KOI WIN L^AT_EX PS PDF |== > К списку публикаций To the list of publications

Изучаются счетные системы дифференциальных уравнений [x\dot]=f(x) в X л l₁ с ограниченным оператором Якоби J(x)=╤f/╤x. Получены достаточные признаки глобальной устойчивости и глобальной асимптотической устойчивости, когда при любом x н X матрица J^т(x) является матрицей интенсивностей переходов некоторой счетной цепи Маркова и X - подмножество линейного аффинного многообразия.

Результаты применены к двум бесконечным системам, возникшим из современной теории массового обслуживания.

Ключевые слова и фразы. Нелинейные динамические системы, глобальная асимптотическая устойчивость, марковские процессы, сходимость, теория массового обслуживания.

1  Введение

2  Основные определения и результаты

Пусть x(t, g) - единственное решение системы уравнений

в x   =f(x),  x н l1,   f:l1╝ l1

(1)

с начальным условием x(t₀, g)=g н l₁, t₀ Ё 0. Более того, пусть x(t,g) непрерывно дифференцируемо зависит от начального условия, а производная F(t,g) = ╤x(t,g)/╤g решения по начальному условию непрерывна по g и удовлетворяет системе уравнений в вариациях:

в x   =f(x),   в F   =J(x)F,  x(t0,g)=g н l1,  F(t0,g)=I:l1╝ l1,

(2)

где J(x)=(╤f_i/╤x_j)_i,j=1^╔ - матрица оператора Якоби, а I - тождественный оператор.

Теорема 1 [локальная теорема существования] Пусть функция f(x) и ее производная J(x) при x н U_h(g) непрерывны и удовлетворяют условиям ||f(x)|| < M₀, ||J(x)|| < M₁. Тогда существует такое число d > 0, d =min(h/M₀,1/M₁), что для всякого t в интервале (t₀-d,t₀+d) дифференциальное уравнение (1) имеет одно и только одно решение, удовлетворяющее условиям x(t₀,g)=g и x(t,g) н U_h(g). При этом x(t,g) непрерывно дифференцируемо по начальному условию и его производная удовлетворяет уравнению (2).

В дальнейшем мы будем рассматривать задачи (2) с таким множеством X начальных условий, что решение x(t,g) н X определено при любом t Ё t₀=0, g н X. Следствие 1 позволяет проверять такое свойство у конкретных систем.

Далее у нас возникнет требование на неотрицательность недиагональных элементов матрицы J(g). Связь этого условия с поведением x(t,g) раскрывается в следующей теореме.

Теорема 2 Пусть x(t,g) н l₁ при любом t Ё 0 и g н l₁. Следующие утверждения равносильны:

\indent (i) для всех g недиагональные элементы J(g) неотрицательны;
\indent (ii) для всех g для любого h н l₁, h Ё 0 x(t,g+h) Ё x(t,g).

Последняя теорема допускает переформулировку для решений x(t,·), остающихся в некотором ``толстом'' множестве X л l₁. Однако технические условия, которые в этом случае надо наложить на X, затемнили бы существо дела, в то время как максимальной общности нам так и не удалось бы достичь.

Часто система (1) получается формальным переходом к пределу в последовательности систем

в x   (n)=f(n)(x(n)),  x(n) н l1,   f(n):l1╝ l1.

(3)

с начальным условием x⁽ⁿ⁾(0, g⁽ⁿ⁾)=g⁽ⁿ⁾ н l₁. Следующая оценка дает достаточные условия верности такого перехода.

Теорема 3 Пусть для всех s ё t^* ||f(x⁽ⁿ⁾(s,g⁽ⁿ⁾))-f⁽ⁿ⁾(x⁽ⁿ⁾(s,g⁽ⁿ⁾))|| < C(n,t^*) и ||f(x⁽ⁿ⁾(s,g⁽ⁿ⁾))-f(x(s,g))|| ё K||x⁽ⁿ⁾(s,g⁽ⁿ⁾)-x(s,g)||. Тогда

||x(n)(t,g(n))-x(t,g)|| ё [C(n,t*)+||g(n)-g||]eKt-C(n,t*)

при 0 ё t ё t^*.

Сразу получаем

Следствие 1 Если при фиксированном t^* в условиях теоремы 3 ||g⁽ⁿ⁾-g||╝ 0 и C(n,t^*)╝ 0, то ||x⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾)-x(t,g)||╝ 0 равномерно на любом подмножестве отрезка [0,t^*].

Линейное отображение A: l₁╝ l₁ назовем марковским, если A h Ё 0 при любом h Ё 0 и (1, ╪, 1, ╪)A=(1, ╪, 1, ╪). Заметим, что отображение A - марковское, если его транспонированная бесконечная матрица является стохастической.

Обозначим L={g н l₁ | g₀+╪ = 0}. Во всех последующих результатах мы предполагаем, что существует такое выпуклое множество X л c+L, c н l₁, что x(t,g) н X при всех g н X при любом t Ё 0 и exp(t J(g)) - марковское отображение. Выполнение этого условия можно обосновать с помощью следствия 1 (см. примеры в конце статьи).

Теорема 4 Для любых g⁰, g¹ н X при всех t Ё 0: ||x(t,g¹)-x(t,g⁰)|| ё ||g¹-g⁰||

Из этой теоремы мы получаем следующий достаточный признак ограниченности по норме решений x(t,g).

Следствие 2 Пусть $g^* н X: x(t,g^*)=g^*. Тогда ||x(t,g)-g^*|| ё ||g-g^*|| при t Ё 0, g н X.

Чтобы доказать сходимость всякого решения к стационарному, необходимо проверять дополнительные условия. Для марковского отображения A определим коэффициент эргодичности A по направлению g ╧ 0 посредством формулы k(A,g)=||g||-||Ag||. Для a Ё 0 и марковского A положим k(aA,g)=ak(A,g).

По определению положим a =sup_{i Ё 0}sup_{g н X}(- J_ii(g)). Предположим, что существует такая пропорциональная марковской бесконечная матрица B Ё 0, что

(а) для всех g н X J(g) + (a+z)I Ё B, где I является единичной матрицей, а z Ё 0 - некоторая константа;

(б) для t > 0 коэффициент эргодичности exp(tB) по любому фиксированному направлению g н L\{0} строго больше нуля: k(exp(tB), g) > 0.

Теорема 5 Если выпуклое X л c+L, где c н l₁, и выполнены условия (а) и (б), то для любого t > 0 и для любых g⁰, g¹ н X, g¹-g⁰ ╧ 0: ||x(t,g¹)-x(t,g⁰)|| < ||g¹-g⁰||.

