The Alternating Knot 10₁₇

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Acknowledgement

KnotPlot

PD Presentation: X₆₂₇₁ X_12,4,13,3 X_20,15,1,16 X_16,7,17,8 X_18,9,19,10 X_8,17,9,18 X_10,19,11,20 X_14,6,15,5 X_2,12,3,11 X_4,14,5,13

Gauss Code: {1, -9, 2, -10, 8, -1, 4, -6, 5, -7, 9, -2, 10, -8, 3, -4, 6, -5, 7, -3}

DT (Dowker-Thistlethwaite) Code: 6 12 14 16 18 2 4 20 8 10

Minimum Braid Representative:

Length is 10, width is 3
Braid index is 3

A Morse Link Presentation:

3D Invariants:

Symmetry Type Unknotting Number 3-Genus Bridge/Super Bridge Index Nakanishi Index

FullyAmphicheiral 1 4 2 / NotAvailable 1

Alexander Polynomial: t^-4 - 3t^-3 + 5t^-2 - 7t^-1 + 9 - 7t + 5t² - 3t³ + t⁴

Conway Polynomial: 1 + 2z² + 7z⁴ + 5z⁶ + z⁸

Other knots with the same Alexander/Conway Polynomial: {...}

Determinant and Signature: {41, 0}

Jones Polynomial: - q^-5 + 2q^-4 - 3q^-3 + 5q^-2 - 6q^-1 + 7 - 6q + 5q² - 3q³ + 2q⁴ - q⁵

Other knots (up to mirrors) with the same Jones Polynomial: {...}

A2 (sl(3)) Invariant: - q^-14 - q^-10 + q^-8 + q^-6 + 2q^-2 - 1 + 2q² + q⁶ + q⁸ - q¹⁰ - q¹⁴

HOMFLY-PT Polynomial: - 2a^-2 - 7a^-2z² - 5a^-2z⁴ - a^-2z⁶ + 5 + 16z² + 17z⁴ + 7z⁶ + z⁸ - 2a² - 7a²z² - 5a²z⁴ - a²z⁶

Kauffman Polynomial: a^-5z - 3a^-5z³ + a^-5z⁵ + 3a^-4z² - 6a^-4z⁴ + 2a^-4z⁶ + 2a^-3z³ - 5a^-3z⁵ + 2a^-3z⁷ + 2a^-2 - 8a^-2z² + 11a^-2z⁴ - 7a^-2z⁶ + 2a^-2z⁸ - 3a^-1z + 6a^-1z³ - 2a^-1z⁷ + a^-1z⁹ + 5 - 22z² + 34z⁴ - 18z⁶ + 4z⁸ - 3az + 6az³ - 2az⁷ + az⁹ + 2a² - 8a²z² + 11a²z⁴ - 7a²z⁶ + 2a²z⁸ + 2a³z³ - 5a³z⁵ + 2a³z⁷ + 3a⁴z² - 6a⁴z⁴ + 2a⁴z⁶ + a⁵z - 3a⁵z³ + a⁵z⁵

V₂ and V₃, the type 2 and 3 Vassiliev invariants: {2, 0}

Khovanov Homology:
(The squares with yellow highlighting are those on the "critical diagonals", where j-2r=s+1 or j-2r=s+1, where s=0 is the signature of 10₁₇. Nonzero entries off the critical diagonals (if any exist) are highlighted in red.)

t^rq^j r = -5 r = -4 r = -3 r = -2 r = -1 r = 0 r = 1 r = 2 r = 3 r = 4 r = 5

j = 11 1

j = 9 1

j = 7 2 1

j = 5 3 1

j = 3 3 2

j = 1 4 3

j = -1 3 4

j = -3 2 3

j = -5 1 3

j = -7 1 2

j = -9 1

j = -11 1

n Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2 q^-15 - 2q^-14 + 4q^-12 - 6q^-11 + 10q^-9 - 11q^-8 - 3q^-7 + 20q^-6 - 16q^-5 - 10q^-4 + 30q^-3 - 18q^-2 - 16q^-1 + 35 - 16q - 18q² + 30q³ - 10q⁴ - 16q⁵ + 20q⁶ - 3q⁷ - 11q⁸ + 10q⁹ - 6q¹¹ + 4q¹² - 2q¹⁴ + q¹⁵

3 - q^-30 + 2q^-29 - q^-27 - 2q^-26 + 3q^-25 + q^-24 - 3q^-23 - 2q^-22 + 6q^-21 - 8q^-19 - q^-18 + 12q^-17 + 4q^-16 - 18q^-15 - 7q^-14 + 19q^-13 + 19q^-12 - 24q^-11 - 25q^-10 + 18q^-9 + 40q^-8 - 18q^-7 - 46q^-6 + 10q^-5 + 56q^-4 - 8q^-3 - 57q^-2 + 63 - 57q² - 8q³ + 56q⁴ + 10q⁵ - 46q⁶ - 18q⁷ + 40q⁸ + 18q⁹ - 25q¹⁰ - 24q¹¹ + 19q¹² + 19q¹³ - 7q¹⁴ - 18q¹⁵ + 4q¹⁶ + 12q¹⁷ - q¹⁸ - 8q¹⁹ + 6q²¹ - 2q²² - 3q²³ + q²⁴ + 3q²⁵ - 2q²⁶ - q²⁷ + 2q²⁹ - q³⁰

