R Résumé. Dans cette thèse on s'attache à démontrer divers résultats pour les variétés pseudo-hermitiennes, et plus généralement pour les variétés de Heisenberg, comme applications de la construction d'un résidu non-commutatif dans le cadre du calcul hypoelliptique sur les variétés de Heisenberg. Au chapitre 1 on passe en revue ce YVDO-calculus. Au chapitre 2 on construit une algèbre de YVDO à paramètre permettant une construction pseudo-différentielle de la résolvante d'un sous-laplacien sous-elliptique. Au chapitre 3 on introduit la notion de famille holomorphe de YVDO qu'on utilise pour construire les puissances complexes d'un sous-laplacien sous-elliptique. Au chapitre 4 on construit un prolongement analytique de la trace pour les YVDO d'ordre complexe non entier et on montre qu'on obtient sur les YVDO d'ordre entier une trace résiduelle qui est vraiment un résidu non commutatif. On montre ensuite que ce résidu non commutatif étend la trace de Dixmier à tous les YVDO d'ordre entier et que c'est l'unique trace, à coefficient multiplicatif près, sur cette algèbre quotientée par les opérateurs régularisants. Au chapitre 5 on passe aux applications géométriques. On définit la fonction zêta d'un sous-laplacien sous-elliptique dont on relie les résidus et les valeurs régulières aux coefficients du développement de la chaleur. Á partir de formules variationelles pour les fonctions zêta on produit des invariants conformes pour une variété pseudo-hermitienne Après on étudie la géométrie non-commutative des variétés pseudo-hermitiennes, on définit l'aire d'une telle variété et en dimension 3 on montre qu'elle se cacule par une fromule locale invoquant la courbure scalaire de Tanaka-Webster. Enfin on montre des formules locales pour calculer l'indice d'une racine carrée d'un sous-laplacien sous-elliptique. D'abord en terme du développement de la chaleur du sous-laplacien. Ensuite, en utilisant la cohomologie cyclique et la formule d'indice locale de Connes-Moscovici, on montre l'existence d'une classe de l'homologie de Rham paire de la variété dont l'accouplement avec le caractère de Chern donne l'indice à coefficients dans la K0-théorie.
Mots clés : Calcul hypoelliptique sur les variétés de Heisenberg, géométrie pseudo-hermitienne, géométrie non commutative, résidu non commutatif, théorie de l'indice, invariants spectraux.
Classification MSC (MSC 2000): 35J06, 58J40, 53C56, 58B34, 58J42, 58J20, 58J50.

File translated from TEX by TTH, version 2.25.
On 8 Jan 2001, 13:50. ÿ