© | Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table:

935 937

KnotPlot

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KnotPlot

PD Presentation:

X1425 X7,10,8,11 X3948 X9,3,10,2 X11,17,12,16 X5,15,6,14 X15,7,16,6 X13,1,14,18 X17,13,18,12

Gauss Code:

{-1, 4, -3, 1, -6, 7, -2, 3, -4, 2, -5, 9, -8, 6, -7, 5, -9, 8}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code:

4 8 14 10 2 16 18 6 12

Minimum Braid Representative: Length is 9, width is 4 Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index Reversible 2 3 3 / 4--7 1

Alexander Polynomial:

- t-3 + 5t-2 - 8t-1 + 9 - 8t + 5t2 - t3

Conway Polynomial:

1 + 3z2 - z4 - z6

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial:

{...}

Determinant and Signature:

{37, 4}

Jones Polynomial:

1 - 2q + 4q2 - 5q3 + 6q4 - 6q5 + 6q6 - 4q7 + 2q8 - q9

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial:

{K11n16, ...}

A2 (sl(3)) Invariant:

1 + q4 + q6 - q8 + q10 - 2q12 + q14 + q16 + q18 + 2q20 - q22 - q26 - q28

HOMFLY-PT Polynomial:

- 2a-8 - a-8z2 + 4a-6 + 6a-6z2 + 2a-6z4 - 3a-4 - 5a-4z2 - 4a-4z4 - a-4z6 + 2a-2 + 3a-2z2 + a-2z4

Kauffman Polynomial:

- a-11z + a-11z3 - a-10z2 + 2a-10z4 + a-9z - 2a-9z3 + 3a-9z5 - 2a-8 + 7a-8z2 - 7a-8z4 + 4a-8z6 + a-7z - 4a-7z5 + 3a-7z7 - 4a-6 + 15a-6z2 - 17a-6z4 + 4a-6z6 + a-6z8 - 2a-5z + 9a-5z3 - 14a-5z5 + 5a-5z7 - 3a-4 + 12a-4z2 - 12a-4z4 + a-4z6 + a-4z8 - a-3z + 6a-3z3 - 7a-3z5 + 2a-3z7 - 2a-2 + 5a-2z2 - 4a-2z4 + a-2z6

V2 and V3, the type 2 and 3 Vassiliev invariants:

{3, 7}

Khovanov Homology: (The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=4 is the signature of 936. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

trqj r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5 r = 6 r = 7 j = 19                   1 j = 17                 1   j = 15               3 1   j = 13             3 1     j = 11           3 3       j = 9         3 3         j = 7       2 3           j = 5     2 3             j = 3   1 3               j = 1   1                 j = -1 1

