The Alternating Knot 7₂

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₁₄₂₅ X_3,10,4,11 X_5,14,6,1 X_7,12,8,13 X_11,8,12,9 X_13,6,14,7 X_9,2,10,3

Gauss Code: {-1, 7, -2, 1, -3, 6, -4, 5, -7, 2, -5, 4, -6, 3}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 4 10 14 12 2 8 6

Minimum Braid Representative:

Length is 9, width is 4
Braid index is 4

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

Reversible 1 1 2 / 3--4 1

Alexander Polynomial: 3t^-1 - 5 + 3t

Conway Polynomial: 1 + 3z²

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {11, -2}

Jones Polynomial: - q^-8 + q^-7 - q^-6 + 2q^-5 - 2q^-4 + 2q^-3 - q^-2 + q^-1

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {K11n88, ...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-26 - q^-24 + q^-18 + q^-16 + q^-8 + q^-6 + q^-2

HOMFLY-PT Polynomial: a² + a²z² + a⁴z² + a⁶ + a⁶z² - a⁸

Kauffman Polynomial: - a² + a²z² + a³z³ + a⁴z⁴ - a⁵z³ + a⁵z⁵ - a⁶ + 3a⁶z² - 3a⁶z⁴ + a⁶z⁶ + 3a⁷z - 6a⁷z³ + 2a⁷z⁵ - a⁸ + 4a⁸z² - 4a⁸z⁴ + a⁸z⁶ + 3a⁹z - 4a⁹z³ + a⁹z⁵

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {3, -6}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=-2 is the signature of 7₂. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -7 r = -6 r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0

j = -1 1

j = -3 1 1

j = -5 1

j = -7 1 1

j = -9 1 1

j = -11 1

j = -13 1 1

j = -15

j = -17 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-23 - q^-22 - q^-21 + 2q^-20 - q^-19 - 2q^-18 + 3q^-17 - 3q^-15 + 3q^-14 - 4q^-12 + 3q^-11 + q^-10 - 4q^-9 + 3q^-8 + q^-7 - 2q^-6 + 2q^-5 - q^-3 + q^-2

3 - q^-45 + q^-44 + q^-43 - 2q^-41 + 2q^-39 + q^-38 - 3q^-37 - q^-36 + 2q^-35 + 2q^-34 - 2q^-33 - 2q^-32 + 2q^-31 + 2q^-30 - q^-29 - 2q^-28 + q^-27 + q^-26 - 2q^-24 + q^-22 + q^-21 - 2q^-20 - q^-19 + q^-18 + 2q^-17 - 2q^-16 + q^-13 - q^-12 + q^-11 - q^-8 + 2q^-7 - q^-4 + q^-3

4 q^-74 - q^-73 - q^-72 + 3q^-69 - q^-68 - q^-67 - q^-66 - 2q^-65 + 5q^-64 - q^-62 - q^-61 - 4q^-60 + 5q^-59 - 5q^-55 + 5q^-54 - q^-53 + q^-51 - 4q^-50 + 6q^-49 - 3q^-48 - q^-47 + 2q^-46 - 3q^-45 + 7q^-44 - 5q^-43 - 3q^-42 + 3q^-41 - 2q^-40 + 8q^-39 - 6q^-38 - 4q^-37 + 4q^-36 - q^-35 + 8q^-34 - 7q^-33 - 5q^-32 + 5q^-31 + 7q^-29 - 8q^-28 - 5q^-27 + 4q^-26 + 8q^-24 - 6q^-23 - 5q^-22 + 2q^-21 + 7q^-19 - 3q^-18 - 3q^-17 + q^-16 - 2q^-15 + 5q^-14 - q^-13 - q^-12 - 2q^-10 + 3q^-9 - q^-5 + q^-4

