{VERSION 2 3 "IBM INTEL NT" "2.3" }
{USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 
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{CSTYLE "" -1 256 "" 1 14 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" 
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" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
{PSTYLE "" 11 12 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }
1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Plot" 0 13 1 {CSTYLE "
" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 
-1 0 }{PSTYLE "Title" 0 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 
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" 0 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 
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s" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
{PSTYLE "" 0 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 262 1 {CSTYLE "" 
-1 -1 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 
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{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 
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" 0 266 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 
0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "" 0 267 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Time
s" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 256 "" 0 
"" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 51 "The Wave Equation wi
th Dirichlet Boundary Condition" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT 256 12 "by \+
Mary Pugh" }}{PARA 259 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 92 "I want to solve the wave equati
on with the Dirichlet boundary condition.  This means that my" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 99 "solution u is zero at 0 and zero at Pi.  \+
As you recall, to solve the wave equation with a dirichlet" }}{PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 100 "boundary condition, the first step is to take th
e initial data on [0,L], reflect it oddly about 0 to" }}{PARA 0 "" 0 "
" {TEXT -1 81 "find an odd function on [-L,L].  This odd function is t
hen periodic of period 2L." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 99 "In our case, if we have an initial condition on [
0,Pi], we define an odd function on [-Pi,Pi] which" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 96 "agrees with the initial data on [0,Pi].  This odd functio
n will then be used as the initial data" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
94 "for a sine series solution on [-Pi,Pi].  When looking at the solut
ion, we only care about the " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 65 "solution \+
on [0,Pi], as the behavior on [-Pi,0] is \"not physical\"." }}{PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 100 "First I decide h
ow many Fourier modes I want to use.  I'll use 10.  If I want to use 2
0, then I need" }}{PARA 266 "" 0 "" {TEXT -1 114 "to change the 10 int
o a 20 in six places: where I define  a and b (below), where I fill th
em up (the two for loops" }}{PARA 267 "" 0 "" {TEXT -1 77 "right after
) and where I define the function (the two for loops after that.)." }}
{PARA 260 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 261 "" 0 "" {TEXT -1 109 "The \+
a array is for the sine transforms.  Since sin(0*x) = 0, we only have \+
transforms from integrating against" }}{PARA 262 "" 0 "" {TEXT -1 63 "
sin(x), sin(2x),..., sin(10x).  So the a array is of length 10." }}
{PARA 263 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 264 "" 0 "" {TEXT -1 113 "The \+
b array is for the cosine transforms.  Since cos(0*x) = 1, the first t
ransform will pick up the mean value of" }}{PARA 265 "" 0 "" {TEXT -1 
113 "the function.  We have transforms from integrating against 1, cos
(x), cos(2x), ..., cos(10x).  So the array is of" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 10 "length 11." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "a_phi := array(1..20): " }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "a_psi := array(1..20): " }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 14 "psi := x -> 0:" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 108 "Okay, now we have to be \+
clever.  Even though we have our initial data on [0,Pi], we have to gi
ve it to maple" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "already as an odd funct
ion on [-Pi,Pi]:" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 
0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 104 "eps := .5: x_L := Pi-2*eps:
 x_R := Pi-eps:                  x_C := (x_L+x_R)/2: Amp := 10:       \+
       " }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$phiG:6#%\"xG6\"6$%)opera
torG%&arrowGF(*&%$AmpG\"\"\",.*&,&9$F.%$x_LG!\"\"F.-%*HeavisideG6#F1F.
