Summy konechnykh mnozhestv, orbity
kommutativnykh polugrupp i funktsii Gil'berta}

A. G. Khovanskii

Podmnozhestva v polugruppe mozhno skladyvat': summoi $A+B$
dvukh podmnozhestv $A$ i $B$ v kommutativnoi polugruppe nazyvaetsya
mnozhestvo tochek $z$, predstavlennykh v vide $z=a+b$, gde $a\in A$ i
$b\in B$. Oboznachim cherez $N*A$ summu $N$ e1kzemplyarov mnozhestva $A$.

V [1] dokazana sleduyushchaya
Teorema. Dlya lyubykh konechnykh podmnozhestv $A$ i $B$ v
kommutativnoi polugruppe $G$ chislo tochek v mnozhestve $B+N*A$ pri
dostatochno bol'shikh natural'nykh $N$ yavlyaetsya polinomom
po $N$. Stepen' etogo polinoma men'she, chem chislo tochek
v mnozhestve $A$.

Etot polinom  yavlyaetsya funktsiei  Gil'berta nekotorogo
konechnoporozhdennogo graduirovannogo modulya nad kol'tsom polinomov 
ot neskol' kikh peremennykh [1], chto i dokazyvaet teoremu.

Eto algebraicheskoe rassuzhdenie vyzyvaet dva estestvennykh voprosa:
1. Kakoe otnoshenie mozhet imet' kol'tso polinomov ot
   neskol' kikh peremennykh k podschetu chisla tochek v mnozhestve?
2. Nel' zya li izbezhat' ispol'zovaniya teoremy
   Gil'berta dlya dokazatel'stva privedennogo kombinatornogo fakta?

Nastoyashchaya stat'ya daet otvet na eti voprosy.

[1] A.G.Khovanskii.
Mnogogrannik Nyutona, polinom Gil'berta i summy konechnykh mnozhestv.
Funktsion. analiz i ego pril.-- 1992.--T. 26, vyp. 4.--S. 57--63.