Теперь, наконец, можно сформулировать желаемый признак сходимости.

Теорема 6 Пусть выполнены условия теоремы 5 и

а) существует единственная точка g^* н X, являющаяся стационарным решением (1): x(t,g^*)=g^*, f(g^*)=0;
б) при любом фиксированном g н X множество {x(t,g) | t Ё 0} предкомпактно в l₁.

Как будет видно из примеров, удобно проверять условия теоремы 6 для некоторого подмножества X, а затем использовать следующее утверждение.

Теорема 7 [об укорачивании змеи] Пусть

а) существует такое стационарное решение g^* н X, что $e > 0 для любого g н U_2e(g^*)гX: ||x(t,g)-g^*||╝ 0;

б) для любых g⁰, g¹ н X при любом t Ё 0: ||x(t,g¹) -x(t,g⁰)|| ё ||g¹-g⁰||.

Тогда для любого g н X: ||x(t,g)-g^*||╝ 0 при t╝╔.

Для того, чтобы проверять предкомпактность траекторий в п. б) теоремы 6, можно пользоваться следующей теоремой. На примерах, приведенных в конце статьи, мы поясним тонкости, связанные с применением теорем 5-8.

Теорема 8 Если

(i) существует такая однородная эргодичная положительно возвратная цепь Маркова со счетным числом состояний Nх{0} и непрерывным временем, с матрицей интенсивностей переходов Q=(q_ij), что Е_{l Ё k} J_lj(x(t,g)) ё Е_{l Ё k} q_ml при любых j ё m, k н {0, ╪, j} х{m+1,╪}, t Ё 0, g н X;

(ii) существует стационарная точка g^*=x(t,g^*) н X,

то для любого g н X траектория решения {x(t,g) | t Ё 0} предкомпактна.

3  Вспомогательные обозначения и утверждения

1  Компактность и сжатие.

Обозначим через x _{Ё k} вектор (0, ..., 0, x_k, x_k+1, ╪), у которого все координаты, начиная с k-й совпадают с соответствующими координатами вектора x, а предыдущие координаты равны 0.

Предложение 1 [критерий предкомпактности] Множество X л l₁ является предкомпактным тогда и только тогда, когда X ограничено и "e > 0 $k н N "x н X ||x _{Ё k}|| < e.

Предложение 2 Пусть отображение f: X╝ X компактного метрического пространства (X,r) в себя уменьшает расстояния, т.е. для любых x, y н X, x ╧ y, r(fx,fy) < r(x,y). Тогда отображение f имеет единственную неподвижную точку x^*=f(x^*) и lim_n╝╔r(fⁿ x, x^*)=0 при любом x н X.

Предложение 2 следует из следующего предложения, в котором сформулирован известный обобщенный принцип неподвижной точки [7,с.274, теорема 34.5].

Предложение 3 Пусть отображение f: X╝ X полного метрического пространства (X,r) обладает свойством: для любых x, y н X r(fx,fy) ё q(a,b)r(x,y), (a ё r(x,y) ё b), причем при 0 < a ё b < ╔ выполнено q(a,b) < 1. Тогда отображение f имеет единственную неподвижную точку y^* и lim_n╝╔ r(fⁿ x,y^*)=0 при любом "x н X.

Приведем короткое доказательство предложения 2. Доказательство. [ Доказательство предложения 2] Выбросим в декартовом произведении X×X все пары точек, расстояние между которыми строго меньше e. Для любой пары (x,y), принадлежащей оставшемуся множеству R, можно корректно определить коэффициент сжатия k(x, y)=r(fx, fy)/r(x , y) < 1. Поскольку R компактно, существует такое k₀ < 1, что "(x, y) н R: k(x, y) ё k₀.

Следовательно, "x, y н X "e > 0 $N=N(x, y, e) > 0: "n > N(x, y, e) r(fⁿx, fⁿy) < e, то есть, r(fⁿx, fⁿy)╝ 0 при n╝╔.

Пусть x н X. Рассмотрим последовательность x, fx, f²x, ╪ . Поскольку X компактно, она имеет предельную точку z, т.е. $k₁ < k₂ < ╪: f^k_ix╝ z. Покажем, что точка z переводится отображением f в себя.

Последовательность f^k_i+1x=f(f^k_i)x╝ fz. Отсюда r(z, fz)╛ r(f^k_ix, f(f^k_ix)). Но ранее доказано, что r(f^k_ix, f^k_ifx)╝ 0, в частности, для точек x и y=fx. Отсюда получаем z=fz, т.е. неподвижность точки z. Единственность очевидна, а сходимость уже доказана. q.e.d.

2  Свойства коэффициента эргодичности по направлению.

Линейное отображение A неотрицательно (положительно), если при всех h Ё 0, h ╧ 0: Ah Ё 0 (Ah > 0). Если A-B неотрицательно, мы пишем A Ё B, (если A-B положительно, A > B). Из определений следует, что бесконечные матрицы отображений просто сравниваются покомпонентно.

В дальнейшем нам потребуются следующие две леммы относительно неотрицательных бесконечных матриц, задающих ограниченные линейные операторы.

Лемма 1 Пусть A Ё B Ё 0 и C Ё D Ё 0. Тогда AC Ё BD Ё 0.

Для доказательства достаточно сложить неравенства (A-B)C Ё 0 и B(C-D) Ё 0. По индукции из этой леммы получаем, что если A₁ Ё B Ё 0, ╪, A_n Ё B Ё 0, то A_n╪A₁ Ё Bⁿ.

Лемма 2 Пусть g н L\{0}, A=aC, B=bD, где a > 0 и b > 0, а C и D - марковские отображения. Если A > B Ё 0, то k(A,g) > k(B,g). Если A Ё B Ё 0, то k(A,g) Ё k(B,g).

Доказательство. Очевидно, ||A||=a, ||B||=b. Ввиду неравенства треугольника ||Ag|| ё ||(A-B)g||+||Bg||. Если A-B > 0, то ||(A-B)g|| < ||A-B||||g||, ввиду того, что g н L\{0}. Поскольку ||(A-B)e_i||=a-b, то ||A-B||=||A||-||B||. Следовательно, ||Ag|| < ||A||||g||-||B||||g||+||Bg|| или ||B||||g||-||Bg|| < ||A||||g||-||Ag||, что и требовалось. Случай A Ё B рассматривается аналогично. q.e.d.

4  Доказательства основных утверждений

Лемма 3 Рассмотрим такое выпуклое множество X, что x(t,g) н X при любом g н X, а производная F(t,g) отображения x(t,g) задается системой уравнений (2). Тогда для любых g⁰, g¹ н X справедлива следующая формула:

x(t,g1)-x(t,g0)= С У 1 0  F(t,g(s)) (g1-g0) ds,

(4)

где g(s)=(1-s)g⁰+sg¹, 0 ё s ё 1.