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q-2 - 2q-1 - 1 + 7q - 5q2 - 8q3 + 17q4 - 4q5 - 19q6 + 24q7 + 2q8 - 30q9 + 25q10 + 10q11 - 35q12 + 21q13 + 15q14 - 32q15 + 14q16 + 13q17 - 20q18 + 7q19 + 6q20 - 8q21 + 3q22 + q23 - 2q24 + q25
3	q-6 - 2q-5 - q-4 + 2q-3 + 6q-2 - 4q-1 - 11 + q + 20q2 + 4q3 - 25q4 - 17q5 + 32q6 + 27q7 - 26q8 - 44q9 + 22q10 + 53q11 - 8q12 - 63q13 - 3q14 + 64q15 + 22q16 - 68q17 - 34q18 + 63q19 + 51q20 - 61q21 - 62q22 + 51q23 + 75q24 - 46q25 - 77q26 + 32q27 + 79q28 - 24q29 - 67q30 + 10q31 + 57q32 - 5q33 - 40q34 + 2q35 + 23q36 + q37 - 14q38 + 2q39 + 5q40 - q41 - 3q42 + 3q43 - q44 - q46 + 2q47 - q48
4	q-12 - 2q-11 - q-10 + 2q-9 + q-8 + 7q-7 - 8q-6 - 9q-5 + 2q-3 + 32q-2 - 6q-1 - 23 - 22q - 20q2 + 69q3 + 24q4 - 7q5 - 48q6 - 89q7 + 71q8 + 56q9 + 61q10 - 21q11 - 164q12 + 14q13 + 27q14 + 134q15 + 75q16 - 177q17 - 51q18 - 75q19 + 146q20 + 186q21 - 113q22 - 73q23 - 201q24 + 97q25 + 263q26 - 16q27 - 51q28 - 308q29 + 21q30 + 306q31 + 84q32 - 18q33 - 393q34 - 56q35 + 329q36 + 175q37 + 20q38 - 445q39 - 135q40 + 314q41 + 245q42 + 76q43 - 431q44 - 200q45 + 235q46 + 251q47 + 139q48 - 326q49 - 210q50 + 117q51 + 175q52 + 155q53 - 177q54 - 144q55 + 29q56 + 68q57 + 111q58 - 66q59 - 61q60 + 3q61 + 5q62 + 52q63 - 21q64 - 14q65 + 4q66 - 10q67 + 19q68 - 7q69 - 2q70 + 3q71 - 6q72 + 6q73 - 2q74 + q76 - 2q77 + q78
5	q-20 - 2q-19 - q-18 + 2q-17 + q-16 + 2q-15 + 3q-14 - 6q-13 - 11q-12 + 6q-10 + 13q-9 + 19q-8 - 2q-7 - 30q-6 - 33q-5 - 11q-4 + 23q-3 + 61q-2 + 49q-1 - 13 - 74q - 91q2 - 38q3 + 67q4 + 134q5 + 102q6 - 10q7 - 145q8 - 188q9 - 69q10 + 103q11 + 225q12 + 199q13 - q14 - 236q15 - 288q16 - 141q17 + 134q18 + 359q19 + 312q20 - q21 - 327q22 - 447q23 - 218q24 + 231q25 + 541q26 + 420q27 - 45q28 - 548q29 - 634q30 - 167q31 + 489q32 + 777q33 + 421q34 - 367q35 - 900q36 - 642q37 + 217q38 + 941q39 + 869q40 - 49q41 - 988q42 - 1037q43 - 108q44 + 984q45 + 1206q46 + 256q47 - 1005q48 - 1336q49 - 383q50 + 997q51 + 1479q52 + 508q53 - 1012q54 - 1584q55 - 635q56 + 976q57 + 1701q58 + 770q59 - 934q60 - 1745q61 - 906q62 + 796q63 + 1761q64 + 1043q65 - 648q66 - 1663q67 - 1123q68 + 411q69 + 1499q70 + 1160q71 - 203q72 - 1248q73 - 1088q74 - 5q75 + 954q76 + 957q77 + 141q78 - 664q79 - 767q80 - 198q81 + 407q82 + 551q83 + 212q84 - 227q85 - 365q86 - 164q87 + 105q88 + 211q89 + 120q90 - 46q91 - 114q92 - 63q93 + 8q94 + 56q95 + 41q96 - 10q97 - 26q98 - 9q99 - 4q100 + 9q101 + 15q102 - 7q103 - 8q104 + 4q105 - 2q106 + 6q108 - 3q109 - 3q110 + 2q111 - q113 + 2q114 - q115
6	q-30 - 2q-29 - q-28 + 2q-27 + q-26 + 2q-25 - 2q-24 + 5q-23 - 8q-22 - 11q-21 + 3q-20 + 5q-19 + 14q-18 + 3q-17 + 24q-16 - 16q-15 - 39q-14 - 24q-13 - 13q-12 + 24q-11 + 22q-10 + 103q-9 + 24q-8 - 44q-7 - 80q-6 - 104q-5 - 56q-4 - 36q-3 + 202q-2 + 165q-1 + 110 - 12q - 156q2 - 247q3 - 326q4 + 75q5 + 185q6 + 364q7 + 328q8 + 160q9 - 190q10 - 649q11 - 370q12 - 284q13 + 208q14 + 553q15 + 801q16 + 482q17 - 358q18 - 551q19 - 1006q20 - 651q21 - 55q22 + 974q23 + 1311q24 + 705q25 + 263q26 - 1026q27 - 1540q28 - 1467q29 - 4q30 + 1255q31 + 1679q32 + 1847q33 + 225q34 - 1399q35 - 2679q36 - 1741q37 - 113q38 + 1556q39 + 3149q40 + 2210q41 + 36q42 - 2783q43 - 3196q44 - 2163q45 + 222q46 + 3405q47 + 3939q48 + 2085q49 - 1783q50 - 3749q51 - 3997q52 - 1636q53 + 2725q54 + 4911q55 + 3938q56 - 342q57 - 3559q58 - 5211q59 - 3306q60 + 1723q61 + 5298q62 + 5266q63 + 929q64 - 3170q65 - 