4 q^-50 - 2q^-49 + q^-47 - q^-46 + 5q^-45 - 5q^-44 + q^-43 - 7q^-41 + 13q^-40 - 7q^-39 + 6q^-38 + 2q^-37 - 22q^-36 + 16q^-35 - 11q^-34 + 21q^-33 + 15q^-32 - 40q^-31 + 10q^-30 - 31q^-29 + 36q^-28 + 44q^-27 - 40q^-26 + 10q^-25 - 72q^-24 + 26q^-23 + 66q^-22 - 17q^-21 + 47q^-20 - 110q^-19 - 15q^-18 + 52q^-17 + 2q^-16 + 120q^-15 - 113q^-14 - 57q^-13 + 4q^-12 - 6q^-11 + 194q^-10 - 90q^-9 - 77q^-8 - 42q^-7 - 30q^-6 + 237q^-5 - 66q^-4 - 76q^-3 - 67q^-2 - 50q^-1 + 251 - 50q - 67q² - 76q³ - 66q⁴ + 237q⁵ - 30q⁶ - 42q⁷ - 77q⁸ - 90q⁹ + 194q¹⁰ - 6q¹¹ + 4q¹² - 57q¹³ - 113q¹⁴ + 120q¹⁵ + 2q¹⁶ + 52q¹⁷ - 15q¹⁸ - 110q¹⁹ + 47q²⁰ - 17q²¹ + 66q²² + 26q²³ - 72q²⁴ + 10q²⁵ - 40q²⁶ + 44q²⁷ + 36q²⁸ - 31q²⁹ + 10q³⁰ - 40q³¹ + 15q³² + 21q³³ - 11q³⁴ + 16q³⁵ - 22q³⁶ + 2q³⁷ + 6q³⁸ - 7q³⁹ + 13q⁴⁰ - 7q⁴¹ + q⁴³ - 5q⁴⁴ + 5q⁴⁵ - q⁴⁶ + q⁴⁷ - 2q⁴⁹ + q⁵⁰

5 - q^-75 + 2q^-74 - q^-72 + q^-71 - 2q^-70 - 3q^-69 + 3q^-68 + 3q^-67 + 4q^-65 - 3q^-64 - 11q^-63 - 2q^-62 + 6q^-61 + 7q^-60 + 12q^-59 + 2q^-58 - 19q^-57 - 20q^-56 - q^-55 + 13q^-54 + 31q^-53 + 21q^-52 - 16q^-51 - 44q^-50 - 34q^-49 + 2q^-48 + 50q^-47 + 60q^-46 + 16q^-45 - 47q^-44 - 78q^-43 - 48q^-42 + 28q^-41 + 86q^-40 + 81q^-39 + 8q^-38 - 73q^-37 - 99q^-36 - 63q^-35 + 30q^-34 + 108q^-33 + 106q^-32 + 34q^-31 - 61q^-30 - 151q^-29 - 125q^-28 + 13q^-27 + 148q^-26 + 196q^-25 + 104q^-24 - 130q^-23 - 279q^-22 - 189q^-21 + 66q^-20 + 309q^-19 + 315q^-18 + q^-17 - 340q^-16 - 387q^-15 - 85q^-14 + 331q^-13 + 468q^-12 + 144q^-11 - 323q^-10 - 495q^-9 - 207q^-8 + 301q^-7 + 535q^-6 + 231q^-5 - 292q^-4 - 526q^-3 - 264q^-2 + 267q^-1 + 553 + 267q - 264q² - 526q³ - 292q⁴ + 231q⁵ + 535q⁶ + 301q⁷ - 207q⁸ - 495q⁹ - 323q¹⁰ + 144q¹¹ + 468q¹² + 331q¹³ - 85q¹⁴ - 387q¹⁵ - 340q¹⁶ + q¹⁷ + 315q¹⁸ + 309q¹⁹ + 66q²⁰ - 189q²¹ - 279q²² - 130q²³ + 104q²⁴ + 196q²⁵ + 148q²⁶ + 13q²⁷ - 125q²⁸ - 151q²⁹ - 61q³⁰ + 34q³¹ + 106q³² + 108q³³ + 30q³⁴ - 63q³⁵ - 99q³⁶ - 73q³⁷ + 8q³⁸ + 81q³⁹ + 86q⁴⁰ + 28q⁴¹ - 48q⁴² - 78q⁴³ - 47q⁴⁴ + 16q⁴⁵ + 60q⁴⁶ + 50q⁴⁷ + 2q⁴⁸ - 34q⁴⁹ - 44q⁵⁰ - 16q⁵¹ + 21q⁵² + 31q⁵³ + 13q⁵⁴ - q⁵⁵ - 20q⁵⁶ - 19q⁵⁷ + 2q⁵⁸ + 12q⁵⁹ + 7q⁶⁰ + 6q⁶¹ - 2q⁶² - 11q⁶³ - 3q⁶⁴ + 4q⁶⁵ + 3q⁶⁷ + 3q⁶⁸ - 3q⁶⁹ - 2q⁷⁰ + q⁷¹ - q⁷² + 2q⁷⁴ - q⁷⁵

