The Non Alternating Knot 8₂₁

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X₃₈₄₉ X_12,6,13,5 X_13,16,14,1 X_9,14,10,15 X_15,10,16,11 X_6,12,7,11 X₇₂₈₃

Gauss Code: {-1, 8, -2, 1, 3, -7, -8, 2, -5, 6, 7, -3, -4, 5, -6, 4}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 8 -12 2 14 -6 16 10

Minimum Braid Representative:

Length is 8, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 2 3 / 4 1

Alexander Polynomial: - t^-2 + 4t^-1 - 5 + 4t - t²

Conway Polynomial: 1 - z⁴

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {10₁₃₆, ...}

Determinant and Signature: {15, -2}

Jones Polynomial: q^-7 - 2q^-6 + 2q^-5 - 3q^-4 + 3q^-3 - 2q^-2 + 2q^-1

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: q^-22 - 2q^-14 - q^-12 - q^-10 + q^-8 + 2q^-6 + q^-4 + 2q^-2

HOMFLY-PT Polynomial: 3a² + 2a²z² - 3a⁴ - 3a⁴z² - a⁴z⁴ + a⁶ + a⁶z²

Kauffman Polynomial: - 3a² + 3a²z² + 2a³z - a³z³ + a³z⁵ - 3a⁴ + 5a⁴z² - 2a⁴z⁴ + a⁴z⁶ + 4a⁵z - 6a⁵z³ + 3a⁵z⁵ - a⁶ - a⁶z⁴ + a⁶z⁶ + 2a⁷z - 5a⁷z³ + 2a⁷z⁵ - 2a⁸z² + a⁸z⁴

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {0, 1}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 8₂₁. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0

j = -1 2

j = -3 1 1

j = -5 2 1

j = -7 1 1

j = -9 1 2

j = -11 1 1

j = -13 1

j = -15 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-20 - 2q^-19 - q^-18 + 5q^-17 - 3q^-16 - 4q^-15 + 8q^-14 - 2q^-13 - 8q^-12 + 10q^-11 - q^-10 - 10q^-9 + 10q^-8 - 8q^-6 + 6q^-5 + q^-4 - 4q^-3 + 2q^-2 + q^-1

3 q^-39 - 2q^-38 - q^-37 + 2q^-36 + 4q^-35 - 2q^-34 - 7q^-33 + q^-32 + 9q^-31 + 2q^-30 - 11q^-29 - 6q^-28 + 11q^-27 + 11q^-26 - 12q^-25 - 13q^-24 + 10q^-23 + 19q^-22 - 11q^-21 - 20q^-20 + 9q^-19 + 22q^-18 - 9q^-17 - 23q^-16 + 8q^-15 + 21q^-14 - 4q^-13 - 21q^-12 + 4q^-11 + 15q^-10 + q^-9 - 13q^-8 + 6q^-6 + 4q^-5 - 6q^-4 + 2q^-1

4 q^-64 - 2q^-63 - q^-62 + 2q^-61 + q^-60 + 5q^-59 - 6q^-58 - 5q^-57 + 17q^-54 - 4q^-53 - 9q^-52 - 8q^-51 - 10q^-50 + 27q^-49 + 7q^-48 - q^-47 - 15q^-46 - 31q^-45 + 26q^-44 + 18q^-43 + 17q^-42 - 15q^-41 - 52q^-40 + 16q^-39 + 23q^-38 + 37q^-37 - 10q^-36 - 67q^-35 + 7q^-34 + 25q^-33 + 51q^-32 - 5q^-31 - 76q^-30 + 25q^-28 + 58q^-27 - 2q^-26 - 77q^-25 - 6q^-24 + 22q^-23 + 57q^-22 + 4q^-21 - 66q^-20 - 13q^-19 + 12q^-18 + 48q^-17 + 12q^-16 - 44q^-15 - 14q^-14 - q^-13 + 29q^-12 + 15q^-11 - 18q^-10 - 9q^-9 - 7q^-8 + 10q^-7 + 9q^-6 - 3q^-5 - 2q^-4 - 4q^-3 + 2q^-1 + 1