Доказательство. Отображение x(t,·) переводит отрезок g(s) в кривую x(t,g(s)). В силу непрерывной дифференцируемости x(t,g) cправедлива формула

x(t,g(t)))=x(t,g0)+ С У t 0   ╤x(t,g(s)) ╤s ds.

По формуле сложной производной

╤x(t,g(s)) ╤s =  ╤x(t,·) ╤g (g(s)) g╒(s).

Вспоминая, что ╤x(t,·)/╤g=F(t,·) и g╒(s)=g¹-g⁰, при t = 1 получаем (4). q.e.d.

Доказательство. [ Доказательство теоремы 2] Пусть выполнено (i). Тогда, ввиду (4),

x(t,g+h)-x(t,g)= С У 1 0  F(t,g(s)) h ds,

где g(s)=g+sh, 0 ё s ё 1. В силу неотрицательности J(g) вне диагонали, из (2) получаем F(t,g(s)) Ё 0, а следовательно, F(t,g(s))h Ё 0, откуда и получаем (ii).

Пусть теперь выполнено (ii). Решение x(t,g)=g+y(t,g), где y(t,g) является неподвижной точкой отображения Пикара (Pq)(t) = Р_t0^t f(g+q(t)) dt при t н [t₀-d₁, t₀+d₁], d₁ < d (см. условие теоремы 1). Отображение P является сжимающим с коэффициентом l =d₁ M₁ < 1. Рассмотрим приближение к решению [x\tilde](t,g)=g+[y\tilde](t,g)=g+(t-t₀)f(g). Из теоремы о сжимающих отображениях следует, что

|| ~ x   (t,g)-x(t,g)||=|| ~ y   (t,g)-y(t,g)|| ё  1 1-l ||P ~ y   (t,g)- ~ y   (t,g)||.

Вычисляем

P ~ y   (t,g)- ~ y   (t,g) = С У t t0  f(g+(t-t0)f(g))dt- С У t t0  f(g)dt = = С У t t0  Ф Х f(g+(t-t0)f(g))-f(g) Ж Ь dt = D.

Поскольку производная f ограничена, сама функция f - липшицева с константой M₁, откуда следует, что ||f(g+(t-t₀)f(g))-f(g)|| ё M₁||(t-t₀)f(g)|| ё M₀M₁ |t-t₀|, а следовательно, ||D|| ё M₀ M₁(t-t₀)²/2 или

|| ~ x   (t,g)-x(t,g)|| ё M0 M1(t-t0)2/2(1-l).

В силу этой оценки для всех достаточно малых z > 0

0 ё x(t,g+zej)-x(t,g) = zej +(t-t0)[f(g+zej)-f(g)] +g(g,t),

где ||g(g,t)|| ё M₀ M₁ (t-t₀)²/(1-l). Компонента i ╧ j последнего неравенства имеет вид

0 ё (t-t0)[fi(g+zej)-fi(g)] +gi(g,t)

Разделив на t-t₀ > 0 и устремив t╝ t₀ справа, ввиду g_i(g,t)/(t-t₀)╝ 0 получим

0 ё fi(g+zej)-fi(g).

Поделим последнее выражение на z и устремим z╝ 0. Получим

0 ё lim z╝ 0+   fi(g+zej)-fi(g) z =  ╤fi ╤gj =Jij(g),

что и означает выполнение (i). q.e.d.

Доказательство. [ Доказательство теоремы 3] Преобразовывая дифференциальные уравнения в интегральные, получаем

x(t,g)=g+ С У t 0  f(x(s,g))ds, x(n)(t,g(n))=g(n)+ С У t 0  f(n)(x(n)(s,g(n)))ds.

Отсюда с учетом выполнения условия Липшица на f при t < t^*

||x(n)(t,g(n))-x(t,g)|| ё ||g(n)-g||+ С У t 0  ||f(n)(x(n)(s,g(n)))-f(x(s,g))||ds ё        ё ||g(n)-g||+ С У t 0  ||f(n)(x(n)(s,g(n)))-f(x(n)(s,g(n)))||ds+                                         + С У t 0  ||f(x(n)(s,g(n)))-f(x(s,g))||ds ё        ё ||g(n)-g||+ C(n,t*)t+K С У t 0  ||x(n)(s,g(n))-x(s,g)||ds.

Вводя обозначение f(t)=||x⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾)-x(t,g)|| Ё 0, получаем интегральное неравенство

f(t) ё ||g(n)-g||+ C(n,t*)t+K С У t 0  j(s) ds.

Например, из [9,с. 154-155] известно, что f(t) ё y(t), где

y(t)=||g(n)-g||+ C(n,t*)t+K С У t 0  y(s) ds,

откуда y(t)=(||g⁽ⁿ⁾-g||+ C(n,t^*))e^Kt-C(n,t^*). q.e.d.

Доказательство. [ Доказательство теоремы 4] Ввиду (4)

||x(t,g1)-x(t,g0)|| ё С У 1 0  ||F(t,g(s)) (g1-g0)||ds,

(5)

Поскольку для любых t Ё 0, s н [0, 1] отображение F(t,g(s)) марковское, ||F(t,g(s)) (g¹-g⁰)|| ё ||g¹-g⁰||. Оценивая с помощью этого неравенства интеграл, получаем требуемое. q.e.d.

Доказательство. [ Доказательство теоремы 5] Введем

Y(t)=Fexp((a+z)t)

и

A=J Ф Х x(t,g) Ж Ь +(a+z)I.

Из неравенства A(t) Ё B и уравнения Y╒(t)=A(t)Y(t), Y(0)=I с помощью леммы 1 можно получить следующую оценку:

Y(t) Ё exp(tB).

Принимая во внимание лемму 2 и условие (б), для любого g н L\{0} получаем

k(Y(t),g) Ё k(exp(tB),g) > 0.

Поскольку

k(F,g) = k(Y,g)exp Ф Х -(a+z)t Ж Ь ,

обнаруживаем, что k(F,g) > 0, или ||F||||g||-||Fg|| > 0. Поскольку ||F||=1, находим, что ||Fg|| < ||g||. Для завершения доказательства надо использовать это неравенство в (5), помня, что g¹-g⁰ н L\{0}. q.e.d.

