Khovanov - Rozansky Homology
very partially explained
by Dror Bar - Natan in Oporto,  July 2004
http: // www . math . toronto . 
                    edu/~drorbn/Oporto - 0407

n = 3;    ω = 
      (Subscript[x, 1]^(n + 1)) + (Subscript[x, 2]^(n + 1)) - (Subscript[x, 3]^(n + 1)) - 
        (Subscript[x, 4]^(n + 1));

(Subscript[π, i_, j_])  :=  
      Cancel[((((Subscript[x, i])^(n + 1)) - ((Subscript[x, j])^(n + 1)))/((Subscript[x, i]) - (Subscript[x, j])))];    (Subscript[π, 1, 2])

g[s_,  p_] := (s^(n + 1))+(n + 1)(∑_(i = 1)^((n + 1)/2))((((-1))^i)/i)Binomial[n - i,  i - 1](s^(n + 1 - 
                      2  i))(p^i);   g[x + y,  x y]  //  Expand

(Subscript[v, 1])  =  (Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]) - (Subscript[x, 3]) - (Subscript[x, 4]);    (Subscript[v, 2])  =  
      (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2])  - (Subscript[x, 3]) (Subscript[x, 4]);

{(Subscript[u, 1]),  (Subscript[u, 2])}  =  
      Cancel[{((g[(Subscript[x, 1]) + (Subscript[x, 2]),  (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2])] - g[(Subscript[x, 3]) + (Subscript[x, 4]), (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2])])/(Subscript[v, 1])),  ((g[(Subscript[x, 3]) + (Subscript[x, 4]),  (Subscript[x, 1]) (Subscript[x, 2])]  -  g[(Subscript[x, 3]) + (Subscript[x, 4]),  (Subscript[x, 3]) (Subscript[x, 4])])/(Subscript[v, 2]))}]

(Subscript[u, 1]) (Subscript[v, 1])  +  (Subscript[u, 2]) (Subscript[v, 2])  //  Expand

P=(({{0, 0, (Subscript[x, 1]) - (Subscript[x, 4]), (Subscript[x, 2]) - (Subscript[x, 3])}, {0, 0, (Subscript[π, 2, 3]), -(Subscript[π, 1, 4])}, {(Subscript[π, 1, 4]), (Subscript[x, 2]) - (Subscript[x, 3]), 0, 0}, {(Subscript[π, 2, 3]), (Subscript[x, 4]) - (Subscript[x, 1]), 0, 0}})); Q=(({{0, 0, (Subscript[v, 1]), (Subscript[v, 2])}, {0, 0, (Subscript[u, 2]), -(Subscript[u, 1])}, {(Subscript[u, 1]), (Subscript[v, 2]), 0, 0}, {(Subscript[u, 2]), -(Subscript[v, 1]), 0, 0}}));Simplify[
        P . P  ==  
          Q . Q  == ω IdentityMatrix[4]]

U=(({{(Subscript[x, 4]) - (Subscript[x, 2]), 0, 0, 0}, {(((Subscript[u, 1]) + (Subscript[x, 4]) (Subscript[u, 2]) - (Subscript[π, 2, 3]))/((Subscript[x, 1]) - 
                      (Subscript[x, 4]))), 1, 0, 0}, {0, 0, (Subscript[x, 4]), -(Subscript[x, 2])}, {0, 0, -1, 1}}));   V=(({{1, 0, 0, 0}, {(((Subscript[u, 1]) + (Subscript[x, 1]) (Subscript[u, 2]) - (Subscript[π, 2, 3]))/((Subscript[x, 4]) - 
                      (Subscript[x, 1]))), (Subscript[x, 1]) - (Subscript[x, 3]), 0, 0}, {0, 0, 1, (Subscript[x, 3])}, {0, 0, 1, (Subscript[x, 1])}})); Simplify[{U . P == Q . U,  V . Q == P . V}]