{VERSION 2 3 "IBM INTEL NT" "2.3" } {USTYLETAB {CSTYLE "Maple Input" -1 0 "Courier" 0 1 255 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Math" -1 2 "Times" 0 1 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "2D Output" 2 20 "" 0 1 0 0 255 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 256 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 257 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 258 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 259 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 260 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 261 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 262 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 263 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 264 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 265 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 266 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 267 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 268 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 269 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 270 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{CSTYLE "" -1 271 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 } {CSTYLE "" -1 272 "" 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 }{PSTYLE "Normal" -1 0 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }0 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Output" 0 11 1 {CSTYLE "" -1 -1 " " 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 3 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 } {PSTYLE "" 11 12 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 } 1 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Maple Plot" 0 13 1 {CSTYLE " " -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 -1 -1 0 0 0 0 0 0 -1 0 }{PSTYLE "Title" 0 18 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 1 18 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 12 12 0 0 0 0 0 0 19 0 }{PSTYLE "Author" 0 19 1 {CSTYLE "" -1 -1 "" 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 }3 0 0 -1 8 8 0 0 0 0 0 0 -1 0 }} {SECT 0 {EXCHG {PARA 18 "" 0 "" {TEXT -1 34 "Harmonic Oscillators and \+ Resonance" }}{PARA 19 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 256 90 "In this worksheet we will always have the same left-hand side: y'' + 8 y. The homogeneous" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 257 105 "equatio n y'' + 8 y = 0 has solutions cos( sqrt(8) t ) and