5 - q^-110 + q^-109 + q^-108 - q^-105 - 2q^-104 + 2q^-102 + q^-101 + q^-100 - 3q^-98 - 2q^-97 + q^-96 + 2q^-95 + 2q^-94 + q^-93 - 2q^-92 - 3q^-91 + q^-89 + 2q^-88 + q^-87 - q^-86 - 2q^-85 + q^-83 + q^-82 - 2q^-80 - 2q^-79 + 2q^-78 + 3q^-77 + q^-76 - 2q^-75 - 4q^-74 - 2q^-73 + 3q^-72 + 6q^-71 + 3q^-70 - 4q^-69 - 7q^-68 - 3q^-67 + 3q^-66 + 8q^-65 + 5q^-64 - 5q^-63 - 9q^-62 - 5q^-61 + 4q^-60 + 10q^-59 + 7q^-58 - 5q^-57 - 10q^-56 - 7q^-55 + 4q^-54 + 12q^-53 + 8q^-52 - 6q^-51 - 11q^-50 - 8q^-49 + 5q^-48 + 14q^-47 + 7q^-46 - 7q^-45 - 12q^-44 - 8q^-43 + 5q^-42 + 15q^-41 + 7q^-40 - 7q^-39 - 12q^-38 - 8q^-37 + 2q^-36 + 15q^-35 + 8q^-34 - 4q^-33 - 11q^-32 - 7q^-31 + 11q^-29 + 6q^-28 - 2q^-27 - 6q^-26 - 5q^-25 - q^-24 + 7q^-23 + 3q^-22 - q^-21 - 2q^-20 - 2q^-19 - 2q^-18 + 4q^-17 + 2q^-16 - q^-15 - q^-13 - 2q^-12 + 2q^-11 + q^-10 - q^-6 + q^-5

6 q^-153 - q^-152 - q^-151 + q^-148 + 3q^-146 - q^-145 - 2q^-144 - q^-143 - q^-142 - q^-140 + 6q^-139 - q^-137 - q^-136 - 2q^-135 - q^-134 - 4q^-133 + 7q^-132 + q^-131 - q^-128 - q^-127 - 6q^-126 + 7q^-125 - q^-122 + q^-120 - 6q^-119 + 8q^-118 - 4q^-115 - 2q^-114 + q^-113 - 5q^-112 + 11q^-111 + 2q^-110 + q^-109 - 7q^-108 - 5q^-107 - q^-106 - 6q^-105 + 14q^-104 + 6q^-103 + 4q^-102 - 8q^-101 - 7q^-100 - 4q^-99 - 9q^-98 + 15q^-97 + 9q^-96 + 7q^-95 - 7q^-94 - 8q^-93 - 7q^-92 - 13q^-91 + 14q^-90 + 11q^-89 + 10q^-88 - 5q^-87 - 7q^-86 - 8q^-85 - 17q^-84 + 12q^-83 + 13q^-82 + 13q^-81 - 3q^-80 - 7q^-79 - 9q^-78 - 20q^-77 + 9q^-76 + 15q^-75 + 16q^-74 - 2q^-73 - 7q^-72 - 10q^-71 - 22q^-70 + 8q^-69 + 17q^-68 + 18q^-67 - 3q^-66 - 8q^-65 - 11q^-64 - 22q^-63 + 8q^-62 + 19q^-61 + 19q^-60 - 3q^-59 - 9q^-58 - 12q^-57 - 22q^-56 + 8q^-55 + 18q^-54 + 19q^-53 - q^-52 - 8q^-51 - 12q^-50 - 23q^-49 + 6q^-48 + 15q^-47 + 17q^-46 + q^-45 - 5q^-44 - 9q^-43 - 19q^-42 + 4q^-41 + 10q^-40 + 12q^-39 - 3q^-37 - 4q^-36 - 13q^-35 + 5q^-34 + 6q^-33 + 6q^-32 - 2q^-31 - 2q^-30 - q^-29 - 8q^-28 + 5q^-27 + 3q^-26 + 3q^-25 - 2q^-24 - q^-23 - 5q^-21 + 4q^-20 + q^-19 + 2q^-18 - q^-17 - 3q^-14 + 2q^-13 + q^-11 - q^-7 + q^-6

