KOI WIN L^AT_EX PS PDF |== > К списку публикаций To the list of publications

Пара замечаний о строгом неравномерном сжатии

Д.В.Хмелёв

В нашей статье с В.И.Оселедцем ``Глобальная устойчивость бесконечных систем нелинейных дифференциальных уравнений и неоднородные счетные цепи Маркова'' опубликованной в журнале ``Проблемы передачи информации'', 2000, том 36, вып.1, с.60-76, мы дали достаточный признак глобальной асимптотической устойчивости отображения f банахова пространства M в себя. Его можно сформулировать следующим образом (как и сформулировано в моей московской диссертации).

Теорема 1 Пусть отображение f:M╝ M удовлетворяет следующим условиям:

1) строго уменьшает расстояния: ||fy-fx|| < ||y-x|| для всех x, y н M, x ╧ y.

2) имеется семейство K компактных инвариантных множеств, плотное в некотором шаре (т.е. их объединение плотно в некотором шаре): для всех множеств K н K имеем f(K) л K; кроме того множество х_{K н K} всюду плотно в некотором шаре B(x,e).

Тогда имеется единственная неподвижная точка x^*=f(x^*) и для всех x н M выполнено: ||fⁿx-x^*||╝ 0 при n╝╔.

В этой заметке я строю пример отображения, которое строго уменьшает расстояния и имеет единственную неподвижную точку, но, тем не менее, сходимость к этой неподвижной точке места не имеет. Отображение f я хочу рассмотреть в пространстве l₁ абсолютно суммируемых последовательностей (x₁,x₂,╪)^т с нормой

||(x1,x2,╪)т||=|x1|+|x2|+╪.

Отображение f есть просто линейный оператор уменьшающего сдвига, т.е.

f(x1,x2,x3,x4╪)т=(0,a1x1, a2x2, a3 x3,╪)т,

где 1 > a₁ > a₂ > ╪ и a₁×a₂×╪ = a > 0. Очевидно, вектор из нулей 0=(0,0,╪)^т является неподвижной точкой отображения f: 0=f0 Далее, в силу выбора a_i норма любого ненулевого вектора (x₁,x₂,x₃,x₄╪)^т ╧ 0 строго уменьшается под действием f:

||f(x1,x2,x3,x4╪)т|| < ||(x1,x2,x3,x4╪)т||

В силу линейности f расстояние между любыми двумя несовпадающими векторами строго уменьшается:

||fy-fx||=||f(x-y)|| < ||x-y||.

Таким образом, f удовлетворяет требуемым свойствам. Рассмотрим теперь единичный вектор e=(1,0,0,╪)^т. Тогда

||fne-0||=a1×╪×an.

Но поскольку произведение a₁×╪×a_n монотонно убывает к a > 0, то

||fne-0|| Ё a > 0,

то есть fⁿe никогда не сойдётся к нулю.

Отмечу напоследок, что такой фокус не проходит в конечномерном пространстве. Там наличие неподвижной точки и строгое неравномерное сжатие влекут глобальную устойчивость в силу того факта, что любой шар с центром в неподвижной точке переходит в себя и к тому же является предкомпактным, как и всякое ограниченное множество в конечномерном пространстве.