5 q^-95 - 2q^-94 - q^-93 + 2q^-92 + q^-91 + 2q^-90 + q^-89 - 4q^-88 - 7q^-87 + 4q^-85 + 7q^-84 + 8q^-83 - 12q^-81 - 15q^-80 - 4q^-79 + 8q^-78 + 20q^-77 + 19q^-76 - 2q^-75 - 23q^-74 - 30q^-73 - 13q^-72 + 17q^-71 + 40q^-70 + 34q^-69 - 6q^-68 - 46q^-67 - 53q^-66 - 14q^-65 + 44q^-64 + 75q^-63 + 35q^-62 - 38q^-61 - 85q^-60 - 64q^-59 + 28q^-58 + 101q^-57 + 80q^-56 - 14q^-55 - 104q^-54 - 105q^-53 + 2q^-52 + 115q^-51 + 115q^-50 + 7q^-49 - 113q^-48 - 133q^-47 - 15q^-46 + 121q^-45 + 138q^-44 + 20q^-43 - 120q^-42 - 145q^-41 - 25q^-40 + 120q^-39 + 150q^-38 + 29q^-37 - 119q^-36 - 146q^-35 - 36q^-34 + 107q^-33 + 150q^-32 + 43q^-31 - 101q^-30 - 136q^-29 - 51q^-28 + 76q^-27 + 132q^-26 + 55q^-25 - 61q^-24 - 106q^-23 - 60q^-22 + 31q^-21 + 91q^-20 + 57q^-19 - 20q^-18 - 53q^-17 - 52q^-16 - 7q^-15 + 43q^-14 + 37q^-13 + 5q^-12 - 10q^-11 - 25q^-10 - 17q^-9 + 9q^-8 + 14q^-7 + 4q^-6 + 6q^-5 - 6q^-4 - 6q^-3 - 2q^-2 + 2q^-1 + 2q

6 q^-132 - 2q^-131 - q^-130 + 2q^-129 + q^-128 + 2q^-127 - 2q^-126 + 3q^-125 - 6q^-124 - 7q^-123 + 3q^-122 + 3q^-121 + 8q^-120 + q^-119 + 13q^-118 - 10q^-117 - 17q^-116 - 8q^-115 - 6q^-114 + 8q^-113 + 4q^-112 + 43q^-111 + 7q^-110 - 14q^-109 - 21q^-108 - 32q^-107 - 22q^-106 - 22q^-105 + 64q^-104 + 46q^-103 + 33q^-102 + 4q^-101 - 35q^-100 - 72q^-99 - 100q^-98 + 30q^-97 + 54q^-96 + 98q^-95 + 84q^-94 + 29q^-93 - 86q^-92 - 190q^-91 - 65q^-90 - 7q^-89 + 121q^-88 + 174q^-87 + 152q^-86 - 35q^-85 - 235q^-84 - 170q^-83 - 120q^-82 + 86q^-81 + 228q^-80 + 281q^-79 + 56q^-78 - 231q^-77 - 244q^-76 - 234q^-75 + 23q^-74 + 245q^-73 + 379q^-72 + 140q^-71 - 208q^-70 - 288q^-69 - 315q^-68 - 30q^-67 + 247q^-66 + 443q^-65 + 193q^-64 - 192q^-63 - 313q^-62 - 360q^-61 - 58q^-60 + 247q^-59 + 477q^-58 + 221q^-57 - 182q^-56 - 326q^-55 - 382q^-54 - 75q^-53 + 241q^-52 + 488q^-51 + 239q^-50 - 160q^-49 - 324q^-48 - 390q^-47 - 100q^-46 + 215q^-45 + 473q^-44 + 258q^-43 - 109q^-42 - 292q^-41 - 377q^-40 - 140q^-39 + 151q^-38 + 414q^-37 + 263q^-36 - 30q^-35 - 209q^-34 - 320q^-33 - 173q^-32 + 52q^-31 + 295q^-30 + 229q^-29 + 46q^-28 - 90q^-27 - 211q^-26 - 165q^-25 - 36q^-24 + 146q^-23 + 147q^-22 + 75q^-21 + 5q^-20 - 86q^-19 - 104q^-18 - 65q^-17 + 35q^-16 + 54q^-15 + 49q^-14 + 34q^-13 - 9q^-12 - 34q^-11 - 38q^-10 - 5q^-9 + 6q^-8 + 11q^-7 + 16q^-6 + 9q^-5 - 3q^-4 - 8q^-3 - 4q^-2 - 2q^-1 + 2q² + q³