7 - q^-203 + q^-202 + q^-201 - q^-198 - q^-196 - 2q^-195 + q^-194 + 2q^-193 + q^-192 + 2q^-191 - q^-190 - 5q^-187 - q^-186 + q^-185 + q^-184 + 4q^-183 + q^-181 + 2q^-180 - 5q^-179 - 2q^-178 - q^-177 - 2q^-176 + 5q^-175 + q^-173 + 4q^-172 - 4q^-171 - q^-170 - q^-169 - 3q^-168 + 5q^-167 - q^-165 + 3q^-164 - 5q^-163 - 3q^-160 + 8q^-159 + 2q^-158 - q^-157 + 2q^-156 - 8q^-155 - 3q^-154 - 2q^-153 - 3q^-152 + 11q^-151 + 6q^-150 + 2q^-149 + 4q^-148 - 10q^-147 - 8q^-146 - 6q^-145 - 6q^-144 + 11q^-143 + 9q^-142 + 6q^-141 + 9q^-140 - 8q^-139 - 10q^-138 - 9q^-137 - 11q^-136 + 8q^-135 + 9q^-134 + 9q^-133 + 13q^-132 - 4q^-131 - 8q^-130 - 9q^-129 - 15q^-128 + 2q^-127 + 6q^-126 + 9q^-125 + 15q^-124 - q^-123 - 3q^-122 - 6q^-121 - 17q^-120 - 3q^-119 + q^-118 + 7q^-117 + 16q^-116 + 3q^-115 + 2q^-114 - 3q^-113 - 16q^-112 - 7q^-111 - 4q^-110 + 3q^-109 + 17q^-108 + 6q^-107 + 6q^-106 - 16q^-104 - 10q^-103 - 8q^-102 + 17q^-100 + 10q^-99 + 10q^-98 + q^-97 - 17q^-96 - 13q^-95 - 10q^-94 - 2q^-93 + 17q^-92 + 14q^-91 + 12q^-90 - 18q^-88 - 14q^-87 - 10q^-86 - 2q^-85 + 18q^-84 + 17q^-83 + 12q^-82 - 2q^-81 - 19q^-80 - 15q^-79 - 10q^-78 - q^-77 + 19q^-76 + 18q^-75 + 12q^-74 - q^-73 - 20q^-72 - 16q^-71 - 11q^-70 - 2q^-69 + 17q^-68 + 17q^-67 + 14q^-66 + 2q^-65 - 17q^-64 - 15q^-63 - 13q^-62 - 4q^-61 + 13q^-60 + 13q^-59 + 12q^-58 + 5q^-57 - 11q^-56 - 9q^-55 - 10q^-54 - 4q^-53 + 7q^-52 + 6q^-51 + 7q^-50 + 2q^-49 - 7q^-48 - q^-47 - 3q^-46 - 2q^-45 + 4q^-44 + q^-43 + q^-42 - q^-41 - 6q^-40 + 4q^-39 + q^-38 + q^-37 + 3q^-36 - 2q^-35 - q^-34 - q^-33 - 5q^-32 + 3q^-31 + 2q^-30 + 2q^-29 + 2q^-28 - 2q^-27 - q^-26 - 4q^-24 + 2q^-23 + q^-22 + q^-21 + 2q^-20 - q^-19 - 2q^-16 + q^-15 + q^-12 - q^-8 + q^-7

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[7, 2]]

Out[2]=
PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[5, 14, 6, 1], X[7, 12, 8, 13], > X[11, 8, 12, 9], X[13, 6, 14, 7], X[9, 2, 10, 3]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[7, 2]]

Out[3]=
GaussCode[-1, 7, -2, 1, -3, 6, -4, 5, -7, 2, -5, 4, -6, 3]

In[4]:=
DTCode[Knot[7, 2]]

Out[4]=
DTCode[4, 10, 14, 12, 2, 8, 6]

In[5]:=
br = BR[Knot[7, 2]]

Out[5]=
BR[4, {-1, -1, -1, -2, 1, -2, -3, 2, -3}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{4, 9}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[7, 2]]

Out[7]=
4

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[7, 2]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[7, 2]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{Reversible, 1, 1, 2, {3, 4}, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[7, 2]][t]

Out[10]=
3 -5 + - + 3 t t

In[11]:=
Conway[Knot[7, 2]][z]

Out[11]=
2 1 + 3 z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[7, 2]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[7, 2]], KnotSignature[Knot[7, 2]]}

Out[13]=
{11, -2}

In[14]:=
Jones[Knot[7, 2]][q]

Out[14]=
-8 -7 -6 2 2 2 -2 1 -q + q - q + -- - -- + -- - q + - 5 4 3 q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[7, 2], Knot[11, NonAlternating, 88]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[7, 2]][q]

Out[16]=
-26 -24 -18 -16 -8 -6 -2 -q - q + q + q + q + q + q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[7, 2]][a, z]

Out[17]=
2 6 8 2 2 4 2 6 2 a + a - a + a z + a z + a z

In[18]:=
Kauffman[Knot[7, 2]][a, z]

Out[18]=
2 6 8 7 9 2 2 6 2 8 2 3 3 5 3 -a - a - a + 3 a z + 3 a z + a z + 3 a z + 4 a z + a z - a z - 7 3 9 3 4 4 6 4 8 4 5 5 7 5 9 5 > 6 a z - 4 a z + a z - 3 a z - 4 a z + a z + 2 a z + a z + 6 6 8 6 > a z + a z