Доказательство. [ Доказательство теоремы 6] Зафиксируем некоторое g н X. Из условия б) теоремы 6 следует, что замыкание траектории w = [`({x(t,g) | t Ё 0})] - компактное множество. Из определения вытекает, что множество w инвариантно относительно отображения x(t,·):w╝w при любом t Ё 0. Введем семейство последовательностей t_n^k=n/2^k при n, k н Nх{0}. В силу теоремы 5 и предложения 2 для всех h н w x(t^k_n,h)╝ g^k* при n╝ ╔. Поскольку x(t^k_n,h) - подпоследовательность последовательности x(t^k+1_n,h), предел g^(k+1)*=g^k* = g^0*. Отметим, что g^0*, вообще говоря, зависит от g.

Мы показали, что для возрастающей последовательности двоично-рациональных чисел t_l с равномерно ограниченными знаменателями u(t_l,g)╝ g^0*. Докажем то же самое для произвольной последовательности t_l╝╔. Для этого, как известно из анализа, достаточно показать "e > 0 $T=T(g,e): "t > T ||x(t,g)-g^0*|| < e.

При фиксированном g существует t = t(g,e) > 0: "t н [0,t] ||x(t,g)-g|| < e/2. Выберем такое k=k(g,e), чтобы выполнялось неравенство t > 1/2^k. Определим s(t)=[2^kt]/2^k, где [y] - наибольшее целое число, не превосходящее y. Поскольку x(t^k_n,g)╝ g^0*, существует такое N, что при любом n > N ||x(t_n^k,g)-g^0*|| < e/2.

При t > T = t_N^k можно записать следующие неравенства:

||x(t,g)-g0*|| =||x(t,g)-x(s(t),g)+x(s(t),g)-g0*|| ё ё ||x(t,g)-x(s(t),g)||+||x(s(t),g)-g0*|| ё ё ||x(t-s(t),g)-g||+||x(s(t),g)-g0*|| ё e/2+e/2=e,

что и требовалось.

В частности, g^0*=x(t,g^0*) при любом t, откуда f(g^0*)=0. Из п. а) теоремы 6 вытекает совпадение g^0*=g^*. q.e.d.

Доказательство теоремы 7. Предположим справедливость условия

A. Всякая такая точка g, что ||g-g^*|| Ё 2e за некоторое конечное время T(g) приближается к g^* на e/2: ||x(T(g),g)-g^*|| ё ||g-g^*||-e/2.

Определим по индукции T^k(g)=T(x(T^k-1(g), g)), T¹(g)=T(g). Поскольку A справедливо, то существует такое конечное m, что ||x(T^m(g),g)-g^*|| < 2e. Пользуясь условием а) теоремы 7, получаем, что ||x(t+T^m(g),g)-g^*||╝ 0 при t╝╔, что и требовалось.

Для доказательства A введем h=e(g-g^*)/||g-g^*||. Существует такое конечное T=T(g), что ||x(T,g^*+h)-g^*|| < ||h||/2=e/2. Ввиду п. б) теоремы 7 для такого T

||x(T,g)-g*|| ё ||x(T,g)-x(T,g*+h)||+||x(T,g*+h)-g*|| ё ё ||g-(g*+h)||+||h||/2=||(g-g*) Ф Х 1-  e ||g-g*|| Ж Ь ||+e/2= =||g-g*||-e/2.   q.e.d.

Достаточное условие предкомпактности. Напомним понятие сравнимости марковских процессов из [10]. Всякий вектор g н e₀+L, g Ё 0 можно рассматривать как распределение дискретной случайной величины, принимающей значение i Ё 0 с вероятностью g_i.

Рассмотрим переходные функции P¹(t,t) и P²(t,t) двух марковских цепей с непрерывным временем и множеством состояний Nх{0}. Элемент P¹_ij(t,t) (P²_ij(t,t)) равняется вероятности того, что в момент t цепь находится в состоянии j при условии, что в момент t она находилась в состоянии i.

Введем отношение порядка \prec на неотрицательных векторах из e₀+L: g¹\prec g², если Е_{l Ё j}g¹_l ё Е_{l Ё j}g²_l при всех j Ё 0. Переходные функции P¹ и P² сравнимы и P¹(t,t)\prec P²(t,t), если для любых вероятностных g¹\prec g² для любых t Ё t выполнено (g¹)^тP¹(t,t)\prec (g²)^тP²(t,t). В [10] показано, что P¹(t,t)\prec P²(t,t) тогда и только тогда, когда e_i^тP¹(t,t)\prec e_j^тP²(t,t) при любых t Ё t и i ё j.

Будем считать, что P¹ и P² удовлетворяют уравнениям Колмогорова

в P   1   =P1 Q1(t),  в P   2   =P2 Q2(t)

с неоднородными матрицами интенсивностей перехода Q¹(t)=(q¹_ij(t)) и Q²(t)=(q²_ij(t)).

Теорема 9 Пусть (Q¹)^т(s) и (Q²)^т(s) - ограниченные линейные операторы, непрерывные по s в норме l₁ при любых s Ё 0. В этом случае P¹(t,t)\prec P²(t,t) при любых t Ё t Ё 0 тогда и только тогда, когда Е_{l Ё k} q⁽¹⁾_jl(s) ё Е_{l Ё k} q⁽²⁾_ml(s) при любых j ё m, k н {0, ╪, j} х{m+1,╪} и s н [t,t].

Доказательство. В случае постоянных переходных интенсивностей (Q¹(s) ╨ Q¹ и Q²(s) ╨ Q²) теорема 9 доказана в [10].

В общем случае необходимость можно показать подобно [10]. Достаточность мы получим предельным переходом.

Из того, что P¹(t,s)\prec P²(t,s) и P¹(s,t)\prec P²(s,t), следует P¹(t,t)\prec P²(t,t). Поэтому достаточность можно доказывать для какой-нибудь малой разности t-t. В силу непрерывности и ограниченности Qⁱ(t) при небольшой разности t-t решение Pⁱ(t,t) получается последовательными приближениями Пикара. Этим мы и воспользуемся в дальнейшем.

Положим h=(t-t)/n а t_i=t+ih. Через [x] обозначим наибольшее целое число y ё x. Положим

Pin(t,t)=exp(h Qi(t0)) ╪exp(h Qi(tn-1)), i=1,2.

Из случая постоянных интенсивностей и транзитивности отношения \prec следует, что P¹_n(t,t)\prec P²_n(t,t).

Остается доказать, что Pⁱ_n(t,t)╝ Pⁱ(t,t). Положим l(s)=[(s-t)/h]. Определим

Pin(t,s)=Dih(s)exp Ф Х (s-tl(s))Qi(tl(s)) Ж Ь , Dih(s)=exp Ф Х h Qi(t0) Ж Ь ╪exp Ф Х h Qi(tl(s)-1) Ж Ь .