7 q^-175 - 2q^-174 - q^-173 + 2q^-172 + q^-171 + 2q^-170 - 2q^-169 + q^-167 - 6q^-166 - 4q^-165 + 2q^-164 + 3q^-163 + 10q^-162 + 3q^-161 - q^-160 + 6q^-159 - 12q^-158 - 14q^-157 - 11q^-156 - 8q^-155 + 17q^-154 + 15q^-153 + 12q^-152 + 29q^-151 + 2q^-150 - 15q^-149 - 29q^-148 - 54q^-147 - 12q^-146 - q^-145 + 14q^-144 + 69q^-143 + 56q^-142 + 44q^-141 + 3q^-140 - 78q^-139 - 78q^-138 - 87q^-137 - 69q^-136 + 45q^-135 + 92q^-134 + 147q^-133 + 146q^-132 + 15q^-131 - 65q^-130 - 178q^-129 - 232q^-128 - 119q^-127 - 7q^-126 + 173q^-125 + 315q^-124 + 236q^-123 + 117q^-122 - 123q^-121 - 353q^-120 - 352q^-119 - 269q^-118 + 24q^-117 + 361q^-116 + 454q^-115 + 415q^-114 + 113q^-113 - 311q^-112 - 524q^-111 - 572q^-110 - 268q^-109 + 245q^-108 + 552q^-107 + 694q^-106 + 432q^-105 - 136q^-104 - 564q^-103 - 813q^-102 - 572q^-101 + 40q^-100 + 546q^-99 + 879q^-98 + 711q^-97 + 70q^-96 - 527q^-95 - 954q^-94 - 812q^-93 - 139q^-92 + 499q^-91 + 985q^-90 + 897q^-89 + 220q^-88 - 482q^-87 - 1032q^-86 - 956q^-85 - 255q^-84 + 468q^-83 + 1043q^-82 + 1000q^-81 + 299q^-80 - 461q^-79 - 1068q^-78 - 1032q^-77 - 314q^-76 + 455q^-75 + 1075q^-74 + 1051q^-73 + 336q^-72 - 446q^-71 - 1078q^-70 - 1072q^-69 - 359q^-68 + 436q^-67 + 1082q^-66 + 1078q^-65 + 378q^-64 - 406q^-63 - 1056q^-62 - 1093q^-61 - 424q^-60 + 372q^-59 + 1036q^-58 + 1086q^-57 + 451q^-56 - 303q^-55 - 964q^-54 - 1072q^-53 - 512q^-52 + 224q^-51 + 886q^-50 + 1023q^-49 + 541q^-48 - 115q^-47 - 745q^-46 - 954q^-45 - 578q^-44 + 6q^-43 + 601q^-42 + 832q^-41 + 563q^-40 + 115q^-39 - 415q^-38 - 691q^-37 - 546q^-36 - 187q^-35 + 257q^-34 + 510q^-33 + 454q^-32 + 249q^-31 - 83q^-30 - 357q^-29 - 376q^-28 - 240q^-27 + 3q^-26 + 188q^-25 + 236q^-24 + 223q^-23 + 83q^-22 - 87q^-21 - 161q^-20 - 151q^-19 - 74q^-18 + 8q^-17 + 55q^-16 + 98q^-15 + 81q^-14 + 17q^-13 - 25q^-12 - 45q^-11 - 37q^-10 - 23q^-9 - 9q^-8 + 15q^-7 + 24q^-6 + 16q^-5 + 4q^-4 - 6q^-2 - 4q^-1 - 6 - 2q + 2q³ + 2q⁵

