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" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
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" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 
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" 0 259 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 
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{PSTYLE "" 0 261 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
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{CSTYLE "" -1 -1 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 
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" 0 266 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 
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s" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }
{PSTYLE "" 0 268 1 {CSTYLE "" -1 -1 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }}
{SECT 0 {EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}{EXCHG {PARA 256 "" 0 
"" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 257 "" 0 "" {TEXT -1 26 "The Periodic Wave Eq
uation" }}{PARA 258 "" 0 "" {TEXT 256 12 "by Mary Pugh" }}{PARA 259 "
" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 260 "" 0 "" {TEXT -1 100 "First I decide \+
how many Fourier modes I want to use.  I'll use 10.  If I want to use \+
20, then I need" }}{PARA 261 "" 0 "" {TEXT -1 114 "to change the 10 in
to a 20 in six places: where I define  a and b (below), where I fill t
hem up (the two for loops" }}{PARA 262 "" 0 "" {TEXT -1 77 "right afte
r) and where I define the function (the two for loops after that.)." }
}{PARA 263 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 264 "" 0 "" {TEXT -1 109 "The
 a array is for the sine transforms.  Since sin(0*x) = 0, we only have
 transforms from integrating against" }}{PARA 265 "" 0 "" {TEXT -1 63 
"sin(x), sin(2x),..., sin(10x).  So the a array is of length 10." }}
{PARA 266 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 267 "" 0 "" {TEXT -1 113 "The \+
b array is for the cosine transforms.  Since cos(0*x) = 1, the first t
ransform will pick up the mean value of" }}{PARA 268 "" 0 "" {TEXT -1 
113 "the function.  We have transforms from integrating against 1, cos
(x), cos(2x), ..., cos(10x).  So the array is of" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 10 "length 11." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "> \+
" 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "a_phi := array(1..10): b_phi := array(0..10):
" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 45 "a_psi := array(1..10): \+
b_psi := array(0..10):" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" 
}}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 28 "I now choose initial data.  " }}{PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 34 "phi := x -> cos(x): psi := x -> 0:" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
122 "Using the initial data, I define the 10 coefficients for sin and \+
the 11 coefficients for cos.   To do this I have to think" }}{PARA 0 "
" 0 "" {TEXT -1 59 "first: sin(jx) and cos(jx) are supposed to have le
ngth 1.  " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
110 "Since the integral from 0 to 2Pi of sin^2(jx) equals Pi, I divide
 the integrals against sine and cosine by Pi." }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 106 "On the other hand, cos(0
x) should also have length 1.  The integral of cos(0x) from 0 to 2Pi i
s 2 Pi, so I" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 43 "divide the integral again
st cos(0x) by 2Pi." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" 
{TEXT -1 41 "The arrays a and b are filled as follows:" }}{PARA 0 "" 
0 "" {TEXT -1 64 "a[1] = ahat_1, a[2] = ahat_2, a[3] = ahat_3, ... a[1
0] = ahat_10" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "b[1] = bhat_0, b[2] = bha
t_1, b[3] = bhat_2, ... b[11] = bhat_10" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 
"> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 93 "for j
 from 1 to 10 do a_phi[j]:= evalf(Int(phi(x)*sin(j*x),x=0..2*Pi))/(Pi)
 od:\nprint(a_phi):" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#-%'VECTORG6#7,,
$*$%#PiG!\"\"$!+ElR`Y!#D,$F($\"+#fD)Q=F-,$F($\"+qzbKT!#E,$F($\"+V+8N?F
4,$F($!+2KZC7F-,$F($!+%>@wA\"!#C,$F($!+PIG&['F4\"\"!,$F($\"+]D\"><%!#A
FB" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 143 "for j from 1 to 10 d
o b_phi[j]:= evalf(Int(phi(x)*cos(j*x),x=0..2*Pi))/(Pi) od:\nb_phi[0] \+
:= evalf(Int(phi(x),x=0...2*Pi))/(2*Pi): print(b_phi):" }}{PARA 12 "" 
1 "" {XPPMATH 20 "6#-%&ARRAYG6$7#;\"\"!\"#57-/6#F(,$*$%#PiG!\"\"$\"+O]
)o1#!#A/6#\"\"\",$F.$\"+aEfTJ!\"*/6#\"\"#,$F.$\"+(=.<8%F3/6#\"\"$,$F.$
\"+dp$e8%F3/6#\"\"%,$F.$\"+7w.UTF3/6#\"\"&,$F.$\"+9N![8%F3/6#\"\"',$F.