Справедлива оценка на близость Pⁱ_n(t,t) и Pⁱ(t, t), аналогичная оценке, использованной в теореме 2:

||(Pin(t,t)-Pi(t,t))т|| ё  1 1-l ||(PPin(t,t)-Pin(t,t))т||.

Вычислив

PPin(t,t)= С У t t  Dih(s)exp Ф Х (s-tl(s))Qi(tl(s)) Ж Ь Qi(s) ds,

переписав Pⁱ_n(t,t) в виде

Pin(t,t)= С У t t  Dih(s)exp Ф Х (s-tl(s))Qi(tl(s)) Ж Ь Qi(tl(s)) ds

и используя стохастичность экспонент матриц интенсивности, получаем

||(Pin(t,t)-Pi(t,t))т|| ё С У t t  ||(Qi(s)-Qi(tl(s)))т||ds╝ 0

при n╝╔ в силу равномерной непрерывности функции Qⁱ(s) на отрезке [t,t]. q.e.d.

Доказательство. [ Доказательство теоремы 8] Хорошо известно (см., например, [11]), что цепь Маркова из условия (i) обладает единственным собственным инвариантным распределением, которое мы обозначим через p н l₁. Вектор p можно найти из уравнения p^тQ=0. Обозначим через |x| покомпонентный модуль x н l₁. В силу условия (ii) теоремы 8 и (4)

|x(t,g)| ё |g*|+ С У 1 0  F(t,g(s)) |g-g*|ds.

(6)

Обозначим через P(t) решение уравнения [P\dot]=PQ, P(0)=I. Из условия доказываемой теоремы и теоремы 9 следует, что F(t,g(s))^т\prec P(t) при любом s н [0,1]. Для x н l₁ определим суммы ``хвостов'' S_k(x)=|x_k|+|x_k+1|+╪ . Кроме того, обозначим h=|g-g^*|/||g-g^*||: очевидно, h - вероятностный вектор. Из (6), условия (i) 8 и теоремы 9 следует, что

Sk(x(t,g)) ё Sk(g*)+||g-g*||Sk Ф Х С У 1 0  F(t,g(s)) h ds Ж Ь ё ё Sk(g*)+||g-g*||Sk(P(t)тh) ё ё Sk(g*)+||g-g*||(Sk(|P(t)тh-p|)+Sk(p)) ё ё Sk(g*)+||g-g*||(||P(t)тh-p||+Sk(p)).

Поскольку g^*, p н l₁, $k₁, k₂: S_k1(g^*) < e/3 и S_k2(p) < e/3||g-g^*||. В силу [11,теорема 6.38], $T "t Ё T: ||P(t)^тh-p|| < e/3||g-g^*||. Положив k=max(k₁,k₂), получаем при t Ё T S_k(x(t,g)) ё e при любом g н X. Применяя критерий предкомпактности (предложение 1), получаем предкомпактность множества {x(t,g) | t Ё T}. Множество {x(t,g) | 0 ё t ё T} компактно, поскольку является непрерывным образом отрезка [0,T]. q.e.d.

5  Примеры

1  Система обслуживания с выбором наименьшей из двух очередей.

Рассмотрим уравнения среднего поля из [1]

в V   = u1 - l, в u   1  = l- (1+lu1)u1 +u2, в u   2  = lu12 - (1+lu2)u2 +u3, ╪ в u   k  = lu2k-1-(1+luk)uk +uk+1, ╪

(7)

Обозначим через u(t, g) единственное решение последней системы с начальным условием u(0, g)=g н l₁. Будем сокращенно [u\dot]=f(u) обозначать уравнение (7). Для обоснования локального существования и единственности решения u(t, g) воспользуемся теоремой 1. Действительно, в ограниченном шаре ||u|| ё C, ||f(u)|| ё 3(1+lC)||u|| ё 3(1+lC)C. Матрица Якоби (7) имеет следующий вид:

J(u) = Ф Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Х 0 1 0 0 0 ... 0 -b1 1 0 0 ... 0 2lu1 -b2 1 0 ... 0 0 2lu2 -b3 1 ... 0 0 0 2lu3 -b4 ... 0 0 0 0 2lu4 ... : : : : : ··· Ж В В В В В В В В В В В В В Ь ,

(8)

где b_i = 1+2lu_i. Из вида J(u) следует, что ||J(u)|| ё 2(1+lC) при ||u|| < C. Все условия теоремы 1 выполнены, а следовательно, решение u(t,g) существует в некоторой окрестности t₀=0.

Лемма 4 Множество

U = {(V, u1, u2, ╪) | 1 Ё u1 Ё u2 Ё ╪ Ё 0,  V+ ╔ Е k=1  uk = 0}

(9)

является инвариантым множеством системы (7).

Доказательство. Введем конечномерную аппроксимацию (7) при n > 17:

в V   = u1 - l+lun2, в u   1  = l- (1+lu1)u1 +u2, в u   2  = lu12 - (1+lu2)u2 +u3, ╪ в u   n-1  = lu2n-2-(1+lun-1)un-1 +un, в u   n  = l(un-12-un2) - un, в u   n+1  =0, в u   n+2  =0, ╪

(10)

которую кратко обозначим [u\dot]⁽ⁿ⁾ =f⁽ⁿ⁾(u⁽ⁿ⁾), и множества

U(n)= {(V, u1, u2, ╪, un, 0, 0, ╪) | 1 Ё u1 Ё ╪ Ё un Ё 0,  V+ n Е k=1  uk = 0}.

(11)

Начальному условию g н U задачи (7) сопоставим начальное условие g⁽ⁿ⁾ =(-(g₁+╪+g_n), g₁, g₂, ╪, g_n,0,0,╪) н U⁽ⁿ⁾. Решение (10) с начальным условием g⁽ⁿ⁾ обозначим через u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾). Легко показать ([1,лемма 1] или [5,раздел 5]), что при любом t Ё 0 решение u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾) н U⁽ⁿ⁾.

В силу теоремы 3 u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾)╝ u(t,g). Действительно, отображение f удовлетворяет условию Липшица. Из (7) и (10) вытекает f(u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾))-f⁽ⁿ⁾(u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾))=-l(u_n⁽ⁿ⁾)² e₀+l(u_n⁽ⁿ⁾)²e_n+1. Из (10) получаем [u\dot]_n⁽ⁿ⁾ ё l, откуда u_n⁽ⁿ⁾(t) ё g_n+lt. Поэтому ||f(u⁽ⁿ⁾(s,g⁽ⁿ⁾))-f⁽ⁿ⁾(u⁽ⁿ⁾(s,g⁽ⁿ⁾))|| ё 2l(g_n+lt)² ё 2l(g_n+lt^*)² при s ё t^*. Следовательно, условия теоремы 3 выполнены.