F.*&,&F2F.%$x_CGF4F.-F66#F9F.!\"#*&,&F2F.%$x_RGF4F.-F66#F?F.F.*&,&F2F4
F3F4F.-F66#FDF.F4*&,&F2F4F:F4F.-F66#FHF.\"\"#*&,&F2F4F@F4F.-F66#FMF.F4
F.F(F(" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 225 "phi := x->Amp*( \+
   ((x-x_L)*Heaviside(x-x_L)-2*(x-x_C)*Heaviside(x-x_C)+(x-x_R)*Heavis
ide(x-x_R))    - ((-x-x_L)*Heaviside(-x-x_L)-2*(-x-x_C)*Heaviside(-x-x
_C)+(-x-x_R)*Heaviside(-x-x_R))                                    );
" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$phiG:6#%\"xG6\"6$%)operatorG%&a
rrowGF(*&%$AmpG\"\"\",.*&,&9$F.%$x_LG!\"\"F.-%*HeavisideG6#F1F.F.*&,&F
2F.%$x_CGF4F.-F66#F9F.!\"#*&,&F2F.%$x_RGF4F.-F66#F?F.F.*&,&F2F4F3F4F.-
F66#FDF.F4*&,&F2F4F:F4F.-F66#FHF.\"\"#*&,&F2F4F@F4F.-F66#FMF.F4F.F(F(
" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "plot(phi(x),x=-Pi..Pi);
" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6%-%'CURVESG6$7[q7$$!1+++aEfTJ!#:\"\"!7
$$!1*y$=&4PY+$F*$\"1_7+(>%y\")))!#J7$$!1)>bdzsa)GF*F+7$$!1j*)*oVm%=GF*
F+7$$!1GF/y+Y^FF*F+7$$!1`Oz<[t<FF*F+7$$!1zXad&4So#F*F+7$$!1T+UFp9nEF*F
+7$$!1/bH(H%G]EF*F+7$$!1n4<n;ULEF*$!14k#)=k)4<)!#<7$$!1Hk/P!flh#F*$!1+
kLa;O.D!#;7$$!1(Hsq1%*He#F*$!1$e\\<le)feFR7$$!1l\")4(4H%\\DF*$!16G;\\c
N;#*FR7$$!1LS7FT'e^#F*$!1/wlk_Gd7F*7$$!1+*\\r:*H#[#F*$!1F*)Rk\\$Hf\"F*
7$$!1^'oL8!=^CF*$!1?9@-_7/>F*7$$!1-ue461?CF*$!13R-SaJ:AF*7$$!1ynp(f,XS
#F*$!1],$*e0\"4P#F*7$$!1`h!e3U*)Q#F*$!1.O;AV\\tCF*7$$!1Hb\"Rd#QtBF*$!1
ctD.#**yJ#F*7$$!1/\\-iI#yN#F*$!156N%3/B;#F*7$$!1COQ:6gDBF*$!16$Qzh%3S=
F*7$$!1XBuo\"zLH#F*$!1<b_^^'y^\"F*7$$!1l55As:hAF*$!1BF6&oXc>\"F*7$$!1'
yfaFN*GAF*$!1U#**p=iUt)FR7$$!1.%\\@H6c>#F*$!1w4'f&Q'=S&FR7$$!1@!R)3tGi
@F*$!1`F#\\_l%p?FR7$$!1HQ=<`iX@F*$!1,i.%fjE.%FL7$$!1Q'GbKj*G@F*F+7$$!1
ZM(QL,B6#F*F+7$$!1c#=AMRc4#F*F+7$$!1+<Z;^?H?F*F+7$$!1W^s!*3xi>F*F+7$$!