sin( sqrt(8) t). W e consider the inhomogeneous" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 258 101 "equatio n y'' + 8 y = .1 cos( w t). The forcing is .1 cos(w t). This corresp onds to a motor jiggling" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 259 100 "the spring \+ a little (only a little since the amplitude of the forcing is .1). Wh at's crucial is the" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 260 100 "frequency at whi ch the jiggling forcing occurs. In the following, this is the only th ing that we'll" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 261 94 "change. The forcing f requency will be taken closer and closer to sqrt(8) and we'll study th e " }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 262 16 "effect of this." }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 64 "First we force at frequ ency 1: the right hand side is .1 cos(t)" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 " " {MPLTEXT 1 0 44 "diff_eqn := D(D(y))(t) + 8*y(t) = .1*cos(t);" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 35 "init_cond := y(0) = 1, D(y)(0) = 0; " }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%)diff_eqnG/,&---%#@@G6$%\"DG\"\" #6#%\"yG6#%\"tG\"\"\"-F/F0\"\"),$-%$cosGF0$F2!\"\"" }}{PARA 11 "" 1 " " {XPPMATH 20 "6#>%*init_condG6$/-%\"yG6#\"\"!\"\"\"/--%\"DG6#F(F)F*" }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "dsolve( \{diff_eqn, init_ cond\},y(t) );" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%\"yG6#%\"tG,,*&-% $cosG6#,$F'$\"+CrUGG!\"*\"\"\"-F+6#,$F'$\"+CrUGQF0F1$\"+!yvuh%!#7*&F*F 1-F+6#,$F'$\"+CrUG=F0F1$\"+3&Q#o'*F9*&-%$sinGF,F1-FDF \+ " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "f := rhs(\"): plot(f,t=0...20);" }}{PARA 13 " " 1 "" {INLPLOT "6%-%'CURVESG6$7eal7$\"\"!$\"0+!))**********!#:7$$\"1L LL3x&)*3\"!#;$\"1x2/Q1_M&*F/7$$\"1nmm;arz@F/$\"1Z'z^*[*==)F/7$$\"1LL$3 FWYs#F/$\"1(fSA`-(4sF/7$$\"1+++DJdpKF/$\"1S'o?II%pgF/7$$\"1nm;z>]9QF/$ \"1=M\\M]1)y%F/7$$\"1LLLL3VfVF/$\"1(*4tw.$fR$F/7$$\"1+]i:0dL[F/$\"1Tiq ?36?@F/7$$\"1mm\"z>5xI&F/$\"18Q?311#3)!#<7$$\"1L$3-))\\=y&F/$!1e*euJnF ;&FU7$$\"1****\\i&*)fD'F/$!1@D?j)3'H=F/7$$\"1m;zW#H,t'F/$!12C)[5m#3JF/ 7$$\"1LL3F*oU?(F/$!1Gwu**4NHVF/7$$\"1+]P4'3%ywF/$!1wXI/R+raF/7$$\"1nmm \"H[D:)F/$!1)Qq[Q&z7lF/7$$\"1MLe9w)*=#*F/$!1LB#H=N\")R)F/7$$\"1++v$pU& G5F+$!1YDD9`M=&*F/7$$\"1;H#on._0\"F+$!1N.sT?Vl'*F/7$$\"1Le*)fY'=3\"F+$ !1-^+*RKsv*F/7$$\"1](oHkD&36F+$!1,m(\\@TKz*F/7$$\"1n;/Em=N6F+$!1(Rf>mq Kx*F/7$$\"1+v=#f3&)=\"F+$!1A?Fz8Bm&*F/7$$\"1LLLe0$=C\"F+$!1%HP%4P&49*F /7$$\"1LL3xf]&H\"F+$!1R#yS@oB])F/7$$\"1LL$eR\"=\\8F+$!1?6%F/7$$\"1ML$32$)Qc\"F+$!1vfOv7!)3GF/7$$\"1MLe*[evh\" F+$!1!