5963q66 - 4520q67 + 906q68 + 5538q69 + 6211q70 + 1847q71 - 2950q72 - 6593q73 - 5445q74 + 329q75 + 5837q76 + 7061q77 + 2663q78 - 2778q79 - 7173q80 - 6372q81 - 398q82 + 5887q83 + 7801q84 + 3715q85 - 2117q86 - 7257q87 - 7217q88 - 1629q89 + 5049q90 + 7869q91 + 4821q92 - 650q93 - 6185q94 - 7301q95 - 3008q96 + 3142q97 + 6605q98 + 5152q99 + 1053q100 - 3962q101 - 5994q102 - 3574q103 + 980q104 + 4224q105 + 4143q106 + 1932q107 - 1619q108 - 3714q109 - 2866q110 - 320q111 + 1889q112 + 2360q113 + 1649q114 - 215q115 - 1660q116 - 1563q117 - 526q118 + 532q119 + 896q120 + 880q121 + 171q122 - 535q123 - 576q124 - 272q125 + 80q126 + 197q127 + 324q128 + 126q129 - 147q130 - 140q131 - 74q132 + 7q133 + 4q134 + 91q135 + 49q136 - 50q137 - 20q138 - 8q139 + 7q140 - 17q141 + 23q142 + 14q143 - 22q144 + 2q145 + q146 + 7q147 - 9q148 + 5q149 + 4q150 - 9q151 + 3q152 + 3q154 - 2q155 + q157 - 2q158 + q159
7	q-42 - 2q-41 - q-40 + 2q-39 + q-38 + 2q-37 - 2q-36 + 3q-34 - 8q-33 - 8q-32 + 2q-31 + 5q-30 + 16q-29 + 5q-28 + q-27 + 13q-26 - 22q-25 - 34q-24 - 27q-23 - 15q-22 + 37q-21 + 40q-20 + 41q-19 + 74q-18 + 4q-17 - 57q-16 - 102q-15 - 148q-14 - 43q-13 + 17q-12 + 85q-11 + 232q-10 + 195q-9 + 117q-8 - 38q-7 - 301q-6 - 314q-5 - 300q-4 - 194q-3 + 192q-2 + 390q-1 + 567 + 539q + 75q2 - 253q3 - 656q4 - 925q5 - 592q6 - 209q7 + 478q8 + 1164q9 + 1134q10 + 942q11 + 153q12 - 957q13 - 1450q14 - 1771q15 - 1205q16 + 150q17 + 1230q18 + 2332q19 + 2391q20 + 1173q21 - 197q22 - 2149q23 - 3283q24 - 2836q25 - 1580q26 + 1072q27 + 3389q28 + 4129q29 + 3757q30 + 1104q31 - 2293q32 - 4688q33 - 5856q34 - 3839q35 + 47q36 + 3871q37 + 7095q38 + 6739q39 + 3248q40 - 1705q41 - 7126q42 - 9031q43 - 6854q44 - 1731q45 + 5568q46 + 10201q47 + 10292q48 + 5923q49 - 2639q50 - 9924q51 - 12873q52 - 10277q53 - 1397q54 + 8187q55 + 14294q56 + 14230q57 + 5978q58 - 5224q59 - 14381q60 - 17429q61 - 10618q62 + 1475q63 + 13324q64 + 19571q65 + 14866q66 + 2718q67 - 11345q68 - 20805q69 - 18529q70 - 6795q71 + 8861q72 + 21134q73 + 21432q74 + 10627q75 - 6153q76 - 20966q77 - 23673q78 - 13898q79 + 3602q80 + 20431q81 + 25314q82 + 16644q83 - 1347q84 - 19868q85 - 26599q86 - 18811q87 - 448q88 + 19425q89 + 27645q90 + 20571q91 + 1810q92 - 19251q93 - 28674q94 - 22038q95 - 2816q96 + 19309q97 + 29786q98 + 23484q99 + 3673q100 - 19553q101 - 31027q102 - 24989q103 - 4667q104 + 19632q105 + 32294q106 + 26814q107 + 6072q108 - 19364q109 - 33353q110 - 28724q111 - 8068q112 + 18191q113 + 33766q114 + 30705q115 + 10735q116 - 16054q117 - 33229q118 - 32121q119 - 13680q120 + 12699q121 + 31204q122 + 32629q123 + 16685q124 - 8519q125 - 27838q126 - 31698q127 - 18853q128 + 3952q129 + 23038q130 + 29168q131 + 19939q132 + 357q133 - 17618q134 - 25223q135 - 19423q136 - 3700q137 + 12093q138 + 20258q139 + 17506q140 + 5766q141 - 7200q142 - 15080q143 - 14563q144 - 6418q145 + 3487q146 + 10283q147 + 11075q148 + 5979q149 - 985q150 - 6380q151 - 7804q152 - 4852q153 - 291q154 + 3568q155 + 5011q156 + 3493q157 + 793q158 - 1774q159 - 2972q160 - 2263q161 - 796q162 + 762q163 + 1627q164 + 1339q165 + 598q166 - 287q167 - 824q168 - 691q169 - 391q170 + 55q171 + 396q172 + 355q173 + 234q174 - 22q175 - 195q176 - 128q177 - 111q178 - 25q179 + 72q180 + 66q181 + 80q182 - 4q183 - 59q184 - 2q185 - 16q186 - 13q187 + 8q188 + 2q189 + 30q190 - 2q191 - 23q192 + 10q193 - 2q195 - 7q197 + 10q198 - 7q200 + 5q201 - 3q205 + 2q206 - q208 + 2q209 - q210