$\"+NhgfTF3/6#\"\"(,$F.$\"+s+xLTF3/6#\"\"),$F.$\"+(y'RYTF3/6#\"\"*,$F.
$\"+#Qrh9%F3/6#F),$F.$\"+)egw9%F3" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 93 "for j from 1 to 10 do a_psi[j]:= evalf(Int(psi(x)*sin
(j*x),x=0..2*Pi))/(Pi) od:\nprint(a_psi):" }}{PARA 11 "" 1 "" 
{XPPMATH 20 "6#-%'VECTORG6#7,\"\"!F'F'F'F'F'F'F'F'F'" }}}{EXCHG {PARA 
0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 143 "for j from 1 to 10 do b_psi[j]:= evalf(I
nt(psi(x)*cos(j*x),x=0..2*Pi))/(Pi) od:\nb_psi[0] := evalf(Int(psi(x),
x=0...2*Pi))/(2*Pi): print(b_psi):" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#
-%&ARRAYG6$7#;\"\"!\"#57-/6#F(F(/6#\"\"\"F(/6#\"\"#F(/6#\"\"$F(/6#\"\"
%F(/6#\"\"&F(/6#\"\"'F(/6#\"\"(F(/6#\"\")F(/6#\"\"*F(/6#F)F(" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
100 "Now that I know the Fourier coefficients, I know exactly what the
 solution does.  If the solution is" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 78 "u(
x,t) = sum a_j(t) sin(jx) + sum b_j(t) cos(jx) then the coefficients s
atisfy" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 59 "d^2/dt^2 a_j = - j^2 a_j,   d^2
/dt^2 b_j = - j^2 b_j, hence" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 73 "a_j(t) = \+
A_j cos(jt) + B_j sin(jt), b_j(t) = C_j cos(jt) + D_j sin(jt).  " }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 82 "The const
ants A_j, B_j, C_j, D_j are determined by the initial data phi and psi
.  " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 80 "Specifically, A_j = a_phi(j), B_j \+
= a_psi(j)/j, C_j = b_phi(j), D_j = b_psi(j)/j" }}{PARA 0 "> " 0 "" 
{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 203 "u := b_phi[0]+
t*b_psi[0]:\nfor j from 1 to 10 do u := u + (a_phi[j]*cos(j*t) + a_psi
[j]*sin(j*t)/(j))*sin(j*x) od:\nfor j from 1 to 10 do u := u + (b_phi[
j]*cos(j*t)+b_psi[j]*sin(j*t)/(j))*cos(j*x) od:\nu;\n" }}{PARA 12 "" 
1 "" {XPPMATH 20 "6#,H*$%#PiG!\"\"$\"+O])o1#!#A*(F%F&-%$cosG6#%\"tG\"
\"\"-%$sinG6#%\"xGF/$!+ElR`Y!#D*(F%F&-F,6#,$F.\"\"#F/-F16#,$F3F;F/$\"+
#fD)Q=F6*(F%F&-F,6#,$F.\"\"$F/-F16#,$F3FEF/$\"+qzbKT!#E*(F%F&-F,6#,$F.
\"\"%F/-F16#,$F3FPF/$\"+V+8N?FK*(F%F&-F,6#,$F.\"\"&F/-F16#,$F3FZF/$!+2
KZC7F6*(F%F&-F,6#,$F.\"\"'F/-F16#,$F3F^oF/$!+%>@wA\"!#C*(F%F&-F,6#,$F.