=@Wkb_N\"F/7$$\"1MLL3RBr;F+$\"1*G;'G8K$H\"FU7$$\"1+v=F+$\"13vLW\"Q4\" oF/7$$\"1L$e9wb<*>F+$\"1,jB(yE3z(F/7$$\"1+DJqg*F/7$$\"1++vVQ7[@F+$\"1cx()RX)zc*F/7$$\"1MLL 38l(>#F+$\"1^HmMd.^(*F/7$$\"1+]iS]TAAF+$\"1H%=sIm/x*F/7$$\"1nm\"HxyrC# F+$\"18))y69hT(*F/7$$\"1L$3_]U>F#F+$\"1OL2(f+Ym*F/7$$\"1++]Piq'H#F+$\" 1lf^+)*zR&*F/7$$\"1mmmm6w&R#F+$\"1v)\\G'p:y&)F/7$$\"1LL$e4;[\\#F+$\"1_ *[DD5/%pF/7$$\"1nmm;*)4YDF+$\"1]o_Bt%p'eF/7$$\"1++]P%))3LY*oLF/7$$\"1nm;zt%**p#F+$\"1#>[=OLn*>F/7 $$\"1++++-B^FF+$\"1;uTF)4@!eFU7$$\"1ML$3-8D!GF+$!1g[$p*fC4&)FU7$$\"1nm mTez`GF+$!1$3c=)QmmAF/7$$\"1++]i'y]!HF+$!1B#QM@9tj$F/7$$\"1nm;Ha6eHF+$ !1M#=FLQo(\\F/7$$\"1ML$e>_6,$F+$!1lk]NuL2iF/7$$\"1++]i*)=kIF+$!1\"[fP_ '>,tF/7$$\"1nm;HdA=(***F/7$$\"1+++]h5NMF+$!1bHhD;**y&*F/7$$\"1nm ;/&R3a$F+$!1V_RO%p5K)F/7$$\"1++D\"=1Pf$F+$!1aSDs9I4uF/7$$\"1LLLeGdYOF+ $!15'>Rc&oMjF/7$$\"1mmTN&R%*p$F+$!1u^Q8l8@^F/7$$\"1++]7iI_PF+$!17zDOHm &z$F/7$$\"1L3-)3'o1QF+$!1i3Jb;cYBF/7$$\"1n;ajf1hQF+$!1W]D-)zPW)FU7$$\" 1+D1ReW:RF+$\"1,1(*))yAbnFU7$$\"1MLe9d#)pRF+$\"1r/5*fjt<#F/7$$\"1nT5!f 0U-%F+$\"1Y**)f/+ei$F/7$$\"1+]ilaeySF+$\"1S.aTXv')\\F/7$$\"1Me9T`'H8%F +$\"1?D'Rb?#GiF/7$$\"1nmm;_M(=%F+$\"1-*o>$z,@tF/7$$\"1MLek39$G%F+$\"12 d$Q`n&3))F/7$$\"1,+]7l$*yVF+$\"1z&[\\c%f\\'*F/7$$\"1o\"zWU&)GS%F+$\"1x [\\s*>1v*F/7$$\"1M$ekLMoU%F+$\"1cl`*3[n!)*F/7$$\"1,vV[Ky]WF+$\"1=%\\Dg Mx\")*F/7$$\"1omTg@tuWF+$\"1%*yJRBa$y*F/7$$\"1,]P%)*HE_%F+$\"1f)3%G&30 e*F/7$$\"1MLL3y_qXF+$\"1F%)GdXZ,#*F/7$$\"1n;a8%\\Wi%F+$\"1;x+&F+$! 1Qf.*\\E#=h!#=7$$\"1,+]iO/c]F+$!1WkkBW=c:F/7$$\"1,++vm=5^F+$!1bRG3rx8I F/7$$\"1,+](oHV;&F+$!1NQR8kp*R%F/7$$\"1,+++FZ=_F+$!1I,\\O$f8o&F/7$$\"1 ,+]7dhs_F+$!1'Q>k$oiGoF/7$$\"1,++D(enK&F+$!1c$4vn4X\"yF/7$$\"1++]P/'F+$!1juN aB]<-#\\F/7$$\"1n;/,V>WjF+$\"1a7$ef.wA'F/7$$\"1Me k`b`+kF+$\"10mhe]L!Q(F/7$$\"1++D1o(oX'F+$\"1&G'>nk=\\$)F/7$$\"1M$e9Jf& plF+$\"1DE/A;@U'*F/7$$\"1nmm;=C#o'F+$\"1\"pn7C?h(**F/7$$\"1nm;z')pxnF+ $\"1HQ%=m4/[*F/7$$\"1ommTb:toF+$\"1$p'\\Fyw0$)F/7$$\"1om\"H(R)3#pF+$\" 1Uk(e&3`)[(F/7$$\"1nm;/ChopF+$\"1thJ:q&o`'F/7$$\"1nmTN3M;qF+$\"1:r'ej' *zY&F/7$$\"1nmmm#pS1(F+$\"1pY.2%G8I%F/7$$\"1Meky()e>rF+$\"1J2l@#FU7$$\"1LL e9t9'G(F+$!1P$[Ppl_w\"F/7$$\"1+DcEomTtF+$!1DF,\\eyjKF/7$$\"1n;aQj=(R(F +$!1&H$H')4[!o%F/7$$\"1M3_]eq_uF+$!1q*zv9R1)fF/7$$\"1++]i`A3vF+$!1\\\\ 5y.UKrF/7$$\"1m;a8P^1wF+$!1sn)*G=JB()F/7$$\"1LLek?![q(F+$!1#RDlU0?k*F/ 7$$\"1]PM_TPHxF+$!1Aimc/Ed(*F/7$$\"1nT5Si%Rv(F+$!1#)**3_*G`#)*F/7$$\"1 %ekyK=&yxF+$!1#*Ql*)p*e%)*F/7$$\"1+]i:/4.yF+$!10VsJ+))=)*F/7$$\"1Me9\" fMA&yF+$!1M/X#>,Hi*F/7$$\"1mmmm(y8!zF+$!1!Gg0J\"HT#*F/7$$\"1Me9;xHbzF+ $!1KGDl!G!