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[9, 36]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[7, 10, 8, 11], X[3, 9, 4, 8], X[9, 3, 10, 2], > X[11, 17, 12, 16], X[5, 15, 6, 14], X[15, 7, 16, 6], X[13, 1, 14, 18], > X[17, 13, 18, 12]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[9, 36]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 4, -3, 1, -6, 7, -2, 3, -4, 2, -5, 9, -8, 6, -7, 5, -9, 8]
In[4]:=	DTCode[Knot[9, 36]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, 14, 10, 2, 16, 18, 6, 12]
In[5]:=	br = BR[Knot[9, 36]]
Out[5]=	BR[4, {1, 1, 1, -2, 1, 1, 3, -2, 3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[9, 36]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[9, 36]]]
Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[9, 36]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 2, 3, 3, {4, 7}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[9, 36]][t]
Out[10]=	-3 5 8 2 3 9 - t + -- - - - 8 t + 5 t - t 2 t t
In[11]:=	Conway[Knot[9, 36]][z]
Out[11]=	2 4 6 1 + 3 z - z - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[9, 36]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[9, 36]], KnotSignature[Knot[9, 36]]}
Out[13]=	{37, 4}
In[14]:=	Jones[Knot[9, 36]][q]
Out[14]=	2 3 4 5 6 7 8 9 1 - 2 q + 4 q - 5 q + 6 q - 6 q + 6 q - 4 q + 2 q - q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[9, 36], Knot[11, NonAlternating, 16]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[9, 36]][q]
Out[16]=	4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 26 28 1 + q + q - q + q - 2 q + q + q + q + 2 q - q - q - q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[9, 36]][a, z]
Out[17]=	2 2 2 2 4 4 4 6 -2 4 3 2 z 6 z 5 z 3 z 2 z 4 z z z -- + -- - -- + -- - -- + ---- - ---- + ---- + ---- - ---- + -- - -- 8 6 4 2 8 6 4 2 6 4 2 4 a a a a a a a a a a a a
In[18]:=	Kauffman[Knot[9, 36]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 2 -2 4 3 2 z z z 2 z z z 7 z 15 z 12 z -- - -- - -- - -- - --- + -- + -- - --- - -- - --- + ---- + ----- + ----- + 8 6 4 2 11 9 7 5 3 10 8 6 4 a a a a a a a a a a a a a 2 3 3 3 3 4 4 4 4 4 5 z z 2 z 9 z 6 z 2 z 7 z 17 z 12 z 4 z > ---- + --- - ---- + ---- + ---- + ---- - ---- - ----- - ----- - ---- + 2 11 9 5 3 10 8 6 4 2 a a a a a a a a a a 5 5 5 5 6 6 6 6 7 7 7 3 z 4 z 14 z 7 z 4 z 4 z z z 3 z 5 z 2 z > ---- - ---- - ----- - ---- + ---- + ---- + -- + -- + ---- + ---- + ---- + 9 7 5 3 8 6 4 2 7 5 3 a a a a a a a a a a a 8 8 z z > -- + -- 6 4 a a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[9, 36]], Vassiliev[3][Knot[9, 36]]}
Out[19]=	{3, 7}
In[20]:=	Kh[Knot[9, 36]][q, t]
Out[20]=	3 3 5 1 q q 5 7 7 2 9 2 9 3 3 q + 2 q + ---- + - + -- + 3 q t + 2 q t + 3 q t + 3 q t + 3 q t + 2 t t q t 11 3 11 4 13 4 13 5 15 5 15 6 17 6 > 3 q t + 3 q t + 3 q t + q t + 3 q t + q t + q t + 19 7 > q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[9, 36], 2][q]
Out[21]=	-2 2 2 3 4 5 6 7 8 -1 + q - - + 7 q - 5 q - 8 q + 17 q - 4 q - 19 q + 24 q + 2 q - q 9 10 11 12 13 14 15 16 > 30 q + 25 q + 10 q - 35 q + 21 q + 15 q - 32 q + 14 q + 17 18 19 20 21 22 23 24 25 > 13 q - 20 q + 7 q + 6 q - 8 q + 3 q + q - 2 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 936

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