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[8, 21]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[12, 6, 13, 5], X[13, 16, 14, 1], > X[9, 14, 10, 15], X[15, 10, 16, 11], X[6, 12, 7, 11], X[7, 2, 8, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[8, 21]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 8, -2, 1, 3, -7, -8, 2, -5, 6, 7, -3, -4, 5, -6, 4]

In[4]:=
DTCode[Knot[8, 21]]

Out[4]=
DTCode[4, 8, -12, 2, 14, -6, 16, 10]

In[5]:=
br = BR[Knot[8, 21]]

Out[5]=
BR[3, {-1, -1, -1, -2, 1, 1, -2, -2}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{3, 8}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[8, 21]]

Out[7]=
3

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[8, 21]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[8, 21]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 2, 3, 4, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[8, 21]][t]

Out[10]=
-2 4 2 -5 - t + - + 4 t - t t

In[11]:=
Conway[Knot[8, 21]][z]

Out[11]=
4 1 - z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[8, 21], Knot[10, 136]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[8, 21]], KnotSignature[Knot[8, 21]]}

Out[13]=
{15, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[8, 21]][q]

Out[14]=
-7 2 2 3 3 2 2 q - -- + -- - -- + -- - -- + - 6 5 4 3 2 q q q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[8, 21]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[8, 21]][q]

Out[16]=
-22 2 -12 -10 -8 2 -4 2 q - --- - q - q + q + -- + q + -- 14 6 2 q q q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[8, 21]][a, z]

Out[17]=
2 4 6 2 2 4 2 6 2 4 4 3 a - 3 a + a + 2 a z - 3 a z + a z - a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[8, 21]][a, z]

Out[18]=
2 4 6 3 5 7 2 2 4 2 8 2 -3 a - 3 a - a + 2 a z + 4 a z + 2 a z + 3 a z + 5 a z - 2 a z - 3 3 5 3 7 3 4 4 6 4 8 4 3 5 5 5 > a z - 6 a z - 5 a z - 2 a z - a z + a z + a z + 3 a z + 7 5 4 6 6 6 > 2 a z + a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[8, 21]], Vassiliev[3][Knot[8, 21]]}

Out[19]=
{0, 1}

In[20]:=
Kh[Knot[8, 21]][q, t]

Out[20]=
-3 2 1 1 1 1 1 2 1 1 q + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q t q t q t q t q t q t q t q t 2 1 1 > ----- + ---- + ---- 5 2 5 3 q t q t q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[8, 21], 2][q]

Out[21]=
-20 2 -18 5 3 4 8 2 8 10 -10 10 10 q - --- - q + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - q - -- + -- - 19 17 16 15 14 13 12 11 9 8 q q q q q q q q q q 8 6 -4 4 2 1 > -- + -- + q - -- + -- + - 6 5 3 2 q q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 8₂₁