6 q^-105 - 2q^-104 + q^-102 - q^-101 + 2q^-100 + 5q^-98 - 7q^-97 - 3q^-96 + 2q^-95 - 5q^-94 + 5q^-93 + 4q^-92 + 17q^-91 - 14q^-90 - 9q^-89 - 16q^-87 + 6q^-86 + 10q^-85 + 41q^-84 - 17q^-83 - 17q^-82 - 4q^-81 - 36q^-80 - q^-79 + 16q^-78 + 80q^-77 - 10q^-76 - 23q^-75 - 13q^-74 - 71q^-73 - 26q^-72 + 14q^-71 + 139q^-70 + 24q^-69 - 9q^-68 - 14q^-67 - 124q^-66 - 91q^-65 - 30q^-64 + 186q^-63 + 75q^-62 + 53q^-61 + 52q^-60 - 132q^-59 - 165q^-58 - 143q^-57 + 138q^-56 + 37q^-55 + 95q^-54 + 195q^-53 + 11q^-52 - 92q^-51 - 200q^-50 + 16q^-49 - 207q^-48 - 82q^-47 + 223q^-46 + 231q^-45 + 230q^-44 + 36q^-43 + 81q^-42 - 516q^-41 - 549q^-40 - 122q^-39 + 215q^-38 + 591q^-37 + 584q^-36 + 575q^-35 - 538q^-34 - 1032q^-33 - 798q^-32 - 240q^-31 + 638q^-30 + 1130q^-29 + 1376q^-28 - 136q^-27 - 1204q^-26 - 1453q^-25 - 940q^-24 + 308q^-23 + 1382q^-22 + 2104q^-21 + 446q^-20 - 1054q^-19 - 1817q^-18 - 1520q^-17 - 138q^-16 + 1355q^-15 + 2521q^-14 + 887q^-13 - 815q^-12 - 1917q^-11 - 1810q^-10 - 445q^-9 + 1242q^-8 + 2670q^-7 + 1089q^-6 - 659q^-5 - 1912q^-4 - 1893q^-3 - 579q^-2 + 1163q^-1 + 2699 + 1163q - 579q² - 1893q³ - 1912q⁴ - 659q⁵ + 1089q⁶ + 2670q⁷ + 1242q⁸ - 445q⁹ - 1810q¹⁰ - 1917q¹¹ - 815q¹² + 887q¹³ + 2521q¹⁴ + 1355q¹⁵ - 138q¹⁶ - 1520q¹⁷ - 1817q¹⁸ - 1054q¹⁹ + 446q²⁰ + 2104q²¹ + 1382q²² + 308q²³ - 940q²⁴ - 1453q²⁵ - 1204q²⁶ - 136q²⁷ + 1376q²⁸ + 1130q²⁹ + 638q³⁰ - 240q³¹ - 798q³² - 1032q³³ - 538q³⁴ + 575q³⁵ + 584q³⁶ + 591q³⁷ + 215q³⁸ - 122q³⁹ - 549q⁴⁰ - 516q⁴¹ + 81q⁴² + 36q⁴³ + 230q⁴⁴ + 231q⁴⁵ + 223q⁴⁶ - 82q⁴⁷ - 207q⁴⁸ + 16q⁴⁹ - 200q⁵⁰ - 92q⁵¹ + 11q⁵² + 195q⁵³ + 95q⁵⁴ + 37q⁵⁵ + 138q⁵⁶ - 143q⁵⁷ - 165q⁵⁸ - 132q⁵⁹ + 52q⁶⁰ + 53q⁶¹ + 75q⁶² + 186q⁶³ - 30q⁶⁴ - 91q⁶⁵ - 124q⁶⁶ - 14q⁶⁷ - 9q⁶⁸ + 24q⁶⁹ + 139q⁷⁰ + 14q⁷¹ - 26q⁷² - 71q⁷³ - 13q⁷⁴ - 23q⁷⁵ - 10q⁷⁶ + 80q⁷⁷ + 16q⁷⁸ - q⁷⁹ - 36q⁸⁰ - 4q⁸¹ - 17q⁸² - 17q⁸³ + 41q⁸⁴ + 10q⁸⁵ + 6q⁸⁶ - 16q⁸⁷ - 9q⁸⁹ - 14q⁹⁰ + 17q⁹¹ + 4q⁹² + 5q⁹³ - 5q⁹⁴ + 2q⁹⁵ - 3q⁹⁶ - 7q⁹⁷ + 5q⁹⁸ + 2q¹⁰⁰ - q¹⁰¹ + q¹⁰² - 2q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵

7 - q^-140 + 2q^-139 - q^-137 + q^-136 - 2q^-135 - 2q^-133 - q^-132 + 7q^-131 + q^-130 - q^-129 + 4q^-128 - 7q^-127 - 3q^-126 - 6q^-125 - 7q^-124 + 17q^-123 + 6q^-122 + q^-121 + 10q^-120 - 12q^-119 - 5q^-118 - 13q^-117 - 21q^-116 + 27q^-115 + 14q^-114 + 3q^-113 + 18q^-112 - 25q^-111 - 4q^-110 - 13q^-109 - 36q^-108 + 42q^-107 + 30q^-106 + 15q^-105 + 19q^-104 - 62q^-103 - 27q^-102 - 23q^-101 - 51q^-100 + 77q^-99 + 79q^-98 + 71q^-97 + 55q^-96 - 115q^-95 - 103q^-94 - 105q^-93 - 121q^-92 + 93q^-91 + 150q^-90 + 198q^-89 + 198q^-88 - 76q^-87 - 156q^-86 - 240q^-85 - 305q^-84 - 14q^-83 + 106q^-82 + 267q^-81 + 397q^-80 + 112q^-79 - 8q^-78 - 206q^-77 - 410q^-76 - 176q^-75 - 131q^-74 + 48q^-73 + 314q^-72 + 150q^-71 + 217q^-70 + 142q^-69 - 88q^-68 + 62q^-67 - 160q^-66 - 289q^-65 - 216q^-64 - 460q^-63 - 125q^-62 + 261q^-61 + 477q^-60 + 972q^-59 + 675q^-58 + 78q^-57 - 529q^-56 - 1512q^-55 - 1450q^-54 - 731q^-53 + 277q^-52 + 1846q^-51 + 2262q^-50 + 1710q^-49 + 431q^-48 - 1878q^-47 - 3034q^-46 - 2852q^-45 - 1435q^-44 + 1503q^-43 + 3470q^-42 + 3975q^-41 + 2772q^-40 - 718q^-39 - 3639q^-38 - 4963q^-37 - 4104q^-36 - 306q^-35 + 3382q^-34 + 5632q^-33 + 5408q^-32 + 1485q^-31 - 2907q^-30 - 6028q^-29 - 6446q^-28 - 2598q^-27 + 2259q^-26 + 6138q^-25 + 7228q^-24 + 3551q^-23 - 1610q^-22 - 6059q^-21 - 7728q^-20 - 4287q^-19 + 1035q^-18 + 5906q^-17 + 8021q^-16 + 4764q^-15 - 614q^-14 - 5710q^-13 - 8128q^-12 - 5079q^-11 + 298q^-10 + 5565q^-9 + 8205q^-8 + 5231q^-7 - 162q^-6 - 5447q^-5 - 8167q^-4 - 5321q^-3 + 13q^-2 + 5376q^-1 + 8221 + 5376q + 13q² - 5321q³ - 8167q⁴ - 5447q⁵ - 162q⁶ + 5231q⁷ + 8205q⁸ + 5565q⁹ + 298q¹⁰ - 5079q¹¹ - 8128q¹² - 5710q¹³ - 614q¹⁴ + 4764q¹⁵ + 8021q¹⁶ + 5906q¹⁷ + 1035q¹⁸ - 4287q¹⁹ - 7728q²⁰ - 6059q²¹ - 1610q²² + 3551q²³ + 7228q²⁴ + 6138q²⁵ + 2259q²⁶ - 2598q²⁷ - 6446q²⁸ - 6028q²⁹ - 2907q³⁰ + 1485q³¹ + 5408q³² + 5632q³³ + 3382q³⁴ - 306q³⁵ - 4104q³⁶ - 4963q³⁷ - 3639q³⁸ - 718q³⁹ + 2772q⁴⁰ + 3975q⁴¹ + 3470q⁴² + 1503q⁴³ - 1435q⁴⁴ - 2852q⁴⁵ - 3034q⁴⁶ - 1878q⁴⁷ + 431q⁴⁸ + 1710q⁴⁹ + 2262q⁵⁰ + 1846q⁵¹ + 277q⁵² - 731q⁵³ - 1450q⁵⁴ - 1512q⁵⁵ - 529q⁵⁶ + 78q⁵⁷ + 675q⁵⁸ + 972q⁵⁹ + 477q⁶⁰ + 261q⁶¹ - 125q⁶² - 460q⁶³ - 216q⁶⁴ - 289q⁶⁵ - 160q⁶⁶ + 62q⁶⁷ - 88q⁶⁸ + 142q⁶⁹ + 217q⁷⁰ + 150q⁷¹ + 314q⁷² + 48q⁷³ - 131q⁷⁴ - 176q⁷⁵ - 410q⁷⁶ - 206q⁷⁷ - 8q⁷⁸ + 112q⁷⁹ + 397q⁸⁰ + 267q⁸¹ + 106q⁸² - 14q⁸³ - 305q⁸⁴ - 240q⁸⁵ - 156q⁸⁶ - 76q⁸⁷ + 198q⁸⁸ + 198q⁸⁹ + 150q⁹⁰ + 93q⁹¹ - 121q⁹² - 105q⁹³ - 103q⁹⁴ - 115q⁹⁵ + 55q⁹⁶ + 71q⁹⁷ + 79q⁹⁸ + 77q⁹⁹ - 51q¹⁰⁰ - 23q¹⁰¹ - 27q¹⁰² - 62q¹⁰³ + 19q¹⁰⁴ + 15q¹⁰⁵ + 30q¹⁰⁶ + 42q¹⁰⁷ - 36q¹⁰⁸ - 13q¹⁰⁹ - 4q¹¹⁰ - 25q¹¹¹ + 18q¹¹² + 3q¹¹³ + 14q¹¹⁴ + 27q¹¹⁵ - 21q¹¹⁶ - 13q¹¹⁷ - 5q¹¹⁸ - 12q¹¹⁹ + 10q¹²⁰ + q¹²¹ + 6q¹²² + 17q¹²³ - 7q¹²⁴ - 6q¹²⁵ - 3q¹²⁶ - 7q¹²⁷ + 4q¹²⁸ - q¹²⁹ + q¹³⁰ + 7q¹³¹ - q¹³² - 2q¹³³ - 2q¹³⁵ + q¹³⁶ - q¹³⁷ + 2q¹³⁹ - q¹⁴⁰