Предположим теперь, что при g н U и при некотором t > 0 u(t,g) о U. Поскольку u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾)╝ u(t,g), получаем $n: u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾) о U⁽ⁿ⁾, что, как уже говорилось, в силу [1,лемма 1] неверно. q.e.d.

При 0 ё l < 1 легко найти стационарное решение u(t,g^*)=g^* при t Ё 0 и доказать его единственность в U. При l Ё 1 стационарного решения нет.

Теорема 10 Если 0 < l < 1, то для любого g н U: ||u(t,g)-g^*||╝ 0 при t╝╔.

Заметим, что в [1] доказана лишь покоординатная сходимость, поэтому наша теорема сильнее теоремы из [1].

Доказательство. Докажем выполнение условий теоремы 6 для множества X_C={ g н U | ||g-g^*|| < C }, C > 0. Условие а) теоремы 6 выполняется автоматически. Проверим выполнение условия б) теоремы 6, т.е. докажем предкомпактность любой траектории u(t,g) при g н X_C.

Матрица J(u) имеет отрицательные элементы только на диагонали, множество X_C л L, а точка g^* н X_C. Следовательно, выполнены условия следствия 2 и

||u(t,g)|| ё ||u(t,g)-g*||+||g*|| ё ||g-g*||+||g*|| ё C+||g*|| ё C+||g*||.

Для g н X_C из Е_{k Ё 1} g_k ё C+||g^*|| и неувеличения неотрицательных g_k получаем оценку g_k ё (C+||g^*||)/k, справедливую при k Ё 1.

Зафиксируем такое k^* > 17, что

2l  C+||g*|| k* < 1 и  C+||g*|| k* < 1.

Положим z = 2l[(C+||g^*||)/(k^*)]. Введем цепь Маркова с пространством состояний Nх{0} со следующими переходными интенсивностями:

интенсивность перехода 0╝1 равна 1+2l,

при 0 < k ё k^* интенсивность перехода k╝ k-1 равна 1, а интенсивность перехода k╝ k+1 - 2l,

при k^* < k интенсивность перехода k╝ k-1 равна 1, а интенсивность перехода k╝ k+1 равна z < 1.

Цепь эргодична в силу критерия Фостера. Для наглядности выпишем транспонированную матрицу переходных интенсивностей

Qт= Ф Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Х -b 1 0 0 ... 0 0 0 0 ... b -b 1 0 ... 0 0 0 0 ... 0 2l -b 1 ... 0 0 0 0 ... 0 0 2l -b ... 0 0 0 0 ... : : : : ··· : : : : ··· 0 0 0 0 ... -b 1 0 0 ... 0 0 0 0 ... 2l -g 1 0 ... 0 0 0 0 ... 0 z -g 1 ... 0 0 0 0 ... 0 0 z -g ... : : : : ··· : : : : ··· Ж В В В В В В В В В В В В В В В В В В В Ь ,

где b =1+2l, g =1+z. Условия теоремы 8 выполнены, а значит, траектория {u(t,g) | t Ё 0} предкомпактна.

Остается проверить выполнение условий теоремы 5. Введем матрицу

B = Ф Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Х 1 1 0 0 0 ... 0 0 1 0 0 ... 0 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 1 ... 0 0 0 0 0 ... : : : : : ··· Ж В В В В В В В В В В В Ь .

Очевидно, J(u)+(2+2lI) Ё B. Из формулы exp(tB) = I+tB+ t²B/2!+╪ следует, что при t > 0 все элементы верхней строки матрицы B строго больше нуля. Предположим, что для какого-то g н L\{0}: ||(exp(t B)) g||=||exp(t B)||||g||. В силу положительности первой строки exp(t B) получаем ||(exp(t B)) g|| < ||(exp(t B)) |g||| и приходим к противоречию, ибо |||g|||=||g||. Следовательно, 0 < ||exp(t B) ||||g||-||(exp(t B))g|| =k(exp(tB),g).

Условия теоремы 6 выполнены, и из нее следует, что u(t,g)╝ g^* при любом g н X_C. Остается воспользоваться теоремой 7 при X=U и 2e < C. q.e.d.

2  Транспортная сеть

Пусть r > 0. Рассмотрим уравнения среднего поля для симметричной транспортной сети, которая получается при m╝╔ из системы, рассмотренной в [5]

в V   =lu1 -V, в u   1  = l(u2-u1) + V(1-u1), в u   2  = l(u3-u2) + V(u1-u2), в u   3  = l(u4-u3) + V(u2-u3), ╪ в u   k  = l(uk+1-uk) - V(uk-1-uk). ╪

(12)

Обозначим через u(t, g) единственное решение последней системы с начальным условием u(0, g)=g н l₁. Уравнение (12) сокращенно будем обозначать [u\dot]=f(u). Для обоснования существования и единственности локального решения u(t, g) воспользуемся теоремой 1. Действительно, в ограниченном шаре ||u|| ё C, ||f(u)|| ё 3(l+C)(1+||u||) ё 3(l+C)(1+C). Матрица Якоби (12) имеет следующий вид:

J(u) = Ф Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Х -1 l 0 0 0 ... 1-u1 -b l 0 0 ... u1-u2 V -b l 0 ... u2-u3 0 V -b l ... u3-u4 0 0 V -b ... u4-u5 0 0 0 V ... : : : : : ··· Ж В В В В В В В В В В В В В Ь ,

(13)

где b = l+V. Из вида J(u) следует, что ||J(u)|| ё max(2(l+||u||),2(1+||u||)) при ||u|| < C. Условия теоремы 1 выполнены, и для g н l₁ в некоторой окрестности t₀=0 существует решение u(t,g).

Лемма 5 Множество

U = {(V, u1, u2, ╪) | 1 Ё u1 Ё u2 Ё ╪ Ё 0, V Ё 0,  V+ ╔ Е k=1  uk = r}

(14)

является инвариантым множеством системы (12) при r > 0.

Доказательство. Введем конечномерную аппроксимацию (12) при n > 17:

в V   =lu1 - V(1-un), в u   1  = l(u2-u1) + V(1-u1), в u   2  = l(u3-u2) + V(u1-u2), в u   3  = l(u4-u3) + V(u2-u3), ╪ в u   n-1  = l(un-un-1) + V(un-2-un-1), в u   n  = -lun + V(un-1-un), в u   n+1  =0, в u   n+2  =0, ╪,

(15)

и множества

U(n)= {(V, u1, u2, ╪, un, 0,0,╪ ) | 1 Ё u1 Ё ╪ Ё un Ё 0,V Ё 0         V+ n Е k=1  uk = r}.