8₂₀
9₁

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-20 - 2q^-19 - q^-18 + 5q^-17 - 3q^-16 - 4q^-15 + 8q^-14 - 2q^-13 - 8q^-12 + 10q^-11 - q^-10 - 10q^-9 + 10q^-8 - 8q^-6 + 6q^-5 + q^-4 - 4q^-3 + 2q^-2 + q^-1
3	q^-39 - 2q^-38 - q^-37 + 2q^-36 + 4q^-35 - 2q^-34 - 7q^-33 + q^-32 + 9q^-31 + 2q^-30 - 11q^-29 - 6q^-28 + 11q^-27 + 11q^-26 - 12q^-25 - 13q^-24 + 10q^-23 + 19q^-22 - 11q^-21 - 20q^-20 + 9q^-19 + 22q^-18 - 9q^-17 - 23q^-16 + 8q^-15 + 21q^-14 - 4q^-13 - 21q^-12 + 4q^-11 + 15q^-10 + q^-9 - 13q^-8 + 6q^-6 + 4q^-5 - 6q^-4 + 2q^-1
4	q^-64 - 2q^-63 - q^-62 + 2q^-61 + q^-60 + 5q^-59 - 6q^-58 - 5q^-57 + 17q^-54 - 4q^-53 - 9q^-52 - 8q^-51 - 10q^-50 + 27q^-49 + 7q^-48 - q^-47 - 15q^-46 - 31q^-45 + 26q^-44 + 18q^-43 + 17q^-42 - 15q^-41 - 52q^-40 + 16q^-39 + 23q^-38 + 37q^-37 - 10q^-36 - 67q^-35 + 7q^-34 + 25q^-33 + 51q^-32 - 5q^-31 - 76q^-30 + 25q^-28 + 58q^-27 - 2q^-26 - 77q^-25 - 6q^-24 + 22q^-23 + 57q^-22 + 4q^-21 - 66q^-20 - 13q^-19 + 12q^-18 + 48q^-17 + 12q^-16 - 44q^-15 - 14q^-14 - q^-13 + 29q^-12 + 15q^-11 - 18q^-10 - 9q^-9 - 7q^-8 + 10q^-7 + 9q^-6 - 3q^-5 - 2q^-4 - 4q^-3 + 2q^-1 + 1
5	q^-95 - 2q^-94 - q^-93 + 2q^-92 + q^-91 + 2q^-90 + q^-89 - 4q^-88 - 7q^-87 + 4q^-85 + 7q^-84 + 8q^-83 - 12q^-81 - 15q^-80 - 4q^-79 + 8q^-78 + 20q^-77 + 19q^-76 - 2q^-75 - 23q^-74 - 30q^-73 - 13q^-72 + 17q^-71 + 40q^-70 + 34q^-69 - 6q^-68 - 46q^-67 - 53q^-66 - 14q^-65 + 44q^-64 + 75q^-63 + 35q^-62 - 38q^-61 - 85q^-60 - 64q^-59 + 28q^-58 + 101q^-57 + 80q^-56 - 14q^-55 - 104q^-54 - 105q^-53 + 2q^-52 + 115q^-51 + 115q^-50 + 7q^-49 - 113q^-48 - 133q^-47 - 15q^-46 + 121q^-45 + 138q^-44 + 20q^-43 - 120q^-42 - 145q^-41 - 25q^-40 + 120q^-39 + 150q^-38 + 29q^-37 - 119q^-36 - 146q^-35 - 36q^-34 + 107q^-33 + 150q^-32 + 43q^-31 - 101q^-30 - 136q^-29 - 51q^-28 + 76q^-27 + 132q^-26 + 55q^-25 - 61q^-24 - 106q^-23 - 60q^-22 + 31q^-21 + 91q^-20 + 57q^-19 - 20q^-18 - 53q^-17 - 52q^-16 - 7q^-15 + 43q^-14 + 37q^-13 + 5q^-12 - 10q^-11 - 25q^-10 - 17q^-9 + 9q^-8 + 14q^-7 + 4q^-6 + 6q^-5 - 6q^-4 - 6q^-3 - 2q^-2 + 2q^-1 + 2q
6	q^-132 - 2q^-131 - q^-130 + 2q^-129 + q^-128 + 2q^-127 - 2q^-126 + 3q^-125 - 6q^-124 - 7q^-123 + 3q^-122 + 3q^-121 + 8q^-120 + q^-119 + 13q^-118 - 10q^-117 - 17q^-116 - 8q^-115 - 6q^-114 + 8q^-113 + 4q^-112 + 43q^-111 + 7q^-110 - 14q^-109 - 21q^-108 - 32q^-107 - 22q^-106 - 22q^-105 + 64q^-104 + 46q^-103 + 33q^-102 + 4q^-101 - 35q^-100 - 72q^-99 - 100q^-98 + 30q^-97 + 54q^-96 + 98q^-95 + 84q^-94 + 29q^-93 - 86q^-92 - 190q^-91 - 65q^-90 - 7q^-89 + 121q^-88 + 174q^-87 + 152q^-86 - 35q^-85 - 235q^-84 - 170q^-83 - 120q^-82 + 86q^-81 + 228q^-80 + 281q^-79 + 56q^-78 - 231q^-77 - 244q^-76 - 234q^-75 + 23q^-74 + 245q^-73 + 379q^-72 + 140q^-71 - 208q^-70 - 288q^-69 - 315q^-68 - 30q^-67 + 247q^-66 + 443q^-65 + 193q^-64 - 192q^-63 - 313q^-62 - 360q^-61 - 58q^-60 + 247q^-59 + 477q^-58 + 221q^-57 - 182q^-56 - 326q^-55 - 382q^-54 - 75q^-53 + 241q^-52 + 488q^-51 + 239q^-50 - 160q^-49 - 324q^-48 - 390q^-47 - 100q^-46 + 215q^-45 + 473q^-44 + 258q^-43 - 109q^-42 - 292q^-41 - 377q^-40 - 140q^-39 + 151q^-38 + 414q^-37 + 263q^-36 - 30q^-35 - 209q^-34 - 320q^-33 - 173q^-32 + 52q^-31 + 295q^-30 + 229q^-29 + 46q^-28 - 90q^-27 - 211q^-26 - 165q^-25 - 36q^-24 + 146q^-23 + 147q^-22 + 75q^-21 + 5q^-20 - 86q^-19 - 104q^-18 - 65q^-17 + 35q^-16 + 54q^-15 + 49q^-14 + 34q^-13 - 9q^-12 - 34q^-11 - 38q^-10 - 5q^-9 + 6q^-8 + 11q^-7 + 16q^-6 + 9q^-5 - 3q^-4 - 8q^-3 - 4q^-2 - 2q^-1 + 2q² + q³
7	q^-175 - 2q^-174 - q^-173 + 2q^-172 + q^-171 + 2q^-170 - 2q^-169 + q^-167 - 6q^-166 - 4q^-165 + 2q^-164 + 3q^-163 + 10q^-162 + 3q^-161 - q^-160 + 6q^-159 - 12q^-158 - 14q^-157 - 11q^-156 - 8q^-155 + 17q^-154 + 15q^-153 + 12q^-152 + 29q^-151 + 2q^-150 - 15q^-149 - 29q^-148 - 54q^-147 - 12q^-146 - q^-145 + 14q^-144 + 69q^-143 + 56q^-142 + 44q^-141 + 3q^-140 - 78q^-139 - 78q^-138 - 87q^-137 - 69q^-136 + 45q^-135 + 92q^-134 + 147q^-133 + 146q^-132 + 15q^-131 - 65q^-130 - 178q^-129 - 232q^-128 - 119q^-127 - 7q^-126 + 173q^-125 + 315q^-124 + 236q^-123 + 117q^-122 - 123q^-121 - 353q^-120 - 352q^-119 - 269q^-118 + 24q^-117 + 361q^-116 + 454q^-115 + 415q^-114 + 113q^-113 - 311q^-112 - 524q^-111 - 572q^-110 - 268q^-109 + 245q^-108 + 552q^-107 + 694q^-106 + 432q^-105 - 136q^-104 - 564q^-103 - 813q^-102 - 572q^-101 + 40q^-100 + 546q^-99 + 879q^-98 + 711q^-97 + 70q^-96 - 527q^-95 - 954q^-94 - 812q^-93 - 139q^-92 + 499q^-91 + 985q^-90 + 897q^-89 + 220q^-88 - 482q^-87 - 1032q^-86 - 956q^-85 - 255q^-84 + 468q^-83 + 1043q^-82 + 1000q^-81 + 299q^-80 - 461q^-79 - 1068q^-78 - 1032q^-77 - 314q^-76 + 455q^-75 + 1075q^-74 + 1051q^-73 + 336q^-72 - 446q^-71 - 1078q^-70 - 1072q^-69 - 359q^-68 + 436q^-67 + 1082q^-66 + 1078q^-65 + 378q^-64 - 406q^-63 - 1056q^-62 - 1093q^-61 - 424q^-60 + 372q^-59 + 1036q^-58 + 1086q^-57 + 451q^-56 - 303q^-55 - 964q^-54 - 1072q^-53 - 512q^-52 + 224q^-51 + 886q^-50 + 1023q^-49 + 541q^-48 - 115q^-47 - 745q^-46 - 954q^-45 - 578q^-44 + 6q^-43 + 601q^-42 + 832q^-41 + 563q^-40 + 115q^-39 - 415q^-38 - 691q^-37 - 546q^-36 - 187q^-35 + 257q^-34 + 510q^-33 + 454q^-32 + 249q^-31 - 83q^-30 - 357q^-29 - 376q^-28 - 240q^-27 + 3q^-26 + 188q^-25 + 236q^-24 + 223q^-23 + 83q^-22 - 87q^-21 - 161q^-20 - 151q^-19 - 74q^-18 + 8q^-17 + 55q^-16 + 98q^-15 + 81q^-14 + 17q^-13 - 25q^-12 - 45q^-11 - 37q^-10 - 23q^-9 - 9q^-8 + 15q^-7 + 24q^-6 + 16q^-5 + 4q^-4 - 6q^-2 - 4q^-1 - 6 - 2q + 2q³ + 2q⁵