Computer Talk. The data above can be recomputed by Mathematica using the package KnotTheory`. Following setup, the sample Mathematica session below reproduces most of the above data (Mathematica system prompts in blue, human input in red, Mathematica output in black):

In[1]:=

<< KnotTheory`

Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...

In[2]:=
PD[Knot[10, 17]]

Out[2]=
PD[X[6, 2, 7, 1], X[12, 4, 13, 3], X[20, 15, 1, 16], X[16, 7, 17, 8], > X[18, 9, 19, 10], X[8, 17, 9, 18], X[10, 19, 11, 20], X[14, 6, 15, 5], > X[2, 12, 3, 11], X[4, 14, 5, 13]]

In[3]:=
GaussCode[Knot[10, 17]]

Out[3]=
GaussCode[1, -9, 2, -10, 8, -1, 4, -6, 5, -7, 9, -2, 10, -8, 3, -4, 6, -5, 7, > -3]

In[4]:=
DTCode[Knot[10, 17]]

Out[4]=
DTCode[6, 12, 14, 16, 18, 2, 4, 20, 8, 10]

In[5]:=
br = BR[Knot[10, 17]]

Out[5]=
BR[3, {-1, -1, -1, -1, 2, -1, 2, 2, 2, 2}]

In[6]:=
{First[br], Crossings[br]}

Out[6]=
{3, 10}

In[7]:=
BraidIndex[Knot[10, 17]]

Out[7]=
3

In[8]:=
Show[DrawMorseLink[Knot[10, 17]]]

Out[8]=
-Graphics-

In[9]:=
#[Knot[10, 17]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}

Out[9]=
{FullyAmphicheiral, 1, 4, 2, NotAvailable, 1}

In[10]:=
alex = Alexander[Knot[10, 17]][t]

Out[10]=
-4 3 5 7 2 3 4 9 + t - -- + -- - - - 7 t + 5 t - 3 t + t 3 2 t t t

In[11]:=
Conway[Knot[10, 17]][z]

Out[11]=
2 4 6 8 1 + 2 z + 7 z + 5 z + z

In[12]:=
Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]

Out[12]=
{Knot[10, 17]}

In[13]:=
{KnotDet[Knot[10, 17]], KnotSignature[Knot[10, 17]]}

Out[13]=
{41, 0}

In[14]:=
Jones[Knot[10, 17]][q]

Out[14]=
-5 2 3 5 6 2 3 4 5 7 - q + -- - -- + -- - - - 6 q + 5 q - 3 q + 2 q - q 4 3 2 q q q q

In[15]:=
Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] || (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]

Out[15]=
{Knot[10, 17]}

In[16]:=
A2Invariant[Knot[10, 17]][q]

Out[16]=
-14 -10 -8 -6 2 2 6 8 10 14 -1 - q - q + q + q + -- + 2 q + q + q - q - q 2 q

In[17]:=
HOMFLYPT[Knot[10, 17]][a, z]

Out[17]=
2 4 6 2 2 2 7 z 2 2 4 5 z 2 4 6 z 5 - -- - 2 a + 16 z - ---- - 7 a z + 17 z - ---- - 5 a z + 7 z - -- - 2 2 2 2 a a a a 2 6 8 > a z + z

In[18]:=
Kauffman[Knot[10, 17]][a, z]

Out[18]=
2 2 2 2 z 3 z 5 2 3 z 8 z 2 2 5 + -- + 2 a + -- - --- - 3 a z + a z - 22 z + ---- - ---- - 8 a z + 2 5 a 4 2 a a a a 3 3 3 4 4 2 3 z 2 z 6 z 3 3 3 5 3 4 6 z > 3 a z - ---- + ---- + ---- + 6 a z + 2 a z - 3 a z + 34 z - ---- + 5 3 a 4 a a a 4 5 5 6 11 z 2 4 4 4 z 5 z 3 5 5 5 6 2 z > ----- + 11 a z - 6 a z + -- - ---- - 5 a z + a z - 18 z + ---- - 2 5 3 4 a a a a 6 7 7 8 7 z 2 6 4 6 2 z 2 z 7 3 7 8 2 z > ---- - 7 a z + 2 a z + ---- - ---- - 2 a z + 2 a z + 4 z + ---- + 2 3 a 2 a a a 9 2 8 z 9 > 2 a z + -- + a z a

In[19]:=
{Vassiliev[2][Knot[10, 17]], Vassiliev[3][Knot[10, 17]]}

Out[19]=
{2, 0}

In[20]:=
Kh[Knot[10, 17]][q, t]

Out[20]=
4 1 1 1 2 1 3 2 3 3 - + 4 q + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + q 11 5 9 4 7 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t q t q t 3 3 2 5 2 5 3 7 3 7 4 9 4 > 3 q t + 3 q t + 2 q t + 3 q t + q t + 2 q t + q t + q t + 11 5 > q t

In[21]:=
ColouredJones[Knot[10, 17], 2][q]

Out[21]=
-15 2 4 6 10 11 3 20 16 10 30 18 16 35 + q - --- + --- - --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - -- - 14 12 11 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q q 2 3 4 5 6 7 8 9 > 16 q - 18 q + 30 q - 10 q - 16 q + 20 q - 3 q - 11 q + 10 q - 11 12 14 15 > 6 q + 4 q - 2 q + q

Dror Bar-Natan: The Knot Atlas: The Rolfsen Knot Table: The Knot 10₁₇

10₁₆
10₁₈

n	Coloured Jones Polynomial (in the (n+1)-dimensional representation of sl(2))
2	q^-15 - 2q^-14 + 4q^-12 - 6q^-11 + 10q^-9 - 11q^-8 - 3q^-7 + 20q^-6 - 16q^-5 - 10q^-4 + 30q^-3 - 18q^-2 - 16q^-1 + 35 - 16q - 18q² + 30q³ - 10q⁴ - 16q⁵ + 20q⁶ - 3q⁷ - 11q⁸ + 10q⁹ - 6q¹¹ + 4q¹² - 2q¹⁴ + q¹⁵
3	- q^-30 + 2q^-29 - q^-27 - 2q^-26 + 3q^-25 + q^-24 - 3q^-23 - 2q^-22 + 6q^-21 - 8q^-19 - q^-18 + 12q^-17 + 4q^-16 - 18q^-15 - 7q^-14 + 19q^-13 + 19q^-12 - 24q^-11 - 25q^-10 + 18q^-9 + 40q^-8 - 18q^-7 - 46q^-6 + 10q^-5 + 56q^-4 - 8q^-3 - 57q^-2 + 63 - 57q² - 8q³ + 56q⁴ + 10q⁵ - 46q⁶ - 18q⁷ + 40q⁸ + 18q⁹ - 25q¹⁰ - 24q¹¹ + 19q¹² + 19q¹³ - 7q¹⁴ - 18q¹⁵ + 4q¹⁶ + 12q¹⁷ - q¹⁸ - 8q¹⁹ + 6q²¹ - 2q²² - 3q²³ + q²⁴ + 3q²⁵ - 2q²⁶ - q²⁷ + 2q²⁹ - q³⁰
4	q^-50 - 2q^-49 + q^-47 - q^-46 + 5q^-45 - 5q^-44 + q^-43 - 7q^-41 + 13q^-40 - 7q^-39 + 6q^-38 + 2q^-37 - 22q^-36 + 16q^-35 - 11q^-34 + 21q^-33 + 15q^-32 - 40q^-31 + 10q^-30 - 31q^-29 + 36q^-28 + 44q^-27 - 40q^-26 + 10q^-25 - 72q^-24 + 26q^-23 + 66q^-22 - 17q^-21 + 47q^-20 - 110q^-19 - 15q^-18 + 52q^-17 + 2q^-16 + 120q^-15 - 113q^-14 - 57q^-13 + 4q^-12 - 6q^-11 + 194q^-10 - 90q^-9 - 77q^-8 - 42q^-7 - 30q^-6 + 237q^-5 - 66q^-4 - 76q^-3 - 67q^-2 - 50q^-1 + 251 - 50q - 67q² - 76q³ - 66q⁴ + 237q⁵ - 30q⁶ - 42q⁷ - 77q⁸ - 90q⁹ + 194q¹⁰ - 6q¹¹ + 4q¹² - 57q¹³ - 113q¹⁴ + 120q¹⁵ + 2q¹⁶ + 52q¹⁷ - 15q¹⁸ - 110q¹⁹ + 47q²⁰ - 17q²¹ + 66q²² + 26q²³ - 72q²⁴ + 10q²⁵ - 40q²⁶ + 44q²⁷ + 36q²⁸ - 31q²⁹ + 10q³⁰ - 40q³¹ + 15q³² + 21q³³ - 11q³⁴ + 16q³⁵ - 22q³⁶ + 2q³⁷ + 6q³⁸ - 7q³⁹ + 13q⁴⁰ - 7q⁴¹ + q⁴³ - 5q⁴⁴ + 5q⁴⁵ - q⁴⁶ + q⁴⁷ - 2q⁴⁹ + q⁵⁰
5	- q^-75 + 2q^-74 - q^-72 + q^-71 - 2q^-70 - 3q^-69 + 3q^-68 + 3q^-67 + 4q^-65 - 3q^-64 - 11q^-63 - 2q^-62 + 6q^-61 + 7q^-60 + 12q^-59 + 2q^-58 - 19q^-57 - 20q^-56 - q^-55 + 13q^-54 + 31q^-53 + 21q^-52 - 16q^-51 - 44q^-50 - 34q^-49 + 2q^-48 + 50q^-47 + 60q^-46 + 16q^-45 - 47q^-44 - 78q^-43 - 48q^-42 + 28q^-41 + 86q^-40 + 81q^-39 + 8q^-38 - 73q^-37 - 99q^-36 - 63q^-35 + 30q^-34 + 108q^-33 + 106q^-32 + 34q^-31 - 61q^-30 - 151q^-29 - 125q^-28 + 13q^-27 + 148q^-26 + 196q^-25 + 104q^-24 - 130q^-23 - 279q^-22 - 189q^-21 + 66q^-20 + 309q^-19 + 315q^-18 + q^-17 - 340q^-16 - 387q^-15 - 85q^-14 + 331q^-13 + 468q^-12 + 144q^-11 - 323q^-10 - 495q^-9 - 207q^-8 + 301q^-7 + 535q^-6 + 231q^-5 - 292q^-4 - 526q^-3 - 264q^-2 + 267q^-1 + 553 + 267q - 264q² - 526q³ - 292q⁴ + 231q⁵ + 535q⁶ + 301q⁷ - 207q⁸ - 495q⁹ - 323q¹⁰ + 144q¹¹ + 468q¹² + 331q¹³ - 85q¹⁴ - 387q¹⁵ - 340q¹⁶ + q¹⁷ + 315q¹⁸ + 309q¹⁹ + 66q²⁰ - 189q²¹ - 279q²² - 130q²³ + 104q²⁴ + 196q²⁵ + 148q²⁶ + 13q²⁷ - 125q²⁸ - 151q²⁹ - 61q³⁰ + 34q³¹ + 106q³² + 108q³³ + 30q³⁴ - 63q³⁵ - 99q³⁶ - 73q³⁷ + 8q³⁸ + 81q³⁹ + 86q⁴⁰ + 28q⁴¹ - 48q⁴² - 78q⁴³ - 47q⁴⁴ + 16q⁴⁵ + 60q⁴⁶ + 50q⁴⁷ + 2q⁴⁸ - 34q⁴⁹ - 44q⁵⁰ - 16q⁵¹ + 21q⁵² + 31q⁵³ + 13q⁵⁴ - q⁵⁵ - 20q⁵⁶ - 19q⁵⁷ + 2q⁵⁸ + 12q⁵⁹ + 7q⁶⁰ + 6q⁶¹ - 2q⁶² - 11q⁶³ - 3q⁶⁴ + 4q⁶⁵ + 3q⁶⁷ + 3q⁶⁸ - 3q⁶⁹ - 2q⁷⁰ + q⁷¹ - q⁷² + 2q⁷⁴ - q⁷⁵
