --- - 2 a z + 12 z + ---- + 6 a z + ---- + 6 a z - 10 z - 2 a 2 a a a 4 5 6 7 5 z 2 4 5 z 5 6 z 2 6 z 7 > ---- - 5 a z - ---- - 5 a z + 2 z + -- + a z + -- + a z 2 a 2 a a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 42]], Vassiliev[3][Knot[9, 42]]}
Out[19]=	{-2, 0}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 42]][q, t]
Out[20]=	1 3 1 1 1 1 q 3 7 2 - + q + q + ----- + ----- + ----- + --- + - + q t + q t q 7 4 3 3 3 2 q t t q t q t q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 42], 2][q]
Out[21]=	-10 -9 -8 2 -6 -5 2 -3 1 3 4 5 -1 + q - q - q + -- - q - q + -- - q + - + q - q + 2 q - q - 7 4 q q q 6 7 8 9 10 > q + 2 q - q - q + q

The Non Alternating Knot 942

The Non Alternating Knot 9₄₂