Mnogougolniki Nyutona, krivye na toricheskikh poverkhnostyakh i obrashchenie teoremy Veilya A.Khovanskii Dlya dvukh polinomov ot odnoi peremennoi so starshimi koeffitsientami, ravnymi edinitse, spravedlivo sleduyushchee tozhdestvo: proizvedenie znachenii pervogo polinoma po kornyam vtorogo polinoma s tochnostyu do znaka ravno proizvedeniyu znachenii vtorogo polinoma po kornyam pervogo. Andre Veil nashel dalekoe obobshchenie etogo tozhdestva. Ono primenimo dlya lyuboi pary nenulevykh meromorfnykh funktsii na kompaktnoi kompleksnoi krivoi. Privedem opredeleniya, nuzhnye dlya formulirovki teoremy Veilya. Pust $$ f=c_1u^{b_1}+\dots ,\quad g=c_2u^{b_2}+\dots\tag* $$ --- starshie chleny ryadov Lorana meromorfnykh funktsii $f$ i $g$ v okrestnosti tochki $a$, i $u$ --- lokalnyi parametr takoi, chto $u(a)=0$. Tipom rostka vektor-funktsii $(f,g)$ v tochke $a$ nazyvaetsya nesokratimyi tselochislennyi vektor $\vec n=(n_1,n_2)$, proportsionalnyi ego vektoru stepeni $\vec b=(b_1,b_2)$ s naturalnym koeffitsientom $k$, $\vec b=k\vec n$, kotoryi nazyvaetsya kratnostyu rostka vektor-funktsii. Privedennym chislom Veilya rostka $(*)$ nazyvaetsya chislo $c_2^{n_2}c_1^{-n_1}$, gde $(n_1,n_2)$ --- komponenty tipa $\vec n$ etogo rostka. Po kompaktnoi kompleksnoi krivoi $\Gamma$ i meromorfnoi vektor-funktsii $f,g$ na nei opredelim funktsiyu $\Mul_{\Gamma fg}$ na proizvedenii $\Bbb Z^2_{ir}\times {\Bbb C^*}$ mnozhestva $\Bbb Z^2_{ir}$ nesokratimykh tselochislennykh vektorov na ploskosti na mnozhestvo ${\Bbb C^*}$ nenulevykh kompleksnykh chisel. (Nazvanie funktsii proiskhodit ot slova ``{\rm multiplicity}'' --- kratnost'.) Funktsiya $\Mul =\Mul_{\Gamma fg}$ prinimaet tselye neotritsatelnye znacheniya i ravna nulyu vsyudu krome konechnogo chisla tochek. Ee znachenie na pare $(\vec n,c)$ po opredeleniyu ravnyaetsya summarnoi kratnosti tochek na kompleksnoi krivoi $\Gamma $, v kotorykh rostok $(f,g)$ imeet tip $\vec n$ i privedennoe chislo Veilya $c$. V etikh terminakh teorema Veilya formuliruetsya sleduyushchim obrazom. Teorema Veilya $$ \prod (-c)^{\Mul (\vec n,c)}=1. $$ Stepeni divizorov $f$ i $g$ na kompaktnoi krivoi $\Gamma $ ravny nulyu. V terminakh funktsii $\Mul=\Mul_{\Gamma fg}$ eti sootnosheniya prinimayut sleduyushchii vid: $$ \sum \Mul (c,\vec n)\vec n=0. $$ Rezultaty nastoyashchei stati osnovany na sleduyushchem prostom nablyudenii: chisla Veilya rostka $(f,g)$ i rostka $(F,G)$, gde $F=f^{a_{11}}g^{a_{12}}$, $G=f^{a_{21}}g^{a_{22}}$ i $A=\{a_{ij}\}$ --- tselochislennaya matritsa s opredelitelem $1$, ravny. E1to nablyudenie podskazyvaet, chto teorema Veilya dolzhna otnositsya k dvumernoi toricheskoi geometrii (matritsa $A$ zadaet avtomorfizm dvumernogo tora $(C^*)^2$) i k teorii mnogougolnikov Nyutona. My pokazyvaem, chto eto deistvitelno tak. Prezhde vsego ispolzovanie chisel Veilya uproshchaet i utochnyaet klassicheskuyu teoremu o mnogougolnikakh Nyutona. S drugoi storony ispolzovanie mnogougolnikov Nyutona pozvolyaet dat ochen prostoe dokazatalstvo teoremy Veilya --- ono svodit teoremu Veilya k formule Vieta dlya proizvedeniya kornei polinoma.