1'zbnN*4E=F*F+7$$!1GPC&**=dq\"F*F+7$$!1<A>?#*>q:F*F+7$$!1tQ#z)H7M9F*F+
7$$!1Q1#QK))HI\"F*F+7$$!1l&*)e[0R=\"F*F+7$$!1R3ltWIU5F*F+7$$!1LG\\C%)
\\B#*FRF+7$$!17Nf'*39GyFRF+7$$!1@%o,08If'FRF+7$$!1TsSX?)yB&FRF+7$$!1ut
IooZZRFRF+7$$!1KhRQW2,EFRF+7$$!1'=(Q1nlk8FRF+7$$!1m<==[J,J!#=F+7$$\"1e
)*4&pnUN\"FRF+7$$\"1\"\\f9ue,c#FRF+7$$\"1YE*z5aD'QFRF+7$$\"10(*4hf03_F
RF+7$$\"1APQDqOClFRF+7$$\"1'RKNmlzz(FRF+7$$\"1GId3)z?@*FRF+7$$\"1[fJEC
F[5F*F+7$$\"1*)e?V3%R=\"F*F+7$$\"1!o*>$fwoI\"F*F+7$$\"1_'H&RyFT9F*F+7$
$\"11@>Q*Qxc\"F*F+7$$\"1_OSCs#**p\"F*F+7$$\"1pV*fVl\"H=F*F+7$$\"1udNme
Yk>F*F+7$$\"1)e$*R1@'H?F*F+7$$\"1,9jhix%4#F*F+7$$\"1&*4n6RV6@F*F+7$$\"
1)e5<c\"4G@F*F+7$$\"1\"=]<@\\Z9#F*$\"1YyQg\"el:$FL7$$\"1u(*yhoSh@F*$\"
1.\")**>3U\")>FR7$$\"1h*o=;AZ>#F*$\"1Sn\"z#3&HJ&FR7$$\"1Z\"[>YP!GAF*$
\"1y`$e$3[W')FR7$$\"1Y@_%*o2hAF*$\"1FNK4C%[>\"F*7$$\"1Xh4Fj6%H#F*$\"1:
N1NnBD:F*7$$\"1V,nfd:FBF*$\"1+N!31Jc&=F*7$$\"1UTC#>&>gBF*$\"1%[VlQDg=#
F*7$$\"1J0%e4v`P#F*$\"1!Q2DUCyL#F*7$$\"1@pV**\\b!R#F*$\"1v7ZeMi*[#F*7$
$\"15L..\\t0CF*$\"1M[c0vdeBF*7$$\"1*pHm![\"4U#F*$\"1V4gp%yn?#F*7$$\"1x
C#Qhu7X#F*$\"1cJn(R!=.>F*7$$\"1c_,@Wj\"[#F*$\"1q`uDBe*f\"F*7$$\"1k1;'=
Ik^#F*$\"1(G\"HuYi^7F*7$$\"1tgI^fA^DF*$\"1Y?PG-nO!*FR7$$\"1\"[^kr@ge#F
*$\"1=7$Qr$4dbFR7$$\"1*)of\"[<3i#F*$\"1\"R!H*><v2#FR7$$\"1!er^Nyjj#F*$
\"1.L@=%)H9_FL7$$\"1qiuG#R>l#F*F+7$$\"1h4K-,]nEF*F+7$$\"1^c*e(41$o#F*F
+7$$\"1K]/BF=9FF*F+7$$\"18W>qWIXFF*F+7$$\"1*Rzt,p;\"GF*F+7$$\"1&QkXcL!
yGF*F+7$$\"1zssVA20IF*F+7$$\"1+++aEfTJF*F+-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"
F+F+-%+AXESLABELSG6$%\"xG%!G-%%VIEWG6$;$!+aEfTJ!\"*$\"+aEfTJFdcl%(DEFA
ULTG" 2 356 356 356 2 0 1 0 2 9 0 4 2 1.000000 45.000000 45.000000 0 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 74 24764 0 0 0 0 0 0 }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
28 "I now choose initial data.  " }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 
"phi := x -> sin(x): psi := x -> 0:" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 122 "Using the initial da
ta, I define the 10 coefficients for sin and the 11 coefficients for c
os.   To do this I have to think" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 59 "first
: sin(jx) and cos(jx) are supposed to have length 1.  " }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 110 "Since the integral \+
from 0 to 2Pi of sin^2(jx) equals Pi, I divide the integrals against s
ine and cosine by Pi." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 
"" {TEXT -1 106 "On the other hand, cos(0x) should also have length 1.
