Mnogogranniki Nyutona, novaya formula dlya smeshannogo ob"ema i
proizvedenie kornei sistemy uravnenii

A.Khovanskii

Soglasno klassicheskoi formule Vieta proizvedenie nenulevykh kornei
uravneniya $a_nx^n+\dots+a_kx^k=0$ pri $a_n\neq 0$, $a_k\neq 0$ ravnyaetsya
chislu $(-1)^{n-k}a_ka_n^{-1}$. V etoi state my obobshchaem formulu Vieta
na mnogomernyi sluchai. Imenno, v state vychislyaetsya proizvedenie v
gruppe $(\Bbb C^*)^n$ vsekh kornei sistemy uravnenii
$$
P_1(x)=\dots=P_n(x)=0,\quad x\in (\Bbb C^*)^n,\tag1
$$
mnogogranniki Nyutona $\Delta _1,\dots,\Delta _n$ kotorykh razvernuty,
t.e. nakhodyatsya v dostatochno obshchem polozhenii po otnosheniyu
drug k drugu.

Mnogougolnik Nyutona polinoma $P(x)= a_nx^n+\dots+ a_kx^k$ --- otrezok
$I(n,k)$ na veshchestvennoi pryamoi s vershinami $n$ i $k$. Proizvedenie
nenulevykh kornei polinoma $P$ s tochnostyu do znaka ravno monomu
$a_ka^{-1}_n$ ot koeffitsientov $a_n$, $a_k$ pri vershinakh $n $ i $k$
mnogogrannika Nyutona $I(n,k)$ polinoma $P$. Koeffitsient $a_n$ vkhodit v
etot monom v stepeni,  ravnoi vzyatoi s obratnym znakom proizvodnoi dliny
otrezka $I(k,n)$ po vershine $n$, t.e. ravnoi minus edinitse.
Koeffitsient $a_k$ vkhodit v etot monom v stepeni, kotoraya tozhe ravna 
vzyatoi s obratnym znakom proizvodnoi dliny otrezka $I(k,k)$ po vershine 
$k$, t.e. v stepeni, ravnoi edinitse.

Okazyvaetsya, chto v mnogomernom sluchae delo obstoit tak zhe. S tochnostyu do 
znaka kazhdaya komponenta proizvedeniya kornei sistemy uravnenii s razvernutym
naborom mnogogrannikov Nyutona ravnyaetsya monomu ot koeffitsientov uravnenii,
sootvetsvuyushchikh vershinam mnogogrannikov Nyutona. Pri etom koeffitsient
pri kazhdoi vershine vkhodit v eti monomy v vektornoi stepeni, ravnoi vzyatoi 
s koeffitsientom $(-n!)$ proizvodnoi smeshannogo ob"ema mnogogrannikov Nyutona
po etoi vershine.