=')F/7$$\"1,]ilm@4!)F+$!1*QVz43]z(F/7$$\"1oT5:c8j!)F+$!1cR\" oE\"\\\"z'F/7$$\"1MLekX0<\")F+$!13S$o*f#4j&F/7$$\"1,D19N(4<)F+$!1#[\\[ _//M%F/7$$\"1o;ajC*[A)F+$!1,7-mN.]HF/7$$\"1N3-89\")y#)F+$!1+fg6]B#\\\" F/7$$\"1,+]i.tK$)F+$!19#))eNA*G**!#?7$$\"1+]7`R2%Q)F+$\"1z S')F+$\"1:Oy\"3`H[(F/7$$\"1+](o\\N@p)F+$\"1`9ZS%R#4$)F/7$$\"1,+](3zMu) F+$\"1shQ4:ke*)F/7$$\"1M3-Q20(z)F+$\"1'G'Q*\\EGV*F/7$$\"1o;a)QA1&))F+$ \"16/rFf`)o*F/7$$\"1%3-Q@3u())F+$\"1g!\\No.Ct*F/7$$\"1,D1RS>/*)F+$\"1k NFcL#)>(*F/7$$\"1=HKk)z4$*)F+$\"1hdlWt&3l*F/7$$\"1NLe*olx&*)F+$\"1l<,% )>*e_*F/7$$\"1-]i!**3\\1*F+$\"1_**>'HE\\[)F/7$$\"1omm\"H_?<*F+$\"1hmBl %>+m'F/7$$\"1pT5!zZ7A*F+$\"1h$>K7_Fg&F/7$$\"1n;a)GV/F*F+$\"1jWEPc\"[V% F/7$$\"1n\"zpyQ'>$*F+$\"1GS-([l(yJF/7$$\"1omT&GM)o$*F+$\"1x%[o>m)e=F/7 $$\"1oT&QyH!=%*F+$\"1nod5LA1]FU7$$\"1o;H#GDsY*F+$!1#p+F&\\9(p)FU7$$\"1 n\"H2y?k^*F+$!1%z*QgIlDAF/7$$\"1nm;zihl&*F+$!1K$3eiu4a$F/7$$\"1*\\7.F! o='*F+$!1(R%p(o`\\)[F/7$$\"1L$e9EW6L1i a*F/7$$\"1L$3-Dg5-\"Fadn$!1rP6SZ10#)F/7$$\"1$3_v5sl-\"Fadn$!1V``z3!)Hs F/7$$\"1Le*['R3K5Fadn$!1XiI!G(>\"3'F/7$$\"1$eRA#efP5Fadn$!1V?.9h)py%F/ 7$$\"1LLezw5V5Fadn$!1;3?_bUyLF/7$$\"1mTgnd!z/\"Fadn$!1&GihlDc3#F/7$$\" 1+]ibQq_5Fadn$!1b(pC;!3cvFU7$$\"1LekV>]d5Fadn$\"1#**[\"QtmseFU7$$\"1nm mJ+Ii5Fadn$\"1#*zw=RS=>F/7$$\"1+vo>\")4n5Fadn$\"1IJ\"f'oU8KF/7$$\"1L$3 x?'*=2\"Fadn$\"12MNN\\i[WF/7$$\"1n\"HdH%pw5Fadn$\"15[3)H*Q,cF/7$$\"1++ v$Q#\\\"3\"Fadn$\"1&)f#*[%G1l'F/7$$\"1L3x;l&=4\"Fadn$\"1//z?^-w%)F/7$$ 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Which is much closer to sqrt(8)." }{MPLTEXT 1 0 0 "" }} {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 46 "diff_eqn := D(D(y))(t) + 8*y(t) = . 1*cos(3*t);" }}{PARA 11 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#>%)diff_eqnG/,&---%#@@G 6$%\"DG\"\"#6#%\"yG6#%\"tG\"\"\"-F/F0\"\"),$-%$cosG6#,$F1\"\"$$F2!\"\" " }}}{EXCHG {PARA 0 "> " 0 "" {MPLTEXT 1 0 37 "dsolve( \{diff_eqn, ini t_cond\}, y(t));" }}{PARA 12 "" 1 "" {XPPMATH 20 "6#/-%\"yG6#%\"tG,,*& -%$cosG6#,$F'$\"+CrUGG!\"*\"\"\"-F+6#,$F'$\"+CrUGeF0F1$\"+!f3I.$!#7*&F *F1-F+6#,$F'$\"+g(Gdr\"!#5F1$!+\"3I..\"F@*&-%$sinGF,F1-FEF " 0 "" {MPLTEXT 1 0 30 "f := rhs(\"): plot(f,t=0...40);" }}{PARA 13 "" 1 "" {INLPLOT "6%-% 'CURVESG6$7[fm7$\"\"!$\"1++\\++++5!#:7$$\"1LLL3x&)*3\"!#;$\"1I,')[RZM& *F/7$$\"1nmm;arz@F/$\"1w;biO;\"=)F/7$$\"1LL$3FWYs#F/$\"1'p%*4#f%z?