  The integral of cos(0x) from 0 to 2Pi is 2 Pi, so I" }}{PARA 0 "" 0 
"" {TEXT -1 43 "divide the integral against cos(0x) by 2Pi." }}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 41 "The arrays a an
d b are filled as follows:" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "a[1] = ahat
_1, a[2] = ahat_2, a[3] = ahat_3, ... a[10] = ahat_10" }}{PARA 0 "" 0 
"" {TEXT -1 64 "b[1] = bhat_0, b[2] = bhat_1, b[3] = bhat_2, ... b[11]
 = bhat_10" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }
}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 93 "for j from 1 to 20 do a_phi[j]:= e
valf(Int(phi(x)*sin(j*x),x=-Pi..Pi))/(Pi) od:\nprint(a_phi):" }}{PARA 
12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%&TABLEG6#76/\"#=,$*$%#PiG!\"\"$!++Z],7!#5/
\"\"$,$F*$\"+ObZy#*F//\"#>,$F*$\"+uyef5F//\"\"%,$F*$!+eN\"=i\"F//\"#?,
$F*$!+-xDeY!#6/\"\"&,$F*$!+bSOhiF//\"\"',$F*$\"+ZPJ45!\"*/\"\"(,$F*$!+
G)>:E)F//\"\"),$F*$\"+(e$3tCF//\"\"*,$F*$\"+vz^=OF//\"#5,$F*$!+y1*yv'F
//\"#6,$F*$\"+/+**oeF//\"#7,$F*$!+:34yAF//\"#8,$F*$!+6u23:F//\"#9,$F*$
\"+!z:lZ$F//\"#:,$F*$!+W*eB8$F//\"#;,$F*$\"+[oS'Q\"F//\"\"\",$F*$\"+F$
*>w%)F//\"#<,$F*$\"+K6taOFD/\"\"#,$F*$!+3y5@7FO" }}}{EXCHG {PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 93 "for j from 1 to 20 do a_psi[j]:= evalf(Int(psi
(x)*sin(j*x),x=-Pi..Pi))/(Pi) od:\nprint(a_psi):" }}{PARA 12 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#-%&TABLEG6#76/\"#=\"\"!/\"\"$F)/\"#>F)/\"\"%F)/\"#?F)/
\"\"&F)/\"\"'F)/\"\"(F)/\"\")F)/\"\"*F)/\"#5F)/\"#6F)/\"#7F)/\"#8F)/\"
#9F)/\"#:F)/\"#;F)/\"\"\"F)/\"#<F)/\"\"#F)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "
" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 100 "Now that I know th
e Fourier coefficients, I know exactly what the solution does.  If the
 solution is" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 58 "u(x,t) = sum a_j(t) sin(j
x)  then the coefficients satisfy" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 34 "d^2/
dt^2 a_j = - j^2 a_j,    hence" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 35 "a_j(t) \+
= A_j cos(jt) + B_j sin(jt)." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 75 "The constants A_j and B_j are determined by the
 initial data phi and psi.  " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 49 "Specifica
lly, A_j = a_phi(j) and B_j = a_psi(j)/j" }}{PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 99 "u := 0:\nfor j \+
from 1 to 20 do u := u + (a_phi[j]*cos(j*t) + a_psi[j]*sin(j*t)/(j))*s
in(j*x) od:\nu;\n" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#,J*(%#PiG!\"\"-%$
cosG6#%\"tG\"\"\"-%$sinG6#%\"xGF+$\"+F$*>w%)!#5*(F%F&-F(6#,$F*\"\"#F+-
F-6#,$F/F7F+$!+3y5@7!\"**(F%F&-F(6#,$F*\"\"$F+-F-6#,$F/FBF+$\"+ObZy#*F
2*(F%F&-F(6#,$F*\"\"%F+-F-6#,$F/FLF+$!+eN\"=i\"F2*(F%F&-F(6#,$F*\"\"&F
+-F-6#,$F/FVF+$!+bSOhiF2*(F%F&-F(6#,$F*\"\"'F+-F-6#,$F/FjnF+$\"+ZPJ45F
=*(F%F&-F(6#,$F*\"\"(F+-F-6#,$F/FdoF+$!+G)>:E)F2*(F%F&-F(6#,$F*\"\")F+
-F-6#,$F/F^pF+$\"+(e$3tCF2*(F%F&-F(6#,$F*\"\"*F+-F-6#,$F/FhpF+$\"+vz^=
OF2*(F%F&-F(6#,$F*\"#5F+-F-6#,$F/FbqF+$!+y1*yv'F2*(F%F&-F(6#,$F*\"#6F+
-F-6#,$F/F\\rF+$\"+/+**oeF2*(F%F&-F(6#,$F*\"#7F+-F-6#,$F/FfrF+$!+:34yA
F2*(F%F&-F(6#,$F*\"#8F+-F-6#,$F/F`sF+$!+6u23:F2*(F%F&-F(6#,$F*\"#9F+-F
-6#,$F/FjsF+$\"+!z:lZ$F2*(F%F&-F(6#,$F*\"#:F+-F-6#,$F/FdtF+$!+W*eB8$F2
*(F%F&-F(6#,$F*\"#;F+-F-6#,$F/F^uF+$\"+[oS'Q\"F2*(F%F&-F(6#,$F*\"#<F+-
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\"1zssVA20IF*F+7$$\"1+++aEfTJF*F+-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F+F+-%+AX
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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }}}{EXCHG {PARA 0 ">
 " 0 "" {MPLTEXT 1 0 16 "phi := x -> x^3;" }}{PARA 11 "" 1 "" 
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" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 23 "plot(phi(x),x=-Pi..Pi);
" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6%-%'CURVESG6$7S7$$!1+++aEfTJ!#:$!1cXCp
wi+J!#97$$!1*y$=&4PY+$F*$!1%y`$>&RDr#F-7$$!1)>bdzsa)GF*$!1$p:;;JCS#F-7
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F-7$$\"1+++aEfTJF*$\"1cXCpwi+JF--%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"\"\"!Fc[l-
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0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 -16417 0 0 0 0 0 0 }}}{EXCHG 