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[7, 2]], Vassiliev[3][Knot[7, 2]]}

Out[19]=
{3, -6}

In[20]:=
Kh[Knot[7, 2]][q, t]

Out[20]=
-3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + q 17 7 13 6 13 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q t q t q t q t q t q t q t q t 1 1 > ----- + ---- 5 2 3 q t q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[7, 2], 2][q]

Out[21]=
-23 -22 -21 2 -19 2 3 3 3 4 3 -10 q - q - q + --- - q - --- + --- - --- + --- - --- + --- + q - 20 18 17 15 14 12 11 q q q q q q q 4 3 -7 2 2 -3 -2 > -- + -- + q - -- + -- - q + q 9 8 6 5 q q q q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 7₂

7₁
7₃

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-23 - q^-22 - q^-21 + 2q^-20 - q^-19 - 2q^-18 + 3q^-17 - 3q^-15 + 3q^-14 - 4q^-12 + 3q^-11 + q^-10 - 4q^-9 + 3q^-8 + q^-7 - 2q^-6 + 2q^-5 - q^-3 + q^-2
3	- q^-45 + q^-44 + q^-43 - 2q^-41 + 2q^-39 + q^-38 - 3q^-37 - q^-36 + 2q^-35 + 2q^-34 - 2q^-33 - 2q^-32 + 2q^-31 + 2q^-30 - q^-29 - 2q^-28 + q^-27 + q^-26 - 2q^-24 + q^-22 + q^-21 - 2q^-20 - q^-19 + q^-18 + 2q^-17 - 2q^-16 + q^-13 - q^-12 + q^-11 - q^-8 + 2q^-7 - q^-4 + q^-3
4	q^-74 - q^-73 - q^-72 + 3q^-69 - q^-68 - q^-67 - q^-66 - 2q^-65 + 5q^-64 - q^-62 - q^-61 - 4q^-60 + 5q^-59 - 5q^-55 + 5q^-54 - q^-53 + q^-51 - 4q^-50 + 6q^-49 - 3q^-48 - q^-47 + 2q^-46 - 3q^-45 + 7q^-44 - 5q^-43 - 3q^-42 + 3q^-41 - 2q^-40 + 8q^-39 - 6q^-38 - 4q^-37 + 4q^-36 - q^-35 + 8q^-34 - 7q^-33 - 5q^-32 + 5q^-31 + 7q^-29 - 8q^-28 - 5q^-27 + 4q^-26 + 8q^-24 - 6q^-23 - 5q^-22 + 2q^-21 + 7q^-19 - 3q^-18 - 3q^-17 + q^-16 - 2q^-15 + 5q^-14 - q^-13 - q^-12 - 2q^-10 + 3q^-9 - q^-5 + q^-4
5	- q^-110 + q^-109 + q^-108 - q^-105 - 2q^-104 + 2q^-102 + q^-101 + q^-100 - 3q^-98 - 2q^-97 + q^-96 + 2q^-95 + 2q^-94 + q^-93 - 2q^-92 - 3q^-91 + q^-89 + 2q^-88 + q^-87 - q^-86 - 2q^-85 + q^-83 + q^-82 - 2q^-80 - 2q^-79 + 2q^-78 + 3q^-77 + q^-76 - 2q^-75 - 4q^-74 - 2q^-73 + 3q^-72 + 6q^-71 + 3q^-70 - 4q^-69 - 7q^-68 - 3q^-67 + 3q^-66 + 8q^-65 + 5q^-64 - 5q^-63 - 9q^-62 - 5q^-61 + 4q^-60 + 10q^-59 + 7q^-58 - 5q^-57 - 10q^-56 - 7q^-55 + 4q^-54 + 12q^-53 + 8q^-52 - 6q^-51 - 11q^-50 - 8q^-49 + 5q^-48 + 14q^-47 + 7q^-46 - 7q^-45 - 12q^-44 - 8q^-43 + 5q^-42 + 15q^-41 + 7q^-40 - 7q^-39 - 12q^-38 - 8q^-37 + 2q^-36 + 15q^-35 + 8q^-34 - 4q^-33 - 11q^-32 - 7q^-31 + 11q^-29 + 6q^-28 - 2q^-27 - 6q^-26 - 5q^-25 - q^-24 + 7q^-23 + 3q^-22 - q^-21 - 2q^-20 - 2q^-19 - 2q^-18 + 4q^-17 + 2q^-16 - q^-15 - q^-13 - 2q^-12 + 2q^-11 + q^-10 - q^-6 + q^-5