\"\"(F/-F16#,$F3FioF/$!+PIG&['FK*(F%F&-F,6#,$F.\"\"*F/-F16#,$F3FcpF/$
\"+]D\"><%F)*(F%F&F+F/-F,F2F/$\"+aEfTJ!\"**(F%F&F8F/-F,F=F/$\"+(=.<8%F
)*(F%F&FBF/-F,FGF/$\"+dp$e8%F)*(F%F&FMF/-F,FRF/$\"+7w.UTF)*(F%F&FWF/-F
,FfnF/$\"+9N![8%F)*(F%F&F[oF/-F,F`oF/$\"+NhgfTF)*(F%F&FfoF/-F,F[pF/$\"
+s+xLTF)*(F%F&-F,6#,$F.\"\")F/-F,6#,$F3FjrF/$\"+(y'RYTF)*(F%F&F`pF/-F,
FepF/$\"+#Qrh9%F)*(F%F&-F,6#,$F.\"#5F/-F,6#,$F3FhsF/$\"+)egw9%F)" }}}
{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 
80 "First let's see if we have the right initial data by plotting u(x,
0) versus f(x)" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 
"" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "plot(\{phi(x),subs(t=0,u)\},x=
0..2*Pi);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6&-%'CURVESG6$7en7$\"\"!$\"\"
\"F(7$$\"1]0\"3%zxZo!#<$\"1)\\W\"HJcw**!#;7$$\"15@;)eb&p8F1$\"1#4hRPij
!**F17$$\"1n]I&3x`'>F1$\"1+dYLb[2)*F17$$\"1D![Ce)>hDF1$\"18J#))4-Qn*F1
7$$\"1>FdfdK,RF1$\"1N5')yke[#*F17$$\"15d`phL]_F1$\"1goz=42`')F17$$\"1*
*4]o\\$Hf'F1$\"1b](G._U!zF17$$\"1g4v>fpPyF1$\"1]$R'oTd#3(F17$$\"1Y@S&y
tl7*F1$\"1H$>jubk6'F17$$\"1W<y6L&f/\"!#:$\"1GuIc:x5]F17$$\"1c[Fj<#)y6F
gn$\"1C3nW'R,#QF17$$\"1/UC(H$\\:8Fgn$\"1n9AwiQDDF17$$\"1siveO(eV\"Fgn$
\"1B^hAo8X8F17$$\"1$y2QV$Rr:Fgn$!1qB/u(p5(f!#>7$$\"1Fh2m'puq\"Fgn$!1)
\\T#fB[i8F17$$\"1i$z,L/'Q=Fgn$!1crN]@=YEF17$$\"1N/6orod>Fgn$!1zV1J*3Jx
$F17$$\"1h\"\\.=)G*4#Fgn$!1(\\AOF:B/&F17$$\"1<2b6GC>AFgn$!1igNw%*[RgF1
7$$\"1\\1Mk&y(eBFgn$!1XUwYjJ*3(F17$$\"1eJ)*[8H#[#Fgn$!1#e_b?/U!zF17$$
\"1w#f%\\W!yh#Fgn$!1\"G5)RnIf')F17$$\"1j#pr'\\%ou#Fgn$!1`k8ti$4B*F17$$
\"1(Qg,@&[\")GFgn$!12RS4Nij'*F17$$\"1M3w'41L%HFgn$!1_c+wa0/)*F17$$\"1
\"GhL)p70IFgn$!1xpT>+.2**F17$$\"1]:Fh\"4=2$Fgn$!1[]O+7mv**F17$$\"1===R
8\\QJFgn$!1gKG4>&*****F17$$\"1-fM\"Qbx?$Fgn$!1ke^]/7y**F17$$\"1')*4NU>
qF$Fgn$!1`Is=!Q%3**F17$$\"1oz#e(RJPLFgn$!1SkGik24)*F17$$\"1\\f9G&3wR$F
gn$!1_NDna1u'*F17$$\"1l#*zk![y_$Fgn$!1_J.8AEj#*F17$$\"1r*4,D)RiOFgn$!1
v#)4Kh=u')F17$$\"1s$QlNHSz$Fgn$!1B*z7xng%zF17$$\"1SKN?#*Q@RFgn$!1D84Pf
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17$$\"1*)e?(\\LbK%Fgn$!1,1s\"[\"ysPF17$$\"1\"o*>Z#p%[WFgn$!1yCH\"el'3E
F17$$\"1_'HN\\qGe%Fgn$!177Cvnc\"H\"F17$$\"11@>#fJ$4ZFgn$!1zyOHMQdI!#=7