(F/7 $$\"1+++DJdpKF/$\"1lD-Z$fe1'F/7$$\"1nm;z>]9QF/$\"1[W8mMg\"y%F/7$$\"1LL LL3VfVF/$\"1c)ePg/_Q$F/7$$\"1++](ofV!\\F/$\"1Ci%eC:$4>F/7$$\"1mmmT&)G \\aF/$\"1h4ag+_%)Q!#<7$$\"1KL$eRSn05=9\"F/7$$\"1+++]i9RlF/$ !1)\\dl+ock#F/7$$\"1nm;/^2%3(F/$!1'*QeNr#z3%F/7$$\"1MLLeR+HwF/$!1P4CBJ #[V&F/7$$\"1++]7G$R<)F/$!1>lr$36[l'F/7$$\"1mmmm;')=()F/$!1_NG+JI>xF/7$ $\"1***\\7.Trm*F/$!1e%*4J`3H\"*F/7$$\"1LLeR?ah5F+$!1STzM8o%*)*F/7$$\"1 *HmK6F+$!1K2(4B^6+\"F+7$$\"1n;/w*pj:\"F+$!1;y#>$Qfh**F/7$$\"1L3FWRy.7F +$!1'[uZPW%H(*F/7$$\"1++]7z>^7F+$!1wM]+VdC$*F/7$$\"1L$e*[e-Y8F+$!1\"=$ *fcN!G!)F/7$$\"1nmT&y`3W\"F+$!1=X21v'H;'F/7$$\"1Lek`xE)[\"F+$!1y*p\"G* )*o0&F/7$$\"1+](=s\"oN:F+$!1M'e+1p0'QF/7$$\"1nT5!p&4$e\"F+$!1>!4$Rx9&f #F/7$$\"1LLLe'40j\"F+$!1Yn=q2/$G\"F/7$$\"1n\"zWiJQo\"F+$\"1e!))>Y1R>#F U7$$\"1+]i!f`rt\"F+$\"1dATlKy<\\wK&yJF/7$ $\"1nm\"H_(zV=F+$\"1k+x<[&)oXF/7$$\"1+D1*[>r*=F+$\"1g@#or>v&eF/7$$\"1L $3_XT/&>F+$\"1R0VNGb:qF/7$$\"1nTN@Mw.?F+$\"1t=DS_)o,)F/7$$\"1++](Q&3d? 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Note that for when \+ the forcing frequency" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 112 "was 9, that we \+ only needed to look up to time 80 to see that the amplitude was not in creasing indefinitely. 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The closer the forcing amplitude" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 265 77 "is to sqrt(8), the larger the amplitude will get be fore starting to decrease." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 267 99 "A practical side-effect is that small vibrations will become larger and larger until something else" }}{PARA 0 "" 0 " " {TEXT 268 90 "happens. This is exactly what happened with the Tacom a Narrows bridge. The structure had" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 269 96 " certain natural frequency and when outside forces occured near this fr equency the bridge started" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 270 94 "shaking mo re and more until it tore itself apart. This is why troops marching a cross a bridge" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 271 105 "are not allowed to ma rch in step --- marching in step corresponds to forcing the bridge at \+ a well-defined" }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 272 100 "frequency. If that f requency were near the natural frequency of the bridge, the bridge cou ld break." }}{PARA 0 "" 0 "" {TEXT 266 1 "\002" }}}{EXCHG {PARA 0 "" 0 "" {TEXT -1 0 "" }}}}{MARK "20 9 0" 100 }{VIEWOPTS 1 1 0 1 1 1803 }