6	q^-153 - q^-152 - q^-151 + q^-148 + 3q^-146 - q^-145 - 2q^-144 - q^-143 - q^-142 - q^-140 + 6q^-139 - q^-137 - q^-136 - 2q^-135 - q^-134 - 4q^-133 + 7q^-132 + q^-131 - q^-128 - q^-127 - 6q^-126 + 7q^-125 - q^-122 + q^-120 - 6q^-119 + 8q^-118 - 4q^-115 - 2q^-114 + q^-113 - 5q^-112 + 11q^-111 + 2q^-110 + q^-109 - 7q^-108 - 5q^-107 - q^-106 - 6q^-105 + 14q^-104 + 6q^-103 + 4q^-102 - 8q^-101 - 7q^-100 - 4q^-99 - 9q^-98 + 15q^-97 + 9q^-96 + 7q^-95 - 7q^-94 - 8q^-93 - 7q^-92 - 13q^-91 + 14q^-90 + 11q^-89 + 10q^-88 - 5q^-87 - 7q^-86 - 8q^-85 - 17q^-84 + 12q^-83 + 13q^-82 + 13q^-81 - 3q^-80 - 7q^-79 - 9q^-78 - 20q^-77 + 9q^-76 + 15q^-75 + 16q^-74 - 2q^-73 - 7q^-72 - 10q^-71 - 22q^-70 + 8q^-69 + 17q^-68 + 18q^-67 - 3q^-66 - 8q^-65 - 11q^-64 - 22q^-63 + 8q^-62 + 19q^-61 + 19q^-60 - 3q^-59 - 9q^-58 - 12q^-57 - 22q^-56 + 8q^-55 + 18q^-54 + 19q^-53 - q^-52 - 8q^-51 - 12q^-50 - 23q^-49 + 6q^-48 + 15q^-47 + 17q^-46 + q^-45 - 5q^-44 - 9q^-43 - 19q^-42 + 4q^-41 + 10q^-40 + 12q^-39 - 3q^-37 - 4q^-36 - 13q^-35 + 5q^-34 + 6q^-33 + 6q^-32 - 2q^-31 - 2q^-30 - q^-29 - 8q^-28 + 5q^-27 + 3q^-26 + 3q^-25 - 2q^-24 - q^-23 - 5q^-21 + 4q^-20 + q^-19 + 2q^-18 - q^-17 - 3q^-14 + 2q^-13 + q^-11 - q^-7 + q^-6
7	- q^-203 + q^-202 + q^-201 - q^-198 - q^-196 - 2q^-195 + q^-194 + 2q^-193 + q^-192 + 2q^-191 - q^-190 - 5q^-187 - q^-186 + q^-185 + q^-184 + 4q^-183 + q^-181 + 2q^-180 - 5q^-179 - 2q^-178 - q^-177 - 2q^-176 + 5q^-175 + q^-173 + 4q^-172 - 4q^-171 - q^-170 - q^-169 - 3q^-168 + 5q^-167 - q^-165 + 3q^-164 - 5q^-163 - 3q^-160 + 8q^-159 + 2q^-158 - q^-157 + 2q^-156 - 8q^-155 - 3q^-154 - 2q^-153 - 3q^-152 + 11q^-151 + 6q^-150 + 2q^-149 + 4q^-148 - 10q^-147 - 8q^-146 - 6q^-145 - 6q^-144 + 11q^-143 + 9q^-142 + 6q^-141 + 9q^-140 - 8q^-139 - 10q^-138 - 9q^-137 - 11q^-136 + 8q^-135 + 9q^-134 + 9q^-133 + 13q^-132 - 4q^-131 - 8q^-130 - 9q^-129 - 15q^-128 + 2q^-127 + 6q^-126 + 9q^-125 + 15q^-124 - q^-123 - 3q^-122 - 6q^-121 - 17q^-120 - 3q^-119 + q^-118 + 7q^-117 + 16q^-116 + 3q^-115 + 2q^-114 - 3q^-113 - 16q^-112 - 7q^-111 - 4q^-110 + 3q^-109 + 17q^-108 + 6q^-107 + 6q^-106 - 16q^-104 - 10q^-103 - 8q^-102 + 17q^-100 + 10q^-99 + 10q^-98 + q^-97 - 17q^-96 - 13q^-95 - 10q^-94 - 2q^-93 + 17q^-92 + 14q^-91 + 12q^-90 - 18q^-88 - 14q^-87 - 10q^-86 - 2q^-85 + 18q^-84 + 17q^-83 + 12q^-82 - 2q^-81 - 19q^-80 - 15q^-79 - 10q^-78 - q^-77 + 19q^-76 + 18q^-75 + 12q^-74 - q^-73 - 20q^-72 - 16q^-71 - 11q^-70 - 2q^-69 + 17q^-68 + 17q^-67 + 14q^-66 + 2q^-65 - 17q^-64 - 15q^-63 - 13q^-62 - 4q^-61 + 13q^-60 + 13q^-59 + 12q^-58 + 5q^-57 - 11q^-56 - 9q^-55 - 10q^-54 - 4q^-53 + 7q^-52 + 6q^-51 + 7q^-50 + 2q^-49 - 7q^-48 - q^-47 - 3q^-46 - 2q^-45 + 4q^-44 + q^-43 + q^-42 - q^-41 - 6q^-40 + 4q^-39 + q^-38 + q^-37 + 3q^-36 - 2q^-35 - q^-34 - q^-33 - 5q^-32 + 3q^-31 + 2q^-30 + 2q^-29 + 2q^-28 - 2q^-27 - q^-26 - 4q^-24 + 2q^-23 + q^-22 + q^-21 + 2q^-20 - q^-19 - 2q^-16 + q^-15 + q^-12 - q^-8 + q^-7