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[8, 21]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 8, 4, 9], X[12, 6, 13, 5], X[13, 16, 14, 1], > X[9, 14, 10, 15], X[15, 10, 16, 11], X[6, 12, 7, 11], X[7, 2, 8, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[8, 21]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 8, -2, 1, 3, -7, -8, 2, -5, 6, 7, -3, -4, 5, -6, 4]
In[4]:=	DTCode[Knot[8, 21]]
Out[4]=	DTCode[4, 8, -12, 2, 14, -6, 16, 10]
In[5]:=	br = BR[Knot[8, 21]]
Out[5]=	BR[3, {-1, -1, -1, -2, 1, 1, -2, -2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 8}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[8, 21]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[8, 21]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[8, 21]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 2, 3, 4, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[8, 21]][t]
Out[10]=	-2 4 2 -5 - t + - + 4 t - t t
In[11]:=	Conway[Knot[8, 21]][z]
Out[11]=	4 1 - z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[8, 21], Knot[10, 136]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[8, 21]], KnotSignature[Knot[8, 21]]}
Out[13]=	{15, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[8, 21]][q]
Out[14]=	-7 2 2 3 3 2 2 q - -- + -- - -- + -- - -- + - 6 5 4 3 2 q q q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[8, 21]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[8, 21]][q]
Out[16]=	-22 2 -12 -10 -8 2 -4 2 q - --- - q - q + q + -- + q + -- 14 6 2 q q q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[8, 21]][a, z]
Out[17]=	2 4 6 2 2 4 2 6 2 4 4 3 a - 3 a + a + 2 a z - 3 a z + a z - a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[8, 21]][a, z]
Out[18]=	2 4 6 3 5 7 2 2 4 2 8 2 -3 a - 3 a - a + 2 a z + 4 a z + 2 a z + 3 a z + 5 a z - 2 a z - 3 3 5 3 7 3 4 4 6 4 8 4 3 5 5 5 > a z - 6 a z - 5 a z - 2 a z - a z + a z + a z + 3 a z + 7 5 4 6 6 6 > 2 a z + a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[8, 21]], Vassiliev[3][Knot[8, 21]]}
Out[19]=	{0, 1}
In[20]:=	Kh[Knot[8, 21]][q, t]
Out[20]=	-3 2 1 1 1 1 1 2 1 1 q + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + q 15 6 13 5 11 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q t q t q t q t q t q t q t q t 2 1 1 > ----- + ---- + ---- 5 2 5 3 q t q t q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[8, 21], 2][q]
Out[21]=	-20 2 -18 5 3 4 8 2 8 10 -10 10 10 q - --- - q + --- - --- - --- + --- - --- - --- + --- - q - -- + -- - 19 17 16 15 14 13 12 11 9 8 q q q q q q q q q q 8 6 -4 4 2 1 > -- + -- + q - -- + -- + - 6 5 3 2 q q q q q

The Non Alternating Knot 821

The Non Alternating Knot 8₂₁