6	q^-105 - 2q^-104 + q^-102 - q^-101 + 2q^-100 + 5q^-98 - 7q^-97 - 3q^-96 + 2q^-95 - 5q^-94 + 5q^-93 + 4q^-92 + 17q^-91 - 14q^-90 - 9q^-89 - 16q^-87 + 6q^-86 + 10q^-85 + 41q^-84 - 17q^-83 - 17q^-82 - 4q^-81 - 36q^-80 - q^-79 + 16q^-78 + 80q^-77 - 10q^-76 - 23q^-75 - 13q^-74 - 71q^-73 - 26q^-72 + 14q^-71 + 139q^-70 + 24q^-69 - 9q^-68 - 14q^-67 - 124q^-66 - 91q^-65 - 30q^-64 + 186q^-63 + 75q^-62 + 53q^-61 + 52q^-60 - 132q^-59 - 165q^-58 - 143q^-57 + 138q^-56 + 37q^-55 + 95q^-54 + 195q^-53 + 11q^-52 - 92q^-51 - 200q^-50 + 16q^-49 - 207q^-48 - 82q^-47 + 223q^-46 + 231q^-45 + 230q^-44 + 36q^-43 + 81q^-42 - 516q^-41 - 549q^-40 - 122q^-39 + 215q^-38 + 591q^-37 + 584q^-36 + 575q^-35 - 538q^-34 - 1032q^-33 - 798q^-32 - 240q^-31 + 638q^-30 + 1130q^-29 + 1376q^-28 - 136q^-27 - 1204q^-26 - 1453q^-25 - 940q^-24 + 308q^-23 + 1382q^-22 + 2104q^-21 + 446q^-20 - 1054q^-19 - 1817q^-18 - 1520q^-17 - 138q^-16 + 1355q^-15 + 2521q^-14 + 887q^-13 - 815q^-12 - 1917q^-11 - 1810q^-10 - 445q^-9 + 1242q^-8 + 2670q^-7 + 1089q^-6 - 659q^-5 - 1912q^-4 - 1893q^-3 - 579q^-2 + 1163q^-1 + 2699 + 1163q - 579q² - 1893q³ - 1912q⁴ - 659q⁵ + 1089q⁶ + 2670q⁷ + 1242q⁸ - 445q⁹ - 1810q¹⁰ - 1917q¹¹ - 815q¹² + 887q¹³ + 2521q¹⁴ + 1355q¹⁵ - 138q¹⁶ - 1520q¹⁷ - 1817q¹⁸ - 1054q¹⁹ + 446q²⁰ + 2104q²¹ + 1382q²² + 308q²³ - 940q²⁴ - 1453q²⁵ - 1204q²⁶ - 136q²⁷ + 1376q²⁸ + 1130q²⁹ + 638q³⁰ - 240q³¹ - 798q³² - 1032q³³ - 538q³⁴ + 575q³⁵ + 584q³⁶ + 591q³⁷ + 215q³⁸ - 122q³⁹ - 549q⁴⁰ - 516q⁴¹ + 81q⁴² + 36q⁴³ + 230q⁴⁴ + 231q⁴⁵ + 223q⁴⁶ - 82q⁴⁷ - 207q⁴⁸ + 16q⁴⁹ - 200q⁵⁰ - 92q⁵¹ + 11q⁵² + 195q⁵³ + 95q⁵⁴ + 37q⁵⁵ + 138q⁵⁶ - 143q⁵⁷ - 165q⁵⁸ - 132q⁵⁹ + 52q⁶⁰ + 53q⁶¹ + 75q⁶² + 186q⁶³ - 30q⁶⁴ - 91q⁶⁵ - 124q⁶⁶ - 14q⁶⁷ - 9q⁶⁸ + 24q⁶⁹ + 139q⁷⁰ + 14q⁷¹ - 26q⁷² - 71q⁷³ - 13q⁷⁴ - 23q⁷⁵ - 10q⁷⁶ + 80q⁷⁷ + 16q⁷⁸ - q⁷⁹ - 36q⁸⁰ - 4q⁸¹ - 17q⁸² - 17q⁸³ + 41q⁸⁴ + 10q⁸⁵ + 6q⁸⁶ - 16q⁸⁷ - 9q⁸⁹ - 14q⁹⁰ + 17q⁹¹ + 4q⁹² + 5q⁹³ - 5q⁹⁴ + 2q⁹⁵ - 3q⁹⁶ - 7q⁹⁷ + 5q⁹⁸ + 2q¹⁰⁰ - q¹⁰¹ + q¹⁰² - 2q¹⁰⁴ + q¹⁰⁵
7	- q^-140 + 2q^-139 - q^-137 + q^-136 - 2q^-135 - 2q^-133 - q^-132 + 7q^-131 + q^-130 - q^-129 + 4q^-128 - 7q^-127 - 3q^-126 - 6q^-125 - 7q^-124 + 17q^-123 + 6q^-122 + q^-121 + 10q^-120 - 12q^-119 - 5q^-118 - 13q^-117 - 21q^-116 + 27q^-115 + 14q^-114 + 3q^-113 + 18q^-112 - 25q^-111 - 4q^-110 - 13q^-109 - 36q^-108 + 42q^-107 + 30q^-106 + 15q^-105 + 19q^-104 - 62q^-103 - 27q^-102 - 23q^-101 - 51q^-100 + 77q^-99 + 79q^-98 + 71q^-97 + 55q^-96 - 115q^-95 - 103q^-94 - 105q^-93 - 121q^-92 + 93q^-91 + 150q^-90 + 198q^-89 + 198q^-88 - 76q^-87 - 156q^-86 - 240q^-85 - 305q^-84 - 14q^-83 + 106q^-82 + 267q^-81 + 397q^-80 + 112q^-79 - 8q^-78 - 206q^-77 - 410q^-76 - 176q^-75 - 131q^-74 + 48q^-73 + 314q^-72 + 150q^-71 + 217q^-70 + 142q^-69 - 88q^-68 + 62q^-67 - 160q^-66 - 289q^-65 - 216q^-64 - 460q^-63 - 125q^-62 + 261q^-61 + 477q^-60 + 972q^-59 + 675q^-58 + 78q^-57 - 529q^-56 - 1512q^-55 - 1450q^-54 - 731q^-53 + 277q^-52 + 1846q^-51 + 2262q^-50 + 1710q^-49 + 431q^-48 - 1878q^-47 - 3034q^-46 - 2852q^-45 - 1435q^-44 + 1503q^-43 + 3470q^-42 + 3975q^-41 + 2772q^-40 - 718q^-39 - 3639q^-38 - 4963q^-37 - 4104q^-36 - 306q^-35 + 3382q^-34 + 5632q^-33 + 5408q^-32 + 1485q^-31 - 2907q^-30 - 6028q^-29 - 6446q^-28 - 2598q^-27 + 2259q^-26 + 6138q^-25 + 7228q^-24 + 3551q^-23 - 1610q^-22 - 6059q^-21 - 7728q^-20 - 4287q^-19 + 1035q^-18 + 5906q^-17 + 8021q^-16 + 4764q^-15 - 614q^-14 - 5710q^-13 - 8128q^-12 - 5079q^-11 + 298q^-10 + 5565q^-9 + 8205q^-8 + 5231q^-7 - 162q^-6 - 5447q^-5 - 8167q^-4 - 5321q^-3 + 13q^-2 + 5376q^-1 + 8221 + 5376q + 13q² - 5321q³ - 8167q⁴ - 5447q⁵ - 162q⁶ + 5231q⁷ + 8205q⁸ + 5565q⁹ + 298q¹⁰ - 5079q¹¹ - 8128q¹² - 5710q¹³ - 614q¹⁴ + 4764q¹⁵ + 8021q¹⁶ + 5906q¹⁷ + 1035q¹⁸ - 4287q¹⁹ - 7728q²⁰ - 6059q²¹ - 1610q²² + 3551q²³ + 7228q²⁴ + 6138q²⁵ + 2259q²⁶ - 2598q²⁷ - 6446q²⁸ - 6028q²⁹ - 2907q³⁰ + 1485q³¹ + 5408q³² + 5632q³³ + 3382q³⁴ - 306q³⁵ - 4104q³⁶ - 4963q³⁷ - 3639q³⁸ - 718q³⁹ + 2772q⁴⁰ + 3975q⁴¹ + 3470q⁴² + 1503q⁴³ - 1435q⁴⁴ - 2852q⁴⁵ - 3034q⁴⁶ - 1878q⁴⁷ + 431q⁴⁸ + 1710q⁴⁹ + 2262q⁵⁰ + 1846q⁵¹ + 277q⁵² - 731q⁵³ - 1450q⁵⁴ - 1512q⁵⁵ - 529q⁵⁶ + 78q⁵⁷ + 675q⁵⁸ + 972q⁵⁹ + 477q⁶⁰ + 261q⁶¹ - 125q⁶² - 460q⁶³ - 216q⁶⁴ - 289q⁶⁵ - 160q⁶⁶ + 62q⁶⁷ - 88q⁶⁸ + 142q⁶⁹ + 217q⁷⁰ + 150q⁷¹ + 314q⁷² + 48q⁷³ - 131q⁷⁴ - 176q⁷⁵ - 410q⁷⁶ - 206q⁷⁷ - 8q⁷⁸ + 112q⁷⁹ + 397q⁸⁰ + 267q⁸¹ + 106q⁸² - 14q⁸³ - 305q⁸⁴ - 240q⁸⁵ - 156q⁸⁶ - 76q⁸⁷ + 198q⁸⁸ + 198q⁸⁹ + 150q⁹⁰ + 93q⁹¹ - 121q⁹² - 105q⁹³ - 103q⁹⁴ - 115q⁹⁵ + 55q⁹⁶ + 71q⁹⁷ + 79q⁹⁸ + 77q⁹⁹ - 51q¹⁰⁰ - 23q¹⁰¹ - 27q¹⁰² - 62q¹⁰³ + 19q¹⁰⁴ + 15q¹⁰⁵ + 30q¹⁰⁶ + 42q¹⁰⁷ - 36q¹⁰⁸ - 13q¹⁰⁹ - 4q¹¹⁰ - 25q¹¹¹ + 18q¹¹² + 3q¹¹³ + 14q¹¹⁴ + 27q¹¹⁵ - 21q¹¹⁶ - 13q¹¹⁷ - 5q¹¹⁸ - 12q¹¹⁹ + 10q¹²⁰ + q¹²¹ + 6q¹²² + 17q¹²³ - 7q¹²⁴ - 6q¹²⁵ - 3q¹²⁶ - 7q¹²⁷ + 4q¹²⁸ - q¹²⁹ + q¹³⁰ + 7q¹³¹ - q¹³² - 2q¹³³ - 2q¹³⁵ + q¹³⁶ - q¹³⁷ + 2q¹³⁹ - q¹⁴⁰