(16)

Начальному условию g н U задачи (12) сопоставим начальное условие

g(n)=  ||g|| g0+ ╪+ gn (g0, g1, g2, ╪, gn,0,0,╪) н U(n).

Решение (15) с начальным условием g⁽ⁿ⁾ обозначим через u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾). Легко показать [5,раздел 4], что при любом t Ё 0 решение u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾) н U⁽ⁿ⁾.

В силу теоремы 3 u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾)╝ u(t,g). Действительно, отображение f удовлетворяет условию Липшица. Из (12) и (15) вытекает f(u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾))-f⁽ⁿ⁾(u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾))=-V⁽ⁿ⁾u_n⁽ⁿ⁾e₀+V⁽ⁿ⁾u_n⁽ⁿ⁾e_n+1. Поскольку u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾) н U⁽ⁿ⁾, V⁽ⁿ⁾ ё r и u_n⁽ⁿ⁾ ё r/n. Поэтому ||f(u⁽ⁿ⁾(s,g⁽ⁿ⁾))-f⁽ⁿ⁾(u⁽ⁿ⁾(s,g⁽ⁿ⁾))|| ё 2r²/n при s ё t^*. Следовательно, условия теоремы 3 выполнены.

Предположим теперь, что при g н U и при некотором t > 0 u(t,g) о U. Поскольку u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾)╝ u(t,g), получаем, что $n: u⁽ⁿ⁾(t,g⁽ⁿ⁾) о U, что в силу [5,раздел 4] неверно. q.e.d.

При l > 0 легко найти стационарное решение u(t,g^*)=g^* при t Ё 0 и доказать его единственность в U. Действительно, приравнивая правые части (12) к нулю, получаем f(g^*)=0, откуда u₁^*=V/l =r, u_k=r^k. Принимая во внимание, что V+u₁+╪ = r, получаем уравнение на r:

r 1-r =r-lr,

которое имеет единственное решение r^* при r > 0. Таким образом, g^*₀=lr^*, g^*_k=(r^*)^k.

Теорема 11 При l > 0 для любого g н U: ||u(t,g)-g^*||╝ 0 при t╝╔.

Доказательство. [ Доказательство теоремы 11] Введем множество X_e={g н U | ||g-g^*|| < e}. В силу следствия 2 множество X_e инвариантно относительно отображения u(t,·) при любом t Ё 0. Выберем e > 0 таким, чтобы выполнялись строгие неравенства r^*+e/l < 1 и r^*-e > e. Введем семейство множеств X_e,C={g н X_e | g_k < C/k² при k > 0}. Докажем, что при достаточно больших C множество X_e,C инвариантно относительно системы (12). Существует такое k^* > 17, что при любом k > k^* выполнено неравенство

Ф Х r*+  e l Ж Ь  2k-1 (k-1)2 -  2k+1 (k+1)2 < 0.

(17)

Выберем C > (k^*)². Заметим, что при таких C для всякого g н X_e,C для k ё k^* имеем g_k ё 1 < C/k². Рассмотрим теперь координаты с номерами k > k^*. Докажем, что при k > k^* координата k не может приблизиться к C/k². Действительно, предположим, что в момент t координата u_k(t,g)=C/k². Тогда

в u   k  ё l Ф Х  C (k+1)2 -  C k2 Ж Ь +u0 Ф Х  C (k-1)2 -  C k2 Ж Ь ё ё lC Ф Х  k2-(k+1)2 (k+1)2k2 + Ф Х r*+  e l Ж Ь  k2-(k-1)2 (k-1)2k2 Ж Ь < 0,

поскольку |u₀-lr^*|=|g₀-g₀^*| < e, и выполнено (17). Напомним, что |u₀(t,g)-g₀^*| ё ||u(t,g)-g^*|| < e, поскольку g н X_e. Таким образом, мы пришли к противоречию.

Положим

ak=  C k2 -  C (k+1)2 .

Введем цепь Маркова с пространством состояний Nх{0} и со следующими переходными интенсивностями:

интенсивность перехода 0╝ k при k > 0 равна a_k,

при k > 0 интенсивность перехода k╝ k-1 равна l, интенсивность перехода k╝ k+1 равна lr^*+e+a_k+1, а интенсивность перехода k╝ l при l > k+1 равна a_l.

Цепь эргодична в силу критерия Фостера и конечности суммы Еk a_k. Для наглядности выпишем транспонированную матрицу переходных интенсивностей

Qт= Ф Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Х - Е ai l 0 0 0 ... a1 -z1 l 0 0 ... a2 x+a2 -z2 l 0 ... a3 a3 x+a3 -z3 l ... a4 a4 a4 x+a4 -z4 ... : : : : : ··· Ж В В В В В В В В В В В В Ь ,

где z_k=-(l+lr^*+e+C/(k+1)²), x = lr^*+e. Проверим выполнение условий теоремы 8 для X_C,e. Неравенства п. а) теоремы 8 сводятся к неравенствам -l ё -l, V ё lr^*+e, u_k ё C/k². Разберем, например, случай j=0, m=1. Тогда неравенства надо проверять лишь при k Ё m+1. Заметим, что Е_{l Ё k} J_lj = Е_{l Ё k} (u_l-u_l+1)=u_k, а

Е l Ё k  qml = Л О О М О О Н x+ Е l Ё k  ak=x+C/k2 при k=m+1=2, Е l Ё k  ak=C/k2 при k > m+1=2.

При k=m+1=2 получаем неравенство u_k ё x+C/k², вытекающее из неравенства u_k ё C/k². При k > m+1=2 получаем в точности неравенство u_k ё C/k². Условия теоремы 8 выполнены, а значит траектория {u(t,g) | t Ё 0} предкомпактна.

Остается проверить выполнение условий теоремы 5. Введем матрицу

B = Ф Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Г Х e e 0 0 0 ... 0 0 e 0 0 ... 0 0 0 e 0 ... 0 0 0 0 e ... 0 0 0 0 0 ... : : : : : ··· Ж В В В В В В В В В В В Ь .

Из неравенства, r^*+e/l < 1 следует, что e ё l. Отсюда заключаем J(u)+(l+r+1) Ё B. Из формулы exp (tB) = I+tB+ t²B²/2!+╪ следует, что при t > 0 все элементы верхней строки матрицы B строго больше нуля. Предположим, что для какого-то g н L\{0}: ||(exp(t B)) g||=||exp(t B)||||g||. В силу положительности первой строки exp(t B) получаем ||(exp(t B))g|| < ||(exp(t B))|g||| и приходим к противоречию, поскольку |||g|||=||g||. Следовательно, 0 < ||exp(t B)||||g||-||(exp(t B))g||=k(B,g).