$$\"1_OSy)>:%[Fgn$\"1IAj`Ks(G\"F17$$\"1pV***3e2(\\Fgn$\"1KRqX8/bDF17$$
\"1udN?&eg5&Fgn$\"1%)yb&Q)zNQF17$$\"1,9j:*ojB&Fgn$\"17w4w0I.]F17$$\"1Z
\"[f6I'p`Fgn$\"1\\#)[*R]$4hF17$$\"1UTCYyy,bFgn$\"1/wY'Q+$*4(F17$$\"1c_
,vqABcFgn$\"1f=s$Ry,!zF17$$\"1*)ofN,TidFgn$\"1S,@;vLu')F17$$\"18W>Cr*o
)eFgn$\"1Le@`4+D#*F17$$\"1&Qk&=ii>gFgn$\"1mGAp))oa'*F17$$\"1Ke9eb9$3'F
gn$\"1B1`,oe+)*F17$$\"1!GFx*[mYhFgn$\"1zb'f`bp!**F17$$\"1SO'G5D\\@'Fgn
$\"1V6=n<rw**F17$$\"1+++3`=$G'FgnF)-%'COLOURG6&%$RGBG$\"#5!\"\"F(F(-F$
6$7en7$F($\"1D=8++++5Fgn7$F,$\"1*Hf/8jl(**F17$F3$\"1$3k_Pij!**F17$F8$
\"16AvMb[2)*F17$F=$\"10#)3+@!Qn*F17$FB$\"1jT1!['e[#*F17$FG$\"1sC#*>42`
')F17$FL$\"1ho!R._U!zF17$FQ$\"1WdcpTd#3(F17$FV$\"1z\"=rubk6'F17$Fen$\"
1O(fpbr2,&F17$F[o$\"1ww;X'R,#QF17$F`o$\"1?5bwiQDDF17$Feo$\"1O;zAo8X8F1
7$Fjo$!1oA;u(p5(fF^p7$F`p$!1y%>%fB[i8F17$Fep$!1[Hq]@=YEF17$Fjp$!12qbJ*
3Jx$F17$F_q$!1(>!Gu_JU]F17$Fdq$!1tL9x%*[RgF17$Fiq$!1F$)oZjJ*3(F17$F^r$
!1CNe1U?/zF17$Fcr$!1p1%4u1$f')F17$Fhr$!1\\9Mui$4B*F17$F]s$!1*4k1^BOm*F
17$Fbs$!1DNGxa0/)*F17$Fgs$!16zq?+.2**F17$F\\t$!10]m,7mv**F17$Fat$!1fpe
5>&*****F17$Fft$!1^w\"=X?\"y**F17$F[u$!1nm,?!Q%3**F17$F`u$!1gvcjk24)*F
17$Feu$!1Qq^oa1u'*F17$Fju$!1\\9C9AEj#*F17$F_v$!1fzALh=u')F17$Fdv$!10`J
sx1YzF17$Fiv$!1e*>!Qfc5rF17$F^w$!1P(34V'e[gF17$Fcw$!1$=0*=%)o!*\\F17$F
hw$!1%o5A[\"ysPF17$F]x$!1n9j\"el'3EF17$Fbx$!1]4Tvnc\"H\"F17$Fgx$!1rv'*
HMQdIF[y7$F]y$\"1>-!QDBxG\"F17$Fby$\"1Y\"RgMT]b#F17$Fgy$\"1<#fgQ)zNQF1
7$F\\z$\"1F*[nd+L+&F17$Faz$\"1qOG+/N4hF17$Ffz$\"1jVR(Q+$*4(F17$F[[l$\"
1PSv%Ry,!zF17$F`[l$\"1#4Tt^PVn)F17$Fe[l$\"1WoTa4+D#*F17$Fj[l$\"1TJ[q))
oa'*F17$F_\\l$\"1DM\"G!oe+)*F17$Fd\\l$\"1xhEPb&p!**F17$Fi\\l$\"1UW\\o<
rw**F17$F^]lF[^l-Fa]l6&Fc]lF(Fd]lF(-%+AXESLABELSG6$%\"xG%!G-%%VIEWG6$;
F($\"+3`=$G'!\"*%(DEFAULTG" 2 356 356 356 2 0 1 0 2 9 0 4 2 1.000000 
45.000000 45.000000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 
-16416 0 0 0 0 0 0 }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}
{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 40 "Now plot the solution at t=0 versus t=.1
" }{MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 0 "" }}{PARA 0 "
> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 43 "plot(\{subs(t=0,u),subs(t=.1,u)\},x=0..2*Pi)
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