In[1]:=	<< KnotTheory`
Loading KnotTheory` (version of August 30, 2005, 10:15:35)...
In[2]:=	PD[Knot[10, 17]]
Out[2]=	PD[X[6, 2, 7, 1], X[12, 4, 13, 3], X[20, 15, 1, 16], X[16, 7, 17, 8], > X[18, 9, 19, 10], X[8, 17, 9, 18], X[10, 19, 11, 20], X[14, 6, 15, 5], > X[2, 12, 3, 11], X[4, 14, 5, 13]]
In[3]:=	GaussCode[Knot[10, 17]]
Out[3]=	GaussCode[1, -9, 2, -10, 8, -1, 4, -6, 5, -7, 9, -2, 10, -8, 3, -4, 6, -5, 7, > -3]
In[4]:=	DTCode[Knot[10, 17]]
Out[4]=	DTCode[6, 12, 14, 16, 18, 2, 4, 20, 8, 10]
In[5]:=	br = BR[Knot[10, 17]]
Out[5]=	BR[3, {-1, -1, -1, -1, 2, -1, 2, 2, 2, 2}]
In[6]:=	{First[br], Crossings[br]}
Out[6]=	{3, 10}
In[7]:=	BraidIndex[Knot[10, 17]]
Out[7]=	3
In[8]:=	Show[DrawMorseLink[Knot[10, 17]]]