Условия теоремы 6 выполнены и из нее следует, что при любом g н X_e,C: u(t,g)╝ g^*.

Покажем теперь, что для любого g н X_e/2: u(t,g)╝ g^*. Для этого необходимо показать, что при всех d > 0 $T "t Ё T: ||u(t,g)-g^*|| < d. Для любого g н X_e/2 существует такое l > k^*, что для

^ g   =  ||g|| g0+╪+gl-1 (g0,╪, gl-1,0,0,╪)

расстояние ||g-[^g]|| < min(d/2,e/2). Из ||[^g]||=r и финитности [^g] получаем [^g] н X_e,l². Но в силу уже доказанной сходимости для этого [^g] н X_e,l² существует такое T, что при всех t Ё T: ||u(t,[^g])-g^*|| < d/2. Пользуясь теоремой 4, заключаем, что при t Ё T: ||u(t,g)-g^*|| ё ||u(t,g)-u(t,[^g])||+||u(t,[^g])-g^*|| < d/2+d/2=d.

Остается воспользоваться теоремой 7 при множестве X=U. q.e.d.

6  Границы применения и возможные обобщения

1  Работы по дисциплинам маршрутизации.

Чтобы пояснить, почему это так, вернемся к системе [1]. На самом деле, в [1] изучалась система

в u   1  = l- (1+lu1)u1 +u2, в u   2  = lu12 - (1+lu2)u2 +u3, ╪ в u   k  = lu2k-1-(1+luk)uk +uk+1 ╪

(18)

в инвариантном множестве U╒={(u₁,u₂,╪,) | 1 Ё u₁ Ё u₂ Ё ╪ Ё 0}. В [1] доказано, что система (18) покоординатно монотонна в U╒. Замеченное свойство монотонности существенно используется в доказательстве сходимости. В силу теоремы 2, это означает, что все недиагональные элементы матрицы Якоби (18) неотрицательны. Для того, чтобы система попала под действие наших теорем, мы вводим дополнительную переменную V=-(u₁+u₂+╪): [V\dot]=-l+u₁. Нам повезло: частная производная скорости V по всем u_j неотрицательна, а следовательно, матрица Якоби расширенной системы с переменной V также имеет отрицательные элементы только на диагонали. Только после этого начинают работать наши теоремы.

В доказательстве теорем о сходимости в [2] использовалась покоординатная монотонность решений. Вспоминая теорему 2, получаем неотрицательность недиагональных элементов матриц Якоби соответствующих бесконечных систем дифференциальных уравнений. Для создания искуственного интеграла мы введем переменную V=-(u₁+u₂+╪). Во всех системах, рассмотренных в [2], [V\dot]=-l+u₁. Следовательно, матрица Якоби становится неотрицательной вне диагонали, что позволяет применять наши теоремы.

2  Интерпретация неотрицательности элементов матрицы Якоби.

Здесь необходимо вспомнить, что система (18) описывает поведение длин очередей на приборах. Грубо говоря (более подробно, см. [1] или  [2]), u_k - это доля приборов, в очереди на обслуживание к которым стоит не менее, чем k заявок (включая заявку, обслуживаемую в данный момент). Неотрицательность элементов матрицы Якоби свидетельствует о том, что интенсивность изменения u_k (т.е. производная u_k по времени) может лишь увеличиваться за счет u_j при j ╧ k. Она может уменьшаться (или не уменьшаться) только за счет u_k. Таким образом, при увеличении доли очередей с минимальным числом заявок j в системе интенсивность изменения доли очередей с минимальным числом заявок k ╧ j может лишь возрасти.

Добавление дополнительной переменной V=-(u₁+u₂+╪) для введения искусственного первого интеграла также имеет свою интерпретацию. Сумма u₁+u₂+╪ равна математическому ожиданию числа заявок в очереди. Назовем V загрузкой системы. Если частная производная [V\dot] по u_k: ╤[V\dot]/╤u_k Ё 0, то это означает, что интенсивность изменения загрузки может лишь увеличиваться при увеличении u_k. Т.е., при увеличении числа заявок в очередях, система может лишь ускорить работу по их обслуживанию (или, если наблюдается неэргодичный случай, интенсивность увеличения загрузки возрастает).

3  Устойчивость бесконечной системы, описывающей большую симметричную замкнутую сеть Джексона ([6])

4  Дальнейшие обобщения: периодические решения

В заключение авторы благодарят Л.Г. Афанасьеву и Н.Д. Введенскую за внимание к работе и полезные обсуждения.

Список литературы

[1]

Введенская Н.Д., Добрушин Р.Л., Карпелевич Ф.И. Система обслуживания с выбором наименьшей из двух очередей - асимптотический подход//Пробл. передачи информ. 1996. Т. 32. N⁰1. С.15-27.

[2]

Vvedenskaya N.D., Suhov Yu.M. Dobrushin's Mean-Field Approximation for a Queue with Dynamic Routing//Markov Processes and Related Fields. 1997. N⁰3. P.493-526.

[3]

Mitzenmacher M. The Power of Two Choices in Randomized Load Balancing. PhD thesis, University of California at Berkley, September 1996.

[4]

Afanassieva L.G., Fayolle G., Popov S. Yu. Models for Transportation Networks//J. Math. Science. 1997. V.84. N⁰3. P.1092-1103.

[5]

Khmelev D.V., Oseledets V.I. Mean-field approximation for stochastic transportation network and stability of dynamical system: Preprint N⁰434 of University of Bremen. Bremen, June 1999.

[6]

Scherbakov V.V. Time scales hierarchy in large closed Jackson networks, preprint N⁰4. Moscow: French-Russian A.M. Liapunov Institute of Moscow State University, 1997.

[7]

Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Физматгиз, 1975.

[8]

Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

[9]

Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука, Физматлит, 1970.

[10]

Кирстайн Б.М., Франкен Д.Е., Штойян Д. Сравнимость и монотонность марковских процессов, Теория вероятностей и ее применения. 1977. N⁰1. С.43-54.

[11]

Кемени Дж., Снелл Дж., Кнепп А. Счетные цепи Маркова. M.: Наука, Физматлит, 1987.

Перевод заглавия на английский язык:
Global stability of infinite non-linear differential equations and non-homogeneous countable Markov chains

Примечания:

¹Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (номер гранта 99-01-00314)

²Работа выполнена при частичной финансовой поддержке ISSEP (Grant s98.2042).