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[7, 2]]
Out[2]=	PD[X[1, 4, 2, 5], X[3, 10, 4, 11], X[5, 14, 6, 1], X[7, 12, 8, 13], > X[11, 8, 12, 9], X[13, 6, 14, 7], X[9, 2, 10, 3]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[7, 2]]
Out[3]=	GaussCode[-1, 7, -2, 1, -3, 6, -4, 5, -7, 2, -5, 4, -6, 3]
In[4]:=	DTCode[Knot[7, 2]]
Out[4]=	DTCode[4, 10, 14, 12, 2, 8, 6]
In[5]:=	br = BR[Knot[7, 2]]
Out[5]=	BR[4, {-1, -1, -1, -2, 1, -2, -3, 2, -3}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{4, 9}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[7, 2]]
Out[7]=	4
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[7, 2]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[7, 2]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{Reversible, 1, 1, 2, {3, 4}, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[7, 2]][t]
Out[10]=	3 -5 + - + 3 t t
In[11]:=	Conway[Knot[7, 2]][z]
Out[11]=	2 1 + 3 z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[7, 2]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[7, 2]], KnotSignature[Knot[7, 2]]}
Out[13]=	{11, -2}
In[14]:=	Jones[Knot[7, 2]][q]
Out[14]=	-8 -7 -6 2 2 2 -2 1 -q + q - q + -- - -- + -- - q + - 5 4 3 q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[7, 2], Knot[11, NonAlternating, 88]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[7, 2]][q]
Out[16]=	-26 -24 -18 -16 -8 -6 -2 -q - q + q + q + q + q + q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[7, 2]][a, z]
Out[17]=	2 6 8 2 2 4 2 6 2 a + a - a + a z + a z + a z
In[18]:=	Kauffman[Knot[7, 2]][a, z]
Out[18]=	2 6 8 7 9 2 2 6 2 8 2 3 3 5 3 -a - a - a + 3 a z + 3 a z + a z + 3 a z + 4 a z + a z - a z - 7 3 9 3 4 4 6 4 8 4 5 5 7 5 9 5 > 6 a z - 4 a z + a z - 3 a z - 4 a z + a z + 2 a z + a z + 6 6 8 6 > a z + a z
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[7, 2]], Vassiliev[3][Knot[7, 2]]}
Out[19]=	{3, -6}
In[20]:=	Kh[Knot[7, 2]][q, t]
Out[20]=	-3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 q + - + ------ + ------ + ------ + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + q 17 7 13 6 13 5 11 4 9 4 9 3 7 3 7 2 q t q t q t q t q t q t q t q t 1 1 > ----- + ---- 5 2 3 q t q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[7, 2], 2][q]
Out[21]=	-23 -22 -21 2 -19 2 3 3 3 4 3 -10 q - q - q + --- - q - --- + --- - --- + --- - --- + --- + q - 20 18 17 15 14 12 11 q q q q q q q 4 3 -7 2 2 -3 -2 > -- + -- + q - -- + -- - q + q 9 8 6 5 q q q q

The Alternating Knot 72

The Alternating Knot 7₂