Out[8]=	-Graphics-
In[9]:=	#[Knot[10, 17]]& /@ {SymmetryType, UnknottingNumber, ThreeGenus, BridgeIndex, SuperBridgeIndex, NakanishiIndex}
Out[9]=	{FullyAmphicheiral, 1, 4, 2, NotAvailable, 1}
In[10]:=	alex = Alexander[Knot[10, 17]][t]
Out[10]=	-4 3 5 7 2 3 4 9 + t - -- + -- - - - 7 t + 5 t - 3 t + t 3 2 t t t
In[11]:=	Conway[Knot[10, 17]][z]
Out[11]=	2 4 6 8 1 + 2 z + 7 z + 5 z + z
In[12]:=	Select[AllKnots[], (alex === Alexander[#][t])&]
Out[12]=	{Knot[10, 17]}
In[13]:=	{KnotDet[Knot[10, 17]], KnotSignature[Knot[10, 17]]}
Out[13]=	{41, 0}
In[14]:=	Jones[Knot[10, 17]][q]
Out[14]=	-5 2 3 5 6 2 3 4 5 7 - q + -- - -- + -- - - - 6 q + 5 q - 3 q + 2 q - q 4 3 2 q q q q
In[15]:=	Select[AllKnots[], (J === Jones[#][q] \|\| (J /. q-> 1/q) === Jones[#][q])&]
Out[15]=	{Knot[10, 17]}
In[16]:=	A2Invariant[Knot[10, 17]][q]
Out[16]=	-14 -10 -8 -6 2 2 6 8 10 14 -1 - q - q + q + q + -- + 2 q + q + q - q - q 2 q
In[17]:=	HOMFLYPT[Knot[10, 17]][a, z]
Out[17]=	2 4 6 2 2 2 7 z 2 2 4 5 z 2 4 6 z 5 - -- - 2 a + 16 z - ---- - 7 a z + 17 z - ---- - 5 a z + 7 z - -- - 2 2 2 2 a a a a 2 6 8 > a z + z
In[18]:=	Kauffman[Knot[10, 17]][a, z]
Out[18]=	2 2 2 2 z 3 z 5 2 3 z 8 z 2 2 5 + -- + 2 a + -- - --- - 3 a z + a z - 22 z + ---- - ---- - 8 a z + 2 5 a 4 2 a a a a 3 3 3 4 4 2 3 z 2 z 6 z 3 3 3 5 3 4 6 z > 3 a z - ---- + ---- + ---- + 6 a z + 2 a z - 3 a z + 34 z - ---- + 5 3 a 4 a a a 4 5 5 6 11 z 2 4 4 4 z 5 z 3 5 5 5 6 2 z > ----- + 11 a z - 6 a z + -- - ---- - 5 a z + a z - 18 z + ---- - 2 5 3 4 a a a a 6 7 7 8 7 z 2 6 4 6 2 z 2 z 7 3 7 8 2 z > ---- - 7 a z + 2 a z + ---- - ---- - 2 a z + 2 a z + 4 z + ---- + 2 3 a 2 a a a 9 2 8 z 9 > 2 a z + -- + a z a
In[19]:=	{Vassiliev[2][Knot[10, 17]], Vassiliev[3][Knot[10, 17]]}
Out[19]=	{2, 0}
In[20]:=	Kh[Knot[10, 17]][q, t]
Out[20]=	4 1 1 1 2 1 3 2 3 3 - + 4 q + ------ + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ----- + ---- + --- + q 11 5 9 4 7 4 7 3 5 3 5 2 3 2 3 q t q t q t q t q t q t q t q t q t 3 3 2 5 2 5 3 7 3 7 4 9 4 > 3 q t + 3 q t + 2 q t + 3 q t + q t + 2 q t + q t + q t + 11 5 > q t
In[21]:=	ColouredJones[Knot[10, 17], 2][q]
Out[21]=	-15 2 4 6 10 11 3 20 16 10 30 18 16 35 + q - --- + --- - --- + -- - -- - -- + -- - -- - -- + -- - -- - -- - 14 12 11 9 8 7 6 5 4 3 2 q q q q q q q q q q q q 2 3 4 5 6 7 8 9 > 16 q - 18 q + 30 q - 10 q - 16 q + 20 q - 3 q - 11 q + 10 q - 11 12 14 15 > 6 q + 4 q - 2 q + q

The Alternating Knot 1017

The Alternating Knot 10₁₇