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" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%$phiG%&floorG" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
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\"1$>T!RFVdHF*Fi^l7$$\"1bl$Rd7L(HF*Fi^l7$$\"1OUQ\"\\_7)HF*Fi^l7$$\"1<>
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$F*$\"\"$F-7$$\"1zssVA20IF*Fccl7$$\"1RO')[CLtIF*Fccl7$$\"1+++aEfTJF*Fc
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0 0 -26859 17506 0 0 0 0 0 0 }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }
}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 20 "Homework Problem #1." }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 91 "In the above, we solved t
he wave equation u_tt = u_xx with Dirichlet boundary conditions.  " }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "a) Modify
 the above code to solve u_tt = c^2 u_xx with Dirichlet boundary condi
tions." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 89 "Declare the speed of propagatio
n, c, at the beginning of the code, along with the arrays." }}{PARA 0 
"" 0 "" {TEXT -1 89 "The ensuing loops should have c in them, to preve
nt your having to retype the value of c " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
21 "throughout the loops." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 37 "b) Test your code on the initial data" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 37 "      1) phi(x) = cos(2x), psi(x) = 0" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 37 "      2) phi(x) = sin(3x), psi(x) = 0" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 37 "      3) phi(x) = 0, psi(x) = cos(2x)" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 37 "      4) phi(x) = 0, psi(x) = sin(2x)" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "c) Why did I ask y
ou to test it on cases like the above?  Why didn't I ask you to test i
t with " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 67 "cos(x) and sin(x)?  (What type
 of bug might such a test case miss?)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "
" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 100 "d) Pick one set of initial data.  (P
referably something like the top-hat initial data or the witches" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 101 "hat initial data.)  Now pick three diffe
rent values of c.  This determines three solutions u_1, u_2, " }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 97 "and u_3.  Plot the three solutions at a f
ixed time to graphically demonstrate the effect of your " }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 91 "choice of speed of propagation.  Explain what beha
vior you saw in the animation, how it was" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
60 "expected, and make sure that this behavior was in your plot." }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 19 "Homework Problem #2" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 95 "In the above, we solved the wav
e equation u_tt = u_xx with Dirichlet boundary conditions.  This" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 87 "meant that we needed an odd reflection an
d used a sine series.  The wave equation with " }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 85 "Neumann boundary condition will need an even reflection a
nd will use a cosine series." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 
0 "" 0 "" {TEXT -1 85 "a) Modify the above program so that it solves t
he wave equation with Neumann boundary" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 10 
"condition." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 65 "b) Verify that your code is correct by considering special case
s " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "        1) phi(x) = cos(2x), psi(x)
 = 0" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "        2) phi(x) = sin(2x), psi(
x) = 0" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "        3) phi(x) = 0, psi(x) =
 cos(3x)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 39 "        4) phi(x) = 0, psi(x)
 = sin(4x)" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 
-1 47 "c) Try your code on your favorite initial data." }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